Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 67

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 67 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 67 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 67 - страница

Из двух векторных сферических функций, соответствующих орбитальным моментам /+ 1, Х вЂ” 1, можно образовать 'также продольную векторную сферическую функцию, направление которой совпадает с вектором распространения. Очевидно, что такой функцией будет У~~ (и) = пу (и). (81,16а) Таким образом, в состояниях, соответствующих продольным векторным функциям, орбитальный момент также не имеет определенного значения. При Х = 0 отлична от нуля только одна функция У~~(п)= = — У„,=пуан поэтомУ фУнкциЯ У~с может описывать только сфернчески симметричное продольное векторное поле.

Каждому значению Х =:: 1 соответствуют три независимые векторные сферические функции, из которых две являются поперечными и одна — продольной. Все они, У~~ (п), Уа (и), Ус (и), (81,16) взаимно ортогональны при различных Х и т; при одинаковых значениях Х н и они взаимно перпендикулярны для каждого значения вектора распространения и, следовательно, )" (У, )'У,; .йа=бгпб„,б „ 382 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ ИГЛ. Х где Л, Л'=М, Е, У.. Векторные сферические функции (81,16) являются функциями единичного вектора л, определяющего направление волнового вектора лу. При вращении координатной системы они преобразуются по неприводимому представлению трехмерной группы вращения, т.

е. по представлению Р ы и, следовательно,. являются не векторами, а неприводимыми тензорами ранга У. Поперечный векторный потенциал А (ЙТА = 0) электромагнитного поля в объеме $', ограниченном идеально проводящей сферой очень большого радиуса Я, можно представить в виде разложения А = Х (ал (ЯХт) Ал (ЯХт) + ал (ЯХт) Ал ®Хт)), (8!,17) О.

л и. л где Л=М, Е; Ам(ЯХт) м~ — ) У (л)Г) У~~ ~ — ) е '"О (81,18) — потенциал магнитного излучения мультипольности Х; АЕ(~Хт)=(12У+ В~р) ()УУ)~+~®Г) гг Гы ~(Г) — $'У+11,Г ~(Ф)1Глт ь ( — )~е '~О (81,19) — потенциал электрического излучения мультипольности Х; Хл(ЯГ) — функция, пропорциональная сферической функции Бесселя, нормированная условием 1 Ул ТГ)У (О'Г)ГВ ТУГ=)УЬОО.,' о лу — волновое число, имеющее размерность обратной длины и пробегающее лля каждого Х дискретные значения, определяемые из условия Хтю)=О. Потенциалу (81,18) соответствует магнитное излучение мультнпольности Х, напряженности электрического н магнитного полей которого равны Ем ЯУт) = ЕЯАМ (()Хт), Вм (ЯУт) = го1 АА,. Следовательно, напряженность электрического поля в электролгагннтной волне, соответствующей магнитному излучению, всегда перпендикулярна радиусу-вектору, в направлении которого она распространяется, т.

е. (ГЕМ) = О. тай Фононы в тРехмеРнОм кгистхлле Потенциалу (81,!9) соответствует электрическое излучение мультипольности Х, напряженности электрического и магнитного полей которого определяются равенствами Ее ЯХт) = (АБАЕ (ЯХт), Ве (ь)Хгл) = го1 Аа (ЯХт). При этом (гВЕ) =О. В общем случае выполняются равенства Ее (ОХт) = Вм (ЯХт) = го( Ам ЯУт) = У~Аз от), Е (ЯХт) = — Ва (1,от) = ЦА (ЯУт). Переход к квантовомеханическому описанию в представлении чисел заполнения соответствует замене в выражениях (81,17) и классической энергии поля ХУ„, = — ~ ~ ~ —, — ) + (го1 А)' ~ г(зг амплитуд аА, аА операторами йА, йтА, удовлетворяющими перестановочным соотношениям [бА(ОУт).

Ж(Я'Х'лт')~=баобггВ [бА бА~=О. После такой замены получим гамильтониаи ХУ= '~', й,~а,((~Х )б„Р~ )+ф~ (81,2О) Огтх и оператор векторного потенциала А =,'Е~ ~дА ((',Чт) А, (ЯУт) + ААТ (1;Чт) АА ЯУтЦ. (81,21) ,ЦА Оператор л = 61й является оператором числа фотонов соответствующего мультипольного излучения. В состояниях с определенным числом фотонов ~пь) энергия поля также имеет определенное значение. Каждый фотон в состоянии Хаги имеет волновое число Я, квадрат момента Х(Х + 1), проекцию момента и и четность ( — 1) + при А = М и ( — 1)г при Х.= Е.

$82. Фононы в трехмерном кристалле Для простоты рассмотрим моноатомные кристаллы. Пусть масса атомов и и г „а= 1, 2, 3,— три компоненты смещений атома из узла ячейки, определяемой вектором решетки л = л,л, + л,л, + л,л„ (81,22) где п~ —— О, .ь1, .ь2, ...; аьаьаз — векторы основных трансляций. Кристалл представляет собой очень большой параллелепипед с ребрами а~оН У~ >> 1. Число различных значений н равно числу атомов Ф = У8й!808 в кристалле. В качестве гра- ничных условий принимаются циклические условия Борна— Кармана, согласно которым г„=га+н.а..

1=1, 2> 3. (82,2) Потенциальная, энергия смещений атомов в гармоническом при- ближении имеет внд ! ът и= —, ~ РВ(й — )...,. аа, аа8 гдЕ Компоненты тензоРа втоРого Ранга г'аа УдовлетвоРЯют Условиям Каа (й — й8) = Уаа (й — й8)г Х У В(й — 8й) О. (82э4) Кинетическая энергия выражается через скорости смещений г„: (82,5) Проведем в (82,3) и (82,5) каноническое преобразование к коллективным комплексным переменным Ат с помощью равенств гаа "= = У, еа (у) Ате8та, Ат = А-'т, (82,6) иЛ~ гДе еа(д) = еа( — У) — вещественные числа, котоРые бУдУт опРеделены ниже; волновой вектор д пробегает й) значений 8 ВИТ8Е8 А! д 7 А, Т8=0, й1, й2,...,—; 8 ! у8 — векторы обратной решетки, определяемые равенствами а!88 = бм.

Унитарность преобразования (82,6) обеспечивается равенствами а8 М-ТЧ а б ~ Е88 (а-ач После преобразования (82,6) получаем К= — ~~) е„(87) АтА д. а 0= а Х Раа(д)еа(д)еа(87) А,А т, ! ма,а (82,7) 384 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ .!ГЛ„ТО Фононы В тРехмеРнОм кэисталле где У)аз(ч) =У)аа(Ч)=.0аа( ч) = — ~ $ ае(п) е~ч» (82 8) — матричные элементы силовой матрицы. Введем функцию Лагранжа Ь = У1 — К тогда уравнения Лагранжа при а = ее Ат примут вид еа(юу) Ач+ Х й,з(юу) ев(д) Ае — — О. з С помощью подстановки Ае — — — 1)а(9)АЕ этн дифференциальные уравнения -преобразуются к -алгебраической системе трех уравнений (при фиксированном 9) относительно неизвестных коэффициентов еа (<у): йе(д) еа(9) — ~2.", 0 (а) е (9) О. (82,9) Из условия нетривиальной разрешимости уравнений находим дисперсионное уравнение П '11 (~) баа Ваа (ча) Н определяющее частоты 1)т(д).

Уравнение (82,9) имеет, вообще говоря, три кбрня Щ(у), з=1, 2, 3. Соответствующие им три решения (82,9) определяют три вектора е,(9) с компонентами е (~у). Они ортогональны и определяются уравнениями (82,9) только с точностью до постоянной, поэтому их можно выбрать ортоиормированными е, (~У) е; (9) = 6„'. При а- О матричные элементы УУ В(д),,согласно (82,4) и (82,8), стремятся к нулю. Поэтому предельные значения всех трех частот ьу.(д) также стремятся к нулю. В связи с этим соответствующие движения атомов в кристалле называются тремя ветвями акустических колебаний. В кристалле кубической син. гонии один из векторов е,(д) направлен вдоль вектора д. Он характеризует продольные смещения атомов.' Соответствующие колебания называются продальными.

Два других вектора е, взаимно перпендикулярны и перпендикулярны д. Они определяют ветви поперечных колебаний. В анизотропных кристаллах три вектора е,(а) взаимно ортогоиальиы, однако только для некоторых выделенных направлений в кристалле один из них совпадает с д. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ и'л. х Переход к квантовому оператору Гамильтона осуществляется заменой обобщенных координат и импульсов операторами Ф АЕ,-РАЕ,— — ~~!,,) (Ьеб+Ь ч,,); 2 ! 1, (8,!4) 2 где Ьч, и Ьт, — соответственно операторы рождения и уничтоже- Ф ния фоноиов в состояниях ! Тч,), характеризующих число фоно. нов тч, каждой ветви колебаний. Они удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для операторов Бозе (Ьен Ь,', 1=5„5.„[Ь„, Ь; )=0.

Проведя преобразования (82,14) в выражениях (82,13) и (82,!О), получим операторы Гамильтона и векторы смещений атомов из равновесных положений Н= ~ Ьйб(я) ~ЬчбЬтб+ —,'~, Ч,б е =~~! (В~А, )) *е,9)~ЬЧ,+ 5~~, б!е'~". (82,16) Собственные функции оператора (82,!5) и оператора числа ча- Ф СтиЦ ЬЧ,ЬЕВ СООтВЕтетВУЮЩИЕ ЧИСЛУ фОйОНОВ И"= ичб В СОСТОЯ- (82,15) В соответствии с тремя решениями системы уравнений (82,9) компоненты смещений атомов (82,6) определяются через три коллективные переменные Атб для каждого вектора д с помощью выражения гба= — У,е,~(д) Ачбе~ч", а=1, 2, 3.

(82,10) ,Ф„... Подставив (82,10) в (82,3) и (82,5), получаем К= —,' ~ А„А,„, и= —,' '~',а'.®А„А,, (82,1Ц Д, б Обобщенные импульсы, сопряженные обобщенным координатам Ач„определяются равенствами (82,12) дА Выражая в (82,11) скорости А, через обобщенные импульсы, находим классическую функцию Гамильтона Н =1('+ Н= — ~ (Р~,Р в, + й,'(~у) Ат,А,,). (82,13) эщ втогнчнов квантование мвзонного поля зз7 ннн с волновым вектором д, поляризацией е,(д) н энергней Ь11,(д), получаются нз функций вакуумного состояния (без фононов) по общему правилу ! и) = (п!) ь (Ь,) ! О). Этн функции симметричны относительно перестановки фононов, так как операторы Ь, удовлетворяют перестановочным соот- Ф Ф1 ношениям ~Ьч„йчл =О. Симметричные относительно перестановки одинаковых частнц функции описывают Состояння бозе-частиц, следовательно, элементарные квантовые возбуждения колебаний атомов в твердом теле — фононы — являются бозе-частнцамн — бозонами.

Фононы должны удовлетворять статистике Бозе —, Эйнштейна. В каждом квантовом состоянии может находиться пронзвольное число фононов. й 83. Вторичное квантование мезонного поля Как показывает опыт, в прнроде имеются заряженные н ней- тральные и-мезоны — пионы. Заряженные пионы имеют два- знака электрического заряда н массу, в 273 раза превышающую массу электрона.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее