Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 28

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 28 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 28 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 28 - страница

поэтому с помощью Э д$ ' (32,2) и (32,3) их можно выразить через операторы д н д». В частности, ф= — '(д+д»), — = — (д — д»). (32,6) )т2 дй !' 2 Как было показано в $26, действия операторов д и д» на волновые функции»р определяются соотношениями дф„= у'пф„и д»ф„= у'и+ ! фь+ь Выражения (32,2) н (32,3) определяют неэрмитовы операторы д и д» в координатном представлении.

Они действуют на множестве функций ф(Ц, нормированных условием ) ф'(е)ф(Е)Щ; В частности, равенства (32,7) определяют их действие на собственные функции оператора энергии. Указание квантового числа и полностью характеризует стационарное состояние осциллятора. Условимся называть одно- квантовое возбуждение (и = 1) однофононным; двухквантовое — двух»рононным н т. д.

Другими словами, каждый квант возбуждения колебаний осциллятора будем называть фононом. Тогда квантовое число и будет определять число фононов в соответствующем состоянии. Все фононы имеют одинаковую энергию. Стационарное состояние полностью определяется указанием числа фононов, поэтому вместо функции ф„(Е) его можно характеризовать функцией, в которой независимой переменной является число фононов.

Эту функцию будем кратко обозначать символом ~п). Действие операторов д и д» на эту функцию определяется равенствами д! п) =)Гп~ и — !), д»! и) = $'п+! ~ и+!). (32,8) Такое представление функций и операторов называется представлением квантовыя чисел, или чисел заполнения. Операторы а и а» действуют на числа заполнения и (числа фононов). При этом оператор д уменьшает число фоканов на единицу н называется оператором уменьшения числа фононов на единицу или, кратко, оператором уничтожения фононов. Оператор д» увеличивает число фононов на единицу н называется оператором рождения фононов. Операторы д н д» полностью определяются соотношениями (32,4) и (32,8).

Конкретный вид этих операторов не существен. Используя (32,8), можно показать, что действие оператора г»=д»д на функцию ~п) сводится к умножению этой функции ЗЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ !гл. ч 152 ) а) = — (йт)" 1 0). $'а! (32,9) В представлении чисел заполнения, обычно полагают !0) = 1, тогда функция !Е), определяемая (32,9), будет также нормирована к 1.

Основное состояние системы, описываемое функцией )0), часто называют закурмньья состоянием. Вакуумное состояние можно определить условием д !0) О, т. е. оператор уничтожения фононов, действуя на вакуумное состояние, дает О. Энергия вакуумного состояния Ез — '/тйа. Итак, представление чисел заполнения соответствует описанию колебаний осциллятора на языке квантов возбуждения— фононов.

Все фононы в этом случае одинаковы, и состояние однозначно определяется указанием числа фононов. Поэтому волновая функция в представлении чисел заполнения зависит только от одной переменной — числа фононов. .Если в операторе Гамильтона (32,1) заменить операторы $ и ~51 классическими величинами, то получим-гамильтониан классической механики где $ и рА — действительные сопряженные переменные. Перейдем от этих действительных переменных к комплексным переменным а = — ($ — (рт), а' = — ($ + (р!), (32,10) 1 ., 1 Р2 г'2 тогда гамильтониан преобразуется к виду Н„„йааа' = йаа а.

на и. Другими словами, оператор числа фононов Ю в представлении чисел заполнения диагонален и его собственные значения равны числу фононов в данном состоянии. Поскольку оператор Гамильтона (32,5) содержит только оператор Ю = бтб, то в представлении чисел заполнения этот оператор диагонален, и его собственные значения Е„= йа(п+ !!Т) определяют энергию системы.

Если собственная функция основного состояния (состояние без фононов) в представлении чисел заполнения имеет вид !0), то, последовательно применяя л раз оператор рождения дт, можно получить волновую функцию состояния с и фононами А 821- пРедстАвление чисел ЕАполнения для осциллятоРА щ Переход от классического гамильтониана к квантовому оператору Гамильтона (32,5) соответствует замене в симметризованном гамильтоннане Н~= е (аа'+а'а) комплексных величин а и а' операторами й и й», удовлетворяющими перестановочным соотношениям (32,4).

Таким приемом мы сразу получаем оператор Гамильтона в представлении чисел заполнения. Этот переход от классического гамильтониана' к квантовому носит название вхорцчнойо квангеелния. Это квантование тождественно с обычным квантованием, которое делается в координатном представлении при переходе от координат н сопряженных к ним импульсов к соответствующим операторам.

Операторы гармонического осциллятора в представлении чисел ааполнения можно записать н в виде бесконечных матриц. Так, например, неэрмнтовы операторы уничтожения и рождения фононов имеют вид у'1 0 0 у2 0 О Рз О 0 о о $/! 0 О 1/2 О 0 у3 0 В этом представлении ясно видна эрмитова сопряженность опе- раторов б и дт.

Оператор числа фононов изображается диаго- нальной матрицей 0 0 0 Ю вЂ” йтй = 0 1 0 0 0 2 (32,11) Волновые функции стационарных состояний изображаются ма- трицами, состоящими из одного столбца: 1 0 10) = 1 ~1)=, ~2)= и т.д. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [гл. Р В представлении чисел заполнения легко вычислять средние значения в состояниях [и) любых функций от координат и импульсов.

Например, учитывая равенства й=(,) )А(й'+й), 1д„= — ("~ )'*(й — й), имеем (и[Я[и)=(п[~д,[п)=О, (и[У~[и)=[~ )(и[й~й+йй [= —" < 'й!! >= Е. Е.=й ~ + —,) (и [24[и)=3 ( — ) [1+2и(п+1)] и т. д. Из этих равенств, в частности, следует (п [(йх)~ [ п) (п [(йр„)~ [и) = [п + — ) †.

Уже в первой работе по квантованию электромагнитного поля Дирак [13] предложил ввести для операторов рождения аг и уничтожения а представление фазовой переменной с помощью преобразования а=е"' ]'й, аг=)'йе-Ж, (32,12) где й= ага — эрмитов оператор числа частиц. Здесь и далее значок над операторами а и ат опускается. ф — эрмитов оператор фазы.

Однако, как показали Сусскинд и Глогдвер [14], введение эрмитова оператора ф приводит к противоречию. Действительно, если верно (32,12), то должно выполняться соотношение [е'с, й]=е"', или [й, ф]=й (32,!3) Тогда следовало бы (см. $13) соотношение неопределенностей 4 ((й<р)') ((Ьп)х) ~ 1. (32,14) Легко, однако, убедиться, что соотношение (32„13) приводит к противоречию. Возьмем от (32,13) матричный элемент на функциях [п) оператора й, тогда (и' — п) (и' [ ф [и) = й„„. Следовательно, при и'Фи (и'[ф[п) = О, т. е. оператор ф диагонален одновременно с й, но тогда они коммутнруют, что противоречит (32,13). Это противоречие связано с тем, что эрмитов оператор ф ие существует.

Оператор числа частиц и в представлении фазовой переменной имеет вид 6=1 †. Ои действует д<р ' $ эз1 пРедстАВлеиие чисел ЗАГюлнения для осциллятоРА щ в пространстве функцрй, удовлетворяющих условию периодич- ности ф (ф) =ф(ф+2 ), (32,15) и имеет собственные функции ф„(ф) = (2п) Че-'"т и собственные значения О, 2, 3, ...

Оператор ф = ф ие определен на простран стве функций (32,15), так как его умножение на ф(ф) приводит к функциям, не удовлетворяющим условию (32,15). В простпан- стве функций (32,15) определены, например, операторы Ф= =ехр((ф) и Ф =ехр( — (р).

Однако они не унитарны. В самом деле,если записать (32,12) в виде а=Ф)Я, ат=)ЯФ, то можно показать (15), что )п — 1), если пчьО, Ф1п) = О, если п=О. а оператор числа частиц 1 й=П. — —. 2' (32,16) Оба оператора определены на пространстве функций, удовлетворяющих условию ф(ф) = — ф(ф+2п), и имеют собственные функции ф х=(2п) Аехр~1) ~п+ — )ф~,' И.А=Аф и Х= 1. Из (32,16) находим ((3 )'> =((»-(.>'=(~.> -(( >+-,')'. Учитывая равенство ((МА)А> =(1.,'> — (Т.,)~, имеем ((ас„) ) = 1 12 '= ((бп)А>+ ~(п) + 2) — (С,)з. Подставив это значение в соотношение неопределенностей (13,8), получаем соотношение неопределенностей для числа частиц и фазы ((Лф) > Г((' ) >+ 1( >+ О-(~*)'1-%1 - —.', ((йф)'>Г Следовательно, (01Ф~Ф10) = О, что противоречит условию унитарности.

В работе. Файна (16) отмечается, что в переменных и, ф энергия осциллятора вырождена по знаку ф, поэтому его состояние следует характеризовать ие только значением энергии, но и знаком ф (знаком вращения). Знаку вращения сопоставляется оператор 1 (Р = 1), коммутирующий с гамильтонианом. Тогда гамильтониан следует выбрать в виде 11 а и =па(Д+ 2)=гысА А-А= — (п л ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 156 тогда (см. 118)) 1А 1е= — ", где й=.— (до+ го Ао1 — среднее число фононов в состоянии (32,17).

Когерентные состояния можно также определить [Щ как собственные состояния неэрмитового оператора уничтожения фононов, т. е. как решения уравнения а!Р>=Р!й, (32,19) где р — некоторое 'комплексное число. Если ввести унитарный оператор и(8) =и (-8) — ехрф)3а' — (За), (32,20) то собственные функции уравнения (32,19) определяются равен- ством 1 13) = 11 (р) 10).

Действительно, учитывая тождество аУ (8) = У (р) (а + р), имеем (32, 21) (32,22) а 1р) = а(г' (р) 10). У (р) (а + (3) 10) = )3 1 13). Разложим когерентное состояние ~р) по собственным осциллятора, т. е. положим ~В=ХА.1л). функциям (32,23) тогда А„=(л! Р) =(и !(7(Р)!0) = — 1ехр1 — ~! он)е) ° При вычислении А мы использовали выражение 11 (р) = ехр ( — -1 8 Р) ехр ()Заг) ехр (р "а), '3 Когерентнме состояния впервые рассметрнвавнсь Шредннгером [173. Перейдем к исследованию так называемых когерснтных сосжнний осцилляторае) (18). В этих состояниях соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет наименьшее значение, равное ое/4. Как было показано в 5 13, такие состояния в координатном представлении характеризуются функцией гр„„(х) =12п((дх)')) Аехр~ — 4 с,) + — „~.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее