А.Н. Матвеев - Атомная физика, страница 36

DJVU-файл А.Н. Матвеев - Атомная физика, страница 36 Физика (2682): Книга - 4 семестрА.Н. Матвеев - Атомная физика: Физика - DJVU, страница 36 (2682) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Матвеев - Атомная физика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 36 - страница

Пространство имеет размерность и, если в нем не существует больше чем и линейно независимых векторов. Если в п-мерном пространстве имеются некоторые и линейно независимых векторов»,, »,, »„, то любой другой вектор» может быть выражен через эти линейно независимые векторы, потому что совокупность векторов 1», »,, »,, ..., »„), по определению, линейно за- 4 21 Линейные конечномерные векторные пространства 131 висима, т.е.

выполняется ранено~во ач+ 2 ач,=О, = 1 (21.4) из которого следует, что —,Г (а,/а)ч,. (2! 5) ~-1 Нетрудно доказать, что коэффициенты разложения ч по векторам ч, в (21.5) елинственны, В самом деле, если имеется другое представление и ч= 2 (39„ (2 !.б) 1 то, вычитая (2!.б) цочленно из (21.5), получаем 1) ( г, ~ г,) > 0 (О только при ч, = О), (2!.9а) 2) (г,~ г ) = (г (г,)*, (219б) 3) (г, )ао„+ рг„) = = а(г,1г,) + (3(г,!г,). (219в! В формулах (21.9) для обозначения скалярного произведения вместо круглых использованы угловые скобки, а вместо точки-вертикальная черта.

Это позволит в последующем перей- 9 О =,Г ( — а,7а — 13,) ч,. (21.7) 9 Отсюда ввиду линейной независимости ч, следует, что — а,!а — 13, = О, (21.8) т. е. (3, = — а,/а. Единственность представления (21.5) доказана. Совокупность векторов ч, называется базисом пространства, а коэффициенты (3,— проекциями вектора ч в этом базисе. Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов ч, и ч,, обозначаемое ( о,!г,), является числом, удовлетворяющим следующим требованиям: ти к обозначениям Дирака для векторов, которые наиболее удобны для квантовой механики. В (21.9б) звездочкой обозначено комплексное сопряжение. Кроме того, надо обратить внимание, что в (21.9) буквы г, и г„ набраны светлым шрифтом, а не полужирным, т. е. векторный характер ч, и ч, обозначен угловыми скобками, а не полужирным шрифтом. Равенство (21.9в) показывает, что скалярное произведение линейно относительно второго вектора в произ- веденин.

Однако относительно первого вектора оно антилинейно: (аг, + (3г,1г„) = а*(г, ~ ге> + 13*(г,~ г9). (2 !.9г) Это соотношение получается из (21.9в) с учетом (21.9б) следующим образом: (аг, + !3г 1гк> = (гт~аг, + рг >в = = (а(г„1г,) + (3(г„~ г,>)* = = а'(г,~тч) -ь 13" (г,1г„). Модулем или нормой вектора называется число )г~ = (г)о). Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Совокупность векторов (е„е,, ..., е„) называется ортонормированной, если лля всех векторов этой совокупности соблюдаются условия (е,1е,) = бе, (21 10) где бо-символ Кронекера. Скалярное произведение удовлетворяет важному неравенству 1( ',1,) !' <1г,1'~:, 1', (21. ! 1) называемому неравенством Шварца. В обычном трехмерном пространстве оно очевидно, потому что косинус угла между векторами по модулю 132 о Основные понятия теории представлений равен или меньше единицы. Для доказательства в общем случае рассмотрим вектор ч = ч, — ч,(р;!о)Л о,!т.

(2!.!2а) Соотношение (21.9а) для него принимает вид <р 0 <р !О>ЛР 12!Р о<о !р>Ло !т>— = (о, ! г,) — (о, 1 г,) (гЛ г,Я р,!'— — (;!о>*(',1:,)Л ',!'+ + <;1,>*<,1:,><р,~р,Ир,!' = ~о !т ~(р !р )!т!!р ~г >!) (2! !2б) где в последнем равенстве использована формула (2!.96).

Из (21.12б) следует (2!.11), что и требовалось доказать. В трехмерном обычном пространстве известно неравенство треугольника: длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. В общем случае многомерных векторов неравенство треугольника записывается в виде !о, + р,~ < !г !+ !р,!. (21.13) Для доказательства этого неравенства заметим, что !о,+р,~'=(р,+ г !г,+г) = = !о,!'+ 1;!' -о (,1;) + (г,!г,) = =!р,('+ !о )т+ 2Ке(о !о ), (21.14) где (р,1о,) + (г,~г,) = (о,!о,) + (о,!о,)" = = 2Ке(г,)о,). Поскольку для любого комплексного числа о справедливо неравенство Век < ~ с !, соотношение (21.14) принимает вид ~о, + о !т < !и!т + !р!т+ 2)(р!р)!. (2!.!5) Отсюда с учетом (21.1!) следует не- равенство (г, + р,)' < !о !'+ ~о,!' ч 2!о !!о,1= = 0 ',~+! ',~)' (2 !.1б) эквивалентное (21.13). Сопряженные векторы.

В теории линейных векторных пространств большое значение имеют понятия контравариан~ного и ковариантного векторов и соответствуюших проекций. Эти векторы при переходе от одного базиса к другому преобразуются поразному, Однако при рассмотрении векторных пространств нельзя ограничиться лишь одним типом векторов (контравариантным или ковариантцым), по~ому что при этом не удается решить важнейшую задачу теории — анализ ив вариантов преобразований.

Обычно контравариантные и ковариантные величины различаются положением обозначающих их индексов. Например, е„— ковариантный вектор, е'-контравариантный вектор. Эти векторы принадлежа г различным линейным векторным пространствам. Поэтому их нельзя складывать между собой. Скалярное произведение определяется как операция умножения между ковариантиым и контравариантным векторами, что и обеспечивает инвариантность этого произведения. Лишь после введения метрики пространства можно скалярное произведение выразигь либо только через ковариантные„либо только через контравариантные величины и как бы ликвидировать различие между ковариантными и контравариантными векторами.

В квантовой механике вектор состояния характеризуегся обычно не одним, а несколькими параметрами или символами. Выносить эти параметры и символы в индекс вектора не всегда удобно или даже возможно, Поэтому Дирак предложил специаль- е 21 Пинейные коненномерные векторные пространства 133 нос обозначение для векторов, которое учитывает требования к удобству написания векторов и операций с ними в квантовой механике. Вектор обозначается символом ) ), внутри которого в строке выписываются параметры или символы, относящиеся к вектору.

Если, например, вектор харакзеризуется парой чисел п,т, то он записывается как ~1п,пт); если символом Ох, то в виде 1® ), если буквой р„ то ~р) и тд. Пространство векторов ~п,) квантовой механики является комплексным. Вместо того чтобы говорить о контравариантных и ковариантпых векторах, говорят о векторах и сопряженных векторах. Каждому вектору ! р,) сопоставляется сопряженный ему вектор ~ р,) ".

Совокупность векторов 1р,)' составляет линейное векторное пространство наряду с линейным векторным пространством, образуемым совокупностью векторов 1о, ) . Складывать векторы этих различных пространств нельзя. Все операции над векторами должны проводиться в пределах каждого из пространств. Эти пространства связаны между собой определением скалярного произведения, которое и порождает метрику пространства.

Сопряженный вектор записывается как (о,~ = ~г,)+. Скалярное произведение вектора ~р,) на 1р,) записывают в форме ~ р,)' 1р,) = (р, ~ 1р„) = = ( р, ! гз). Знаки ~ ~, стоящие между р, и ю,, играют лишь роль указателя, разделяющего перемножаемые векторы, и поэтому заменены одной вертикальной чертой. Это делает запись скалярного произведения компактной и удобной. Левая угловая скобка*' с чертой относится к вектору ((, а правая — к ы Скобка Ьгаеке1 (аггел.) вектору )). Это дало основание Дираку назвать вектор (! бра-вектором, а вектор ~ ) -кет-вектором. Пою ому часто линейное пространство кет-векторов называю~ кет-пространством, а бра-векторов- бра-пространством.

Операторы. Операция сложения векторов и умножения векторов на скаляры характеризует свойства векторного пространства. Операции над векторами описываются операторами, которые обозначаю~ буквами или к другими символами со значками над ними, например .4, .1., г, и т.д. Оператор А определяет правило, по которому вектору ~ Ч') пространства кет-векторов сопоставляется вектор ~тр) того же векторного пространства, т.е.

по заданному вектору ~ Ч') определяется вектор ~ тр). Это сопоставление записываю~ в виде равенства 1р) = А1Ч) 121. 17) и говорят, что оператор гг действует вправо на вектор 1Чт), в результате чего получаем вектор 1тр). Оператору А, действуюшему в кет-пространстве, соответствует сопряженный оператор А+, действующий в пространстве бра-векторов, по такому правилу: если оператор А, действуя вправо на вектор ~Ч'), дает ~тр), то оператор А , действуя влево на вектор (тр~, лает (тр ~: ( тр ! = ( Чт ! А ". 121.!8) Отметим, что оператор А ' действует только на векторы (Чг(, а оператор А — только на векторы ~ Ч').

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее