Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 32

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 32 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 32 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 32 - страница

поэтому прн больших рР(р) еэоэ н функции [с(р) е вор + еэоо при р-ь оо стремилась бы к бесконечности. л зя движение в кулоновском поле, дискретныи спектР 179 т = О, ~.'-.1, ~2, ..., поэтому общая кратность вырождения стационарного состояния с квантовым числом п будет равна л-1 ~ (21+ 1) и'.

Случайное вырождение в кулоновском поле является следствием дополнительной симметрии гамильтониана кроме сферической. Такая симметрия допускает разделение переменных в уравнении Шредингера как в сферической, так и в параболической системах координат. Уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом инвариантно относительно группы четырехмерных вращений О (4).

Всякое отклонение от кулоновского потенциала снимает «случайное» вырождение. Например, если в (38,8) за- ВХ менить кулоновскнй потенциал 2Я~р на — (1+ фр), то получим уравнение где величина Р теперь уже не целое число и связана с орбитальным квантовым числом 1 соотношением 1'(1'+ 1) = 1(1+ 1) — 2лр. Уравнение (38,18) по форме совпадает с (38,8), поэтому оно определяет энергию в атомных единицах х х 1м ~ е ~!у и ете+цр ' которая зависит как от главного квантового числа н = л, + 1 +. + 1, так и от орбитального й В табл. 8 указан явный вид (для случая л = Т) первых радиальных функций )(р) = 1г(р)1р, нормированных условием ) 1"-(р) р'пр- 1, о В общем случае для произвольного состояния нормированная радиальная волновая функция выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию формулой 1ы (р) = )Уы ( — ~) Г ~ — а + 1+ 1, 21 + 2, — Р) з где 1 Т (и+ 1)! 11а ( лг 1'а (и+ В1 (В1(л — 1-11~1 1а ) ' Квантовое число л,=н — 1 — 1 1зо движвннв частицы в поли центральных снл 1гл.

чэ определяет число узлов волновой функции, т. е. число пересечений этой функцией оси р (исключая значение р = 0). Таблица З Радиальные функции атома водорода Састовене 1(г) е 2е 1 =(1 — р/2)е етэ У2 =ре е1 1 2~ 6 2 l 2 2 — ~1 — — р+ — р')е е1э зУз~ з 27 — (1 — 6 Р)е е~ 4 — р'е 61Узо Р' 2р зр. (38,17б) (38,17г) Для ряда приложений полезно знать средние значения некоторых степеней р в стационарных состояниях а1. Ниже приводятся некоторые нз них: (р) = — [Заэ — 1(1+ 1)1, (рэ) + 15аэ+ 1 — 31(!+ 1)]. ( —,')= ( —,')= (38,17д) э(1+ 1)(1+ )1 Из (38,17в) в частности, следует, что при учете (38,!5) среднее значение потенциальной энергии электрона в кулоновском поле равно удвоенному значению полной энергии (в атомных единицах) (В=(- — ')=- — ".

= ' Ее р Пэ ам) движения в килоновском полн, нвпгввывныи спвктв 1з1 й 39. Движение в кулоиовском поле. Непрерывный спектр Перейдем к исследованию стационарных состояний движения электрона в кулоновском поле (38,1) при положительной энергии й~=2е) О, (39,1) тогда уравнение (38,6) для функции )1(р) примет вид Асимптотическое значение при р-+ со функции )г(р) Ае11е+ Ве 1ьг остается конечным при любых значениях й и отличных от нуля значениях А н В. Следовательно, собственные значения энергии при е ~ О соответствуют непрерывному спектру. Асимптотическое значение К(р) при р- О должно определяться так же, как и в случае отрицательных энергий )т(р) = рн' Таким образом, решение (39,2) можно искать в ~виде О~ )1 (р) = е*мерыл .~~ р,р".

(39,3) (39,2) Подставляя (39,3) в (39,2) и приравнивая нулю коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях р, находим рекуррентное соотношение 211(т+ е+ 1) а — 21 ( +1+ 2П +1+ Н вЂ” 1(г+ П й"' При больших значениях ч 2Уг (2И) + Рч+1 = (, (., ( 2) р» (, ( 1 ).

2), 1)з. Следовательно, ряд (39,3) всегда сходится. Преобразуем (39,4) к виду . 2И) [т+1+ 1 — —. йч+1 (т+ 1)(ч+ 21+ 2) Р1~' тогда, подставляя это значение в (39,3), можно выразить функцию Р(р) через вырожденную гипергеометрическую функцию )1ы(р) =ееюьгры'~Р(Е+ 1 ш — 21+ 2 1- 2йр)" (39 5) 2 Полученные результаты легко обобщить на случай движения в кулоновском поле отталкивания, например для движения [гл. ю [82 движения частицы в пОле цвнттхльньгх сил позитрона в поле ядра, хе' (Х=— В этом случае полная энергия частицы может быть только положительной. Стационарные состояния движения с определенной 1 р энергией е= — Хг' (в атомных единицах) и определенным орбитальным моментом выражаются линейной комбинацией волновых функций, радиальные части которых выражаются формулой Хгы (р) = е~'~р'+'Р [1+ 1 ~ —., 21+ 2, т- 2йр~, (39,6) которая получается из (39,5) изменением знака у л,.

Радиальные 'функции (39,6) можно испольэовать и для описания движения' протона с энергией Е и определенным орбитальным моментом Х в поле ядра, если положить л1е' в Г 2е (39,7) где М вЂ” масса протона. 0 40". Оператор момента количества движения В предыдущих параграфах этой главы мы видели, что во всех центрально-симметричных полях стационарные состояния можно характеризовать определенными значениями квадрата момента количества движения и его проекции на одно нз направлений в пространстве.

В свяаи с этим представляет интерес исследовать более подробно свойства этих операторов. В общем случае оператором момента количества движения, нли, кратко, оператором момента называется вектор Х, декартовы коордйнаты которого Х~(г = х, у, г или 1, 2, 3) являются эрмитовыми операторами, удов.четворяющими перестановочным соотношениям [Х..

Х„) =йХ-,. [Х-„, Х-.) =юЫ-.. [Х-., Х-.1=аХ-„. (40,1) Частным случаем оператора момента Х является оператор ор. битального или углового момента Х-Е-[»Хр[. В дальнейшем мы познакомимся с операторами моментов, не выражающимися непосредственно через операторы координат и импульсов. Введем оператор квадрата момента 2 2 т 2 = Хл+ Хе+ Хл.

(40,2) 9 4Щ ОпеРАтОР моментА количествА движения 133 Тогда, используя (40,1), находим, что (Х", Х11=0, 1=х, у, а. (40,3) Из перестановочйых соотношений (40,!) и (40,3) следует, что одновременно определенные значения могут иметь квадрат момента и одна из его проекций, Примем в качестве этой проекции Х,. Волновые функции таких состояний являются одновременно собственными функциями операторов Х2 и Х,.

Если обозначить эти функции через (40,4) Ч! =[Хлт), то, следовательно, должны удовлетворяться уравнения Х~! Хт) = Х;! Хлг), Х,11т)= Ьи! Хлг). Введем вспомогательный неэрмитов оператор Х„.==(Х„+ ХХ ),' Х+ ==-(Մ— ХХ,,). (40,5) (40,6) (40,7) либо (40,13) 1 3 5 2' 3' Я' Тогда из (40,1) и (40,3) следуют перестановочные соотношения (Х; Х,)=О, (40,8) (Х., Х+) =йХ+, (40,9) [Х„ХЦ=И,. (40,10) Из (40,5) — (40,!О) следует, что операторы (40,7) имеют диагональные матричные элементы по квантовому числу !.

Оператор Х+ увеличивает, а оператор Х+ уменьшает квантовое число пг на единицу. Квантовые числа, определяющие собственные значения оператора У, в уравнении (40,6) пробегают отличающиеся на единицу значения, лежащие в интервале — Хч лт~~Х. (40,11) Неравенство (40,1!) для чисел т, отличающихся друг от друга на 1, будет выполняться при условии, что 21 является целым положительным числом. Следовательно, возможные значения Х определяются либо целыми положительными числами, либо полуцелыми положительными числами, т. е.

1=0,1,2,..., (40,12) 44!1 слох4ение дВух момвнтОВ кОличестВА движания ~а5 только целые значения О, 1, ..., т. е. реализуется случай Х.з=йз((1+1), 1=0, 1, 2, ... В этом случае собственные функции оператора углового момента в координатном представлении совпадают со сферическими функциями от полярных углов ф4,„= ! (т) = У4м (О, ф). В последующих главах мы познакомимся с другими операторами моментов, для которых 1 принимает только полуцелые значения, т. е.

реализуется случай (40,13). в 41. Векторное сложение двух моментов количества движения Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, состояние которых определяется соответственно моментами Х(1) и Х(2). Допустим далее, что операторы проекций этих моменгов коммутируют, т. е. (Х4 (1), ХА (2)] = О, 1, й = 1, 2, 3. (41,1) Тогда полная система может находиться в состояниях, в которых одновременно имеют определенное значение квадраты моментов Хз(1)=йз) (1 +1), Хг(2)=йг)' () +1) (41,2) и их проекции на одну из осей координат, которую мы примем за ось га Х,(1) =йтп Х,(2) =йтг. (41,3) Такие состояния опиСываются волновыми функциями 1!Р'~ЬЫ = !!4т4)! 1Еп4з)э (41,4) представляющими произведение собственных функций каждого из операторов в отдельности. При фиксированных 14 и 1з имеется (214+1) (21з+ 1) различных функций (41,4), отличающихся значениями пары чисел т4 и тз.

Определим теперь оператор Х=Х(1) + Х (2). (41,5) Поскольку проекции каждого из операторов правой части (41,5) удовлетворяют перестановочным соотношениям (40,1), то легко убедиться, что тем же перестановочным соотношениям удовлетворяют и проекции оператора (41,5). Будем называть оператор (41,5) оператором полного момента системы. 186 дзищние чАстицы в пОле цент'РАльных сил. [Гл. чг Легко убедиться, что волновые функции (41,4) являются собственными функциями оператора проекции полного момента Х.= Х. (1) + Ха(2)> (41,6) соответствующими собственному значению Хз — йгн — й (гл! + гл2) (41,7) Оператор квадрата полного момента Хе=Ха(1) + Хз(2) + 2Х(1) Х(2) (41,8) коммутнрует с операторами Хя(!) и Хз(2), следовательно, квадрат полного момента может иметь определенное значение одновременно с квадратами моментов каждой из подсистем.

Однако функции (41,4) неявляются собственными функциями оператора (41,8), так как третье слагаемое в (41,8) будет смешивать состояния, отличающиеся по лтг и лтз на единицу. Можно показать, что из функций (41,4) можно образовать такие линейные комбинации, которые будут собственными функциями и оператора Хз. В силу линейности оператора Х, эти линейные комбинации будут одновременно н собственными функциями оператора Хь Таким образам, состояние системы, соответствующее определенным значениям квадрата полного момента, проекции полного момента и квадратам моментов Х1 и Хь можно записать в виде 2 2 !1112)гп) = ~~ (у112лт1лтз~ 1т)1 11глг) ! 12лте). (41,9) м,т, здесь (Цтлг1лгя~рп) — коэффициенты, определяющие вклад различных функций (41,4) в (41,9).

Они называются коэффициентами векторного сложения, или коэффициентами Клебша — Гордина. Фазовые множители у функций (41,9) выбираются так, чтобы коэффициенты векторного сложения были действительны. Коэффициенты векторного сложения определены для целых и полуцелых значений квантовых чисел 12121.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее