А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Переход от представления Шредингера к представлению Гайзенберга'для функций и операторов осуществляется соответственно обобщенными унитарными преобразо- ваниями КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [гл. юп которых Р коммутируют с оператором Нт, являются интегралами движения, т. е. средние значения таких величин не меняются с течением времени в любом состоянии.
Одним из основных постулатов нерелятивистской квантовой механики является утверждение (см. $ 8), что собственные значения операторов характеризуют результаты возможных измерений соответствующих величин в произвольном состоянии. Чтобы сохранить это утверждение в релятивистской теории надо изменить определение некоторых операторов. Покажем это на примере-свободного движения частицы. Собственные значения и собственные функции оператора Нг для случая движения с определенным значением импульса вычисляются с помощью уравнения (57,9) гда Нр (тз + ~тз) 2м + ~(с тз' Легко убедиться, что уравнение (57,9) имеет два решения Чг~(х)= — (Мехр('Р 1 А=+, —, (57,10) соответствующие собственным значениям ЕА — — ХЕр, (57,1!) если ВВА и )ррх определены выражениями (55,18) и (55,20).
Одно из этих собственных значений отрицательно: а = — с )/р'+ М~сз, следовательно, оно не может соответствовать энергии свободного движения частицы, которая всегда положительна. В иерелятивистской квантовой теории собственные значения оператора Гамильтона играли двоякую роль: они определяли энергию стационарных состояний и зависимость волновых функций от времени. В релятивистской теории собственные значения оператора Гамильтона также определяют зависимость волновых функций от времени. Так, в соответствии с (57,3) имеем Чг„(х, 1) =ехр( — — „Н~й 'Т, (л) елр~ — — „йЕ «) Чрх (х). 1 г Однако энергия стационарных состояний всегда положительна, т.
е. энергия определяется собственными значениями оператора Нг только с точностью до знака. Действительно, энергия системы в стационарном состоянии совпадает со средним значением энергии, т. е. ЕА = (ЕЙ ~ ЧРАРтзН~~р. Ж фэп интвггллы двнжвния частицы нглввого спина 253 Учитывая далее равенства НГЧ"ь = еьЧ'ь —— "ьЕ Чгь ~ Ч"ЬвЧ«ь с(т -= Х, находим Еь= М,=! вь! Е,.
Таким образом, энергия стационарных состояний положительна как для Х = 1, так и для Х = — 1. В нерелятивистской теории связи между операторами соответствовали связям между классическими величинами. Например, согласно (17,5), связь между операторами скорости и импульса частицы соответствовала связи между скоростью и импульсом нерелятивистской механики. В релятивистской квантовой теории такое соответствие нарушается. Покажем это на примере оператора скорости. Используя (57,8) и (55,13), находим — = —.„(х, Н~) =(та+ 1тэ) м . «Ь 1 (57,12) Классическая же релятивистская теория приводит, как известно„ к следующему соотношению: (57,13) 1 11 Поскольку матрица (та+ гтэ) = / имеет собственные ,1 1/ значения, равные нулю, то и собственные значения оператора скорости (57,12) равны нулю.
Здесь мы опять убеждаемся, что собственные значения оператора в релятивистской теории не всегда соответствуют возможным результатам измерения. Если бы все измерения скорости приводили к значению, равному нулю, то и средняя скорость во всех состояниях равнялась бы нулю. Таким образом, не все операторы нерелятивистской квантовой теории могут быть непосредственно перенесены в релятивистскую теорию, изучающую движение одной частш1ы. В 3 53 уже отмечалось, что ряд операторов, например оператор координаты частицы, должен быть видоизменен.
В нерелятивистской теории оператору координаты х = х частицы соответствует собственная функция б(х — 'х'), допускающая возможность локализации частицы около точки х' в сколь угодно малом объеме. В релятивистской квантовой теории возможность последовательного одночастичного описания ограничена. Понятие одной частицы можно сохранить только в том случае, когда исключается ее локализация (внешними полями) в объемах, меньших й/(Мс). 264 КВАЭИРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (ГЛ. ЧЩ>> Иа математическом языке возможность сохранения понятия одной ча-.> стицы в релятивистской теории сводится к требованию сохранения только> тех операторов, ка>орые не смешивают равные зарядовые состояния.
Такие', операторы будем называть четными, илн одночастичными. Оператор (Р) иа.: эывают четных, если (+> (+>' ( ) (-> (->' (57,14) Оператор (Р) называют нечетным, если (Р) ~(+> Р(-р ( ) г(-> (г(+>' (67,14а): Оператор Гамильтона Нг и оператор импульса Р ~ — (БЧ являются четными операторами, т. е. Н,= (Н!), р-(р). В общем случае любой оператор можно разложить иа четную и печет- ) ную части Р-(Р)+Ф) или, другими словами, иэ любого оператора Р можно выделить одночастичную часть (Р). Чтббы более просто исследовать свойства четных и нечетных операторов, воспользуемся представлением Фешбаха — Внлларса (Ф-представление);.; с волновыми функциями, в которых независимой переменной велящая импульс частицы (р-представление).
В Ф-предстанлеиии волновые функции двух возможных знаков заряда определяются выражениями (56,7) н (56,6). Следовательно, четные операторы в Ф-представлении должны выражаться диагональными матрицами. Так, например, оператор Гамильтона, согласно (56,10), имеет внд Н,р,~Н(э1 ( ) ЕР (57,16) Оператор импульса (р = р) коммутирует с матрицей преобразования Н, поэтому Р(э НРН Р [Р) (57,16) Поскольку в Ф-представлении четный оператор выражается диагональной матрицей, то разбиение любого оператора на чегнуго и нечетную части выполняется йростым путем; если Р -(;,",;,",) ю 1Ч-(7,'„) (Р)=(,' 7) (67.17) Перейдем к рассмотрению оператора координаты х ЙЧР.
Используя явный еид матрицы преобразования У (56,1), получаем оперзюр координаты в Ф-представлении х„-и ((йу ) Н-'- !БЧ (БЯ' 2(рэ+ Мтсэ) ' (67,16) Оператор т~ нечетный, поэтому четной (или одночастичной) частью опера- тара координаты в Ф-представлении булет ~х,р1 НБЧ . (67,19) Из вида оператора (57,19) непосредственна следует, что этот оператор каноинчески сопряжен с оператором импульса. Используя явный вид четной $ з>> интеграле> движения частицы н>левого спина 255 части оператора коораинаты (57,!9) в р-представлении, можно вычислить по правилу (57,8) (учитывая (56,10)) производную по времени от этой величины Н сзр — («с>1=(ур о>з) тз Е (57,20) Е Собственные значения оператора (57,20) равны соответственно сзр сзр Ер' Ер Следовательно, в состояния с е = Е связь между операторами произр водной по времени от («)>з н импульсом соответствует связи между скоростью и импульсом частицы з классической теории.
Поэтому оператор ~лю~ можно назвать одночостичкым оператором координаты частицы. В Ф-представлении функции ="" '(~)ех (-Ф) являются собственнымн функциями оператора (57,19), соответствующими индексу состояния «, индексу представления р и положительному заряду частицы. Переход от >В.представления к обычному представленн>о осуществляется преобразованием чт» <+> (Р) = с> 0Э~СЬ> (Р).
Учитывая явный вид матрицы преобразования (56,1), находим собственную функцию оператора (57,19) в обычном р-представленни: э>а Переход от рпредставления к л-представлению осуществляется стандартным путем (см. 5 27): Ф Чт»!+>(«')=(2пй) >' ~ ехр(+ ) Чт > >(р) дзр Подставляя в это выражение значение (57,«2), находим собственную функцию четной части оператора координаты (57,19) в з-представлении: ">+>(" ) ( А - В )' 1А+В> (57,23) где йз 1,3 А= ~з ц(ц + 1) 'з!и(>>«) Иц,  — з ~ ц 0>а+1)>'юпц«д7. е Эдесь Мс йе —.
«=йз) « — л'). Ь Пользуясь формулой Бассета ((37), стр. !91) чч «ч )г"и" о (ч.+ ) Г(т+-) к.( ), квАЗНРелятизнстскАя кВАнтОВАя теОРия (гл. чи! 266 где К„(г) — видоизмененная функция Бесселя второго рода, или функция Бассета, можно выразить интегралы, входящие в А и В, через производные от функций Бассета Ч (Чз+ 1) "з!п (Чг) й) ' — ( — — 1) К, [г) о -'А г!г г!гз / !6! А г( — ) з — .( ° ч ч(д~+ 1) 'з!п(дг) л! = — ( — — 1) К, (г) г( †) [4/ Используя далее асимптотическое разложение функции Бассета ([37), стр. 226) прн больших г / и гг 4тт — 1 Кт(г) =1/ — е !11+ — + ...~, 2г [ зг определим асимптотическне значения А н В для больших значений г: А — г Аехр( — г),  — — г дехр( — г), г= «« 9 Мс[г — х'[ й 8 58.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
