А.Н. Матвеев - Атомная физика, страница 57

DJVU-файл А.Н. Матвеев - Атомная физика, страница 57 Физика (2682): Книга - 4 семестрА.Н. Матвеев - Атомная физика: Физика - DJVU, страница 57 (2682) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Матвеев - Атомная физика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 57 - страница

Для объяснения экспериментальных результатов необходимо считать собственные значения любой декартовой проекции оператора спина равным 612 и — Б(2 Гсм. (ЗЗ.ЗЯ. Этих данных достаточно, чтобы решать квантовомеханические задачи со спином, не имея в явном виде выражения для оператора спина и волновых функций. Однако для многих расчетов предпочтительнее иметь явный вид оператора спина. Оператор спина.

На любое направление, в качестве которого можно выбрать положительное направление оси У, проекция спина может быть равной либо 6/2, либо — В~2. Обозначим к, оператор, относящийся к проекции спина на ось Х. Собственный вектор этого оператора, при- 232 8 Магнитный и механический моменты атома надлежащий собственному значению Л/2, обозначим (У, + ), а собственному значению ( — Л/2)-~2„— ), В обозначении вектора спина (см. гл. 5) знак плюс показывает, что проекция спина ориентирована в направлении положительных значений оси 2, а знак минус-в противоположном. Ясно, что уравнения на собственные значения оператора 3 имеют вид .т 1~, + > = (л/2И г, + >, (36.1а) 3 )7, — ) =( — л/2)(2; — ).

(36.16) Перейдем к базисному представлению вектора спина, выбрав в качестве базисных векторов ) У,, + ) и ) У, — ), которые ортонормированы. В этом представлении проекции вектора ) У, + ) даются числами (1, 0), а вектора ) 7., — ) — числами (О, 1), которые принято писать в виде столбцов: У,+)=, Л,— )= . (36.2) Операторы в базисном представлении выражают матрицами, элементами которых являются матричные элементы оператора. В своем собственном представлении оператор диагонален.

Учитывая, что сопряженные вектора ! Х, + ) ' и (У, — ) ' (см. (21.46)) выражаются в виде строк из комплексно. сопряженных величин (36.2), запишем Ев Спин не имеет классического аналога и в классической картине нв может быть выражен через динамические первменныв — декартовы координаты и импульсы. Позтому оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса, но, будучи оператором момента импульса, он должен удовлетворять тем же коммутационным соотноцтениям.

Операторы проекций спина в вго собственном представлении даются матрицами (36.6) — (36.7). ).с + ) + = (е, + ) = (1, О), )я„— ) = (я., — ~ = (О, 1). (36.3) Умножая (36.1) слева скалярно на (36.3), получаем следующие выражения матричных элементов оператора у, в его собственном представлении: (я., + ) г, ) 2, + ) = л/2, (е„+ ) Х,) я„— ) = О, (г, — (г, ~ г, + > = О, (г, — ).(,) г, — ) = = — Л/2. (36.4) Таким образом, матрица оператора г, в его собственном представлении имеет вид (36.5) (36.6) т(о — ) (36.7) Матрицы (36.5) — (36.7) эрми гоны и удовлетворяют требованиям квантовой механики. Векторный оператор 3=(г„, 3, Я,) (36. 8) является оператором спина. С учетом (36.5) — (36.7) получаем /1 О') уг ~г + уг + ~г = (3лг/4) (369) (.О 1)' Из (36.9) следует, что собственное значение оператора квадрата спина равно Злг/4 = лгя(3 + 1), где у = = '/г, что совпадает с (33.2) после Для получения в том же представлении выражения для операторов ьг и у„ необходимо воспользоваться коммутационными соотношениями (28.17) и (28.18), которые дают уравнения для определения элементов матриц йг и 3„.

Не приводя математических выкладок„запишем их в виде ! Зб. Оператор спина электрона Б(совО япОе Уа'( 2 (,в(п Ое'" — сов О ! (36.11) где в„, в, в, определены равенствами (36.6), (36.7) и (36.5). Собственные значения ). оператора вп и принадлежащие им собственные векторы !и, у. > находим из уравнения в 1уьХ) = Х1п, у ). (36.!2) Уравнение (21.56) для определения собственных значений для оператора (36.11) имеет вид (й/2) сов Π— Х (Л/2) в!и Ое " (Л/2) яп 9еаа — (Б/2) сов 9 — ). извлечения квадратного корня. Это выражение находится в полной аналогии с формулой (28.20а) для собственных значений оператора квадрата орбитального момента импульса и иллюстрирует физическую природу спина как момента импульса, не имеющего классической интерпретации.

Без дальнейших пояснений очевидно, что полученные для оператора спина выражения справедливы не только для спина электрона, но и для спина '/, любой другой частицы. Оператор проекции спина иа произвольное направление. Направление характеризуем единичным вектором п. Ясно, что проекции этого вектора на оси декартовой системы координат даются формулами и„= и. в„= яп О сов Чу, л„= п ! = в!пОв!пур, (36.10) !. = ° вО, где ~р — полярный и аксиальный углы сферической системы координат с полярной осью У. Проекция спина на направление и равна ва п ' в = л. 5„ + лууу + пузу = = в!пОсовурв„+ япОв!пяув, + сов ОХ, = ~ сов(0/2)е '"" )п,+)= ',в!п(0/2) е'ьп ( — яп(0/2)е "") сов(0/2)еУ"' / ' (36.18) (36.

! 9) Непосредственной проверкой убеж- даемся, что эти векторы ортонорми- рованы: (и+ !и, +) = (и, — !и, — ) = 1, (и, — ! и, + ) = (п, + ! и, — ) = О. (36.20) Среднее значение проекции спина, находящегося в определенном состоя- нии. Опыт Штерна — Герлаха (см. 8 15) позволяет определить, находится ли спин в состоянии !п, + ) или !п, — ). = Хв — (Б/2)эсовэΠ— (Б/2)эяпэО = 0 (36.13) и поэтому собственныс значения равны !у=О/2, )г=-О/2. (36.14) Этот результат находится в полном соответствии с основным свойством спина электрона иметь на любое направление лишь два значения проекции. Принадлежащие собственным значениям (36.14) ортонормированные собственные векторы обозначим !п, + ) и ~п, — ).

В базисе векторов !2, + ), 1 У, — ) они могут быть представлены в виде !п, +) =а,~У, +)+!!у!2, — ), !и, — >=и,!К, + >+11,!г, — ), (36.15) где постоянные ап !3,.(! = 1, 2) удовлетворяют условиям нормировки !ау!~+ !Ру)~ = ! (! =1,2), (36.16) Подставляя (36.15) в (36.12), находим а, = сов(0/2)е 'а", Ду = яп(0/2)е"", а, = — яп(0/2)е 'и", ))э = сов(О/2)еа'". (36.17) Поэтому собственные векторы (36.15) имеют вид 214 8 Магнитный н механический моменты атома На выходе из аппарата, используемого в опыте, образуются два пучка атомов, в одном из которых все атомы будут в спиновых состояниях (и, + ), а в другом — ! и, — ). Если производи~ь измерение проекции спина на направление и у а~омов в состоянии ~п, + ), то всегда в результате измерения получается +Б/2. При измерении проекции спина на направление и у атомов, находящихся в состоянии ~п, — ), всегда в результате измерения получается — Б/2. Такая ситуация совместима с представлением о спине как о классическом векторе (моменте импульса), который в состоянии ~п, + ) совпадает по направлению с и.

Это представление еще сильнее подкрепляется расчетом средних значений проекции спина на оси координат; (и, + ) л„( и, + 'х = (я/2) яи (О/2) сов(0/2) х х (еьа + е ") = (л/2) яи О соа тр, (и, + /У )и, +) = (6/2)а!и(0/2)соа(0/2) х х ( — ее'+те '") =(О/2)япОяитр, (и, + / У, ! и, + ) = (Ь/2) (сод~ (О/2)— — яп х (О/2)] = (Ь/2) соа О. (36.21) Отсюда с учетом (36ЛО) следует равенство (и, + (Г)и, + ) = (Ь/2)и, (36.22) которое совместимо с представлением о спине как о классическом векторе, совпадающем в состоянии (и, + ) по направлению с п и по модулю равном Б/2. Но такое представление о спине неправильно. Оно было бы оправданным, если бы при каждом измерении проекции спина в состоянии ~и, + ) на оси Х, У, У получились значения (36.21).

В действительности в результате каждого измерения проекции спина на любую из этих осей равны либо + Б/2, либо — й/2, однако с различной вероятностью. Это озна- чает, что спин нельзя представить в виде классического вектора, но его образ в виде классического вектора полезен при вычислении средних значений проекций и интерпретации результатов. Все изложенное справедливо также в приложении к спину в состоянии !и, — ) с учетом равенства (и, — (а)и, — ) = — (Ь/2)и. (36.23) Вероятность проекции спина на заданное направление. При измерении проекции спина в состоянии )и, + ) на направление, отличное от и, получаются значения Б/2 и†Б/2, но с различными вероятностями. Вероятности У(У, + ) и У(У, — ) проекций + Л/2 и — йт/2 на ось У по общему правилу даются соотношениями У(У, +) = ) (У, + ~ и, ч- ) )~ = соах(0/2), У(У, — ) = ~ (У, — ! и, -Р У~а = япх (О/2).

(36,24) Измерение проекции спина у большого числа /ч' атомов в состоянии (и, + ) дает в )т/, = /т(созх(9/2) случаях результат Б/2 и в М = //яп'(9/2) случаях результат — Б/2. 37. Магиитиый и механический моменты атома Иалатаетс» векторная модель матнитното и механическото моментов атома и даются количественные характеристики модели. Сложение орбитального момента и спина. Наряду с орбитальным механическим и магнитным моментом электрон обладает внутренним механическим моментом, или спином, и соответствующим ему спиновым магнитным моментом (см.

(34.2) и (34.6)3. Полный момент импульса электрона является суммой орбитального момента и спинового моментов: 37. Магнитный и механический моменты атома 216 Ь =Ь,+Ь„ (37.1) где Ь,— орбитальный момент импульса электрона, Ь,-его спин. Известно, что модуль момента импульса всегда квантуется формулами вида ~Ь,~ = я ~!(!+ 1), !Ь,! = я ~.т(т+ 1). (37,2) Так как полный момент Ь! является также моментом импульса, то его модуль А ~ = Я ~/0 ь 1), (37.3) где / — квантовое число полного момента. Определим 7'. Возможные проекции векторов 1., и Ь, на ось У нам известны: Ьи — — Яти! (щ, = — !, — ! + 1,..., ! — 1, 0„ (37,4а) Ь, =йи, (ги,= — т= — 1/2; ат = — а + 1 = 1/2).

(37.46) Из (37.1) следует, что Ьт, = Ьы + 1.„. (37.5) Проекция полного момента на выбранное направление квантуется аналогично (37.4а) и (37.4б): Ь„= Лги! (ти = — /, — У + 1,...,У вЂ” 1,/). (37.6) Сравнивая (37.6) с (37.5) и учитывая (37.4), видим, что при данном ! квантовое число ~' может принимать два значения: / = ! + !/г, ! = ! - 1/2 (37.7) Угол между орбитальным и спнновым моментами. Для определения угла между орбитальным и синцовым моментами возведем обе части равенства (37.1) в квадрат: Ь,' = Ь,' ч- Ь,' + 2) Ь, й Ь, | сот (Ь,, 1.,).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее