Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 43

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 43 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 43 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 43 - страница

Переход от представления Шредингера к представлению Гайзенберга'для функций и операторов осуществляется соответственно обобщенными унитарными преобразо- ваниями КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [гл. юп которых Р коммутируют с оператором Нт, являются интегралами движения, т. е. средние значения таких величин не меняются с течением времени в любом состоянии.

Одним из основных постулатов нерелятивистской квантовой механики является утверждение (см. $ 8), что собственные значения операторов характеризуют результаты возможных измерений соответствующих величин в произвольном состоянии. Чтобы сохранить это утверждение в релятивистской теории надо изменить определение некоторых операторов. Покажем это на примере-свободного движения частицы. Собственные значения и собственные функции оператора Нг для случая движения с определенным значением импульса вычисляются с помощью уравнения (57,9) гда Нр (тз + ~тз) 2м + ~(с тз' Легко убедиться, что уравнение (57,9) имеет два решения Чг~(х)= — (Мехр('Р 1 А=+, —, (57,10) соответствующие собственным значениям ЕА — — ХЕр, (57,1!) если ВВА и )ррх определены выражениями (55,18) и (55,20).

Одно из этих собственных значений отрицательно: а = — с )/р'+ М~сз, следовательно, оно не может соответствовать энергии свободного движения частицы, которая всегда положительна. В иерелятивистской квантовой теории собственные значения оператора Гамильтона играли двоякую роль: они определяли энергию стационарных состояний и зависимость волновых функций от времени. В релятивистской теории собственные значения оператора Гамильтона также определяют зависимость волновых функций от времени. Так, в соответствии с (57,3) имеем Чг„(х, 1) =ехр( — — „Н~й 'Т, (л) елр~ — — „йЕ «) Чрх (х). 1 г Однако энергия стационарных состояний всегда положительна, т.

е. энергия определяется собственными значениями оператора Нг только с точностью до знака. Действительно, энергия системы в стационарном состоянии совпадает со средним значением энергии, т. е. ЕА = (ЕЙ ~ ЧРАРтзН~~р. Ж фэп интвггллы двнжвния частицы нглввого спина 253 Учитывая далее равенства НГЧ"ь = еьЧ'ь —— "ьЕ Чгь ~ Ч"ЬвЧ«ь с(т -= Х, находим Еь= М,=! вь! Е,.

Таким образом, энергия стационарных состояний положительна как для Х = 1, так и для Х = — 1. В нерелятивистской теории связи между операторами соответствовали связям между классическими величинами. Например, согласно (17,5), связь между операторами скорости и импульса частицы соответствовала связи между скоростью и импульсом нерелятивистской механики. В релятивистской квантовой теории такое соответствие нарушается. Покажем это на примере оператора скорости. Используя (57,8) и (55,13), находим — = —.„(х, Н~) =(та+ 1тэ) м . «Ь 1 (57,12) Классическая же релятивистская теория приводит, как известно„ к следующему соотношению: (57,13) 1 11 Поскольку матрица (та+ гтэ) = / имеет собственные ,1 1/ значения, равные нулю, то и собственные значения оператора скорости (57,12) равны нулю.

Здесь мы опять убеждаемся, что собственные значения оператора в релятивистской теории не всегда соответствуют возможным результатам измерения. Если бы все измерения скорости приводили к значению, равному нулю, то и средняя скорость во всех состояниях равнялась бы нулю. Таким образом, не все операторы нерелятивистской квантовой теории могут быть непосредственно перенесены в релятивистскую теорию, изучающую движение одной частш1ы. В 3 53 уже отмечалось, что ряд операторов, например оператор координаты частицы, должен быть видоизменен.

В нерелятивистской теории оператору координаты х = х частицы соответствует собственная функция б(х — 'х'), допускающая возможность локализации частицы около точки х' в сколь угодно малом объеме. В релятивистской квантовой теории возможность последовательного одночастичного описания ограничена. Понятие одной частицы можно сохранить только в том случае, когда исключается ее локализация (внешними полями) в объемах, меньших й/(Мс). 264 КВАЭИРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (ГЛ. ЧЩ>> Иа математическом языке возможность сохранения понятия одной ча-.> стицы в релятивистской теории сводится к требованию сохранения только> тех операторов, ка>орые не смешивают равные зарядовые состояния.

Такие', операторы будем называть четными, илн одночастичными. Оператор (Р) иа.: эывают четных, если (+> (+>' ( ) (-> (->' (57,14) Оператор (Р) называют нечетным, если (Р) ~(+> Р(-р ( ) г(-> (г(+>' (67,14а): Оператор Гамильтона Нг и оператор импульса Р ~ — (БЧ являются четными операторами, т. е. Н,= (Н!), р-(р). В общем случае любой оператор можно разложить иа четную и печет- ) ную части Р-(Р)+Ф) или, другими словами, иэ любого оператора Р можно выделить одночастичную часть (Р). Чтббы более просто исследовать свойства четных и нечетных операторов, воспользуемся представлением Фешбаха — Внлларса (Ф-представление);.; с волновыми функциями, в которых независимой переменной велящая импульс частицы (р-представление).

В Ф-предстанлеиии волновые функции двух возможных знаков заряда определяются выражениями (56,7) н (56,6). Следовательно, четные операторы в Ф-представлении должны выражаться диагональными матрицами. Так, например, оператор Гамильтона, согласно (56,10), имеет внд Н,р,~Н(э1 ( ) ЕР (57,16) Оператор импульса (р = р) коммутирует с матрицей преобразования Н, поэтому Р(э НРН Р [Р) (57,16) Поскольку в Ф-представлении четный оператор выражается диагональной матрицей, то разбиение любого оператора на чегнуго и нечетную части выполняется йростым путем; если Р -(;,",;,",) ю 1Ч-(7,'„) (Р)=(,' 7) (67.17) Перейдем к рассмотрению оператора координаты х ЙЧР.

Используя явный еид матрицы преобразования У (56,1), получаем оперзюр координаты в Ф-представлении х„-и ((йу ) Н-'- !БЧ (БЯ' 2(рэ+ Мтсэ) ' (67,16) Оператор т~ нечетный, поэтому четной (или одночастичной) частью опера- тара координаты в Ф-представлении булет ~х,р1 НБЧ . (67,19) Из вида оператора (57,19) непосредственна следует, что этот оператор каноинчески сопряжен с оператором импульса. Используя явный вид четной $ з>> интеграле> движения частицы н>левого спина 255 части оператора коораинаты (57,!9) в р-представлении, можно вычислить по правилу (57,8) (учитывая (56,10)) производную по времени от этой величины Н сзр — («с>1=(ур о>з) тз Е (57,20) Е Собственные значения оператора (57,20) равны соответственно сзр сзр Ер' Ер Следовательно, в состояния с е = Е связь между операторами произр водной по времени от («)>з н импульсом соответствует связи между скоростью и импульсом частицы з классической теории.

Поэтому оператор ~лю~ можно назвать одночостичкым оператором координаты частицы. В Ф-представлении функции ="" '(~)ех (-Ф) являются собственнымн функциями оператора (57,19), соответствующими индексу состояния «, индексу представления р и положительному заряду частицы. Переход от >В.представления к обычному представленн>о осуществляется преобразованием чт» <+> (Р) = с> 0Э~СЬ> (Р).

Учитывая явный вид матрицы преобразования (56,1), находим собственную функцию оператора (57,19) в обычном р-представленни: э>а Переход от рпредставления к л-представлению осуществляется стандартным путем (см. 5 27): Ф Чт»!+>(«')=(2пй) >' ~ ехр(+ ) Чт > >(р) дзр Подставляя в это выражение значение (57,«2), находим собственную функцию четной части оператора координаты (57,19) в з-представлении: ">+>(" ) ( А - В )' 1А+В> (57,23) где йз 1,3 А= ~з ц(ц + 1) 'з!и(>>«) Иц,  — з ~ ц 0>а+1)>'юпц«д7. е Эдесь Мс йе —.

«=йз) « — л'). Ь Пользуясь формулой Бассета ((37), стр. !91) чч «ч )г"и" о (ч.+ ) Г(т+-) к.( ), квАЗНРелятизнстскАя кВАнтОВАя теОРия (гл. чи! 266 где К„(г) — видоизмененная функция Бесселя второго рода, или функция Бассета, можно выразить интегралы, входящие в А и В, через производные от функций Бассета Ч (Чз+ 1) "з!п (Чг) й) ' — ( — — 1) К, [г) о -'А г!г г!гз / !6! А г( — ) з — .( ° ч ч(д~+ 1) 'з!п(дг) л! = — ( — — 1) К, (г) г( †) [4/ Используя далее асимптотическое разложение функции Бассета ([37), стр. 226) прн больших г / и гг 4тт — 1 Кт(г) =1/ — е !11+ — + ...~, 2г [ зг определим асимптотическне значения А н В для больших значений г: А — г Аехр( — г),  — — г дехр( — г), г= «« 9 Мс[г — х'[ й 8 58.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее