Ф. Крауфорд - Волны, страница 18

DJVU-файл Ф. Крауфорд - Волны, страница 18 Физика (2681): Книга - 4 семестрФ. Крауфорд - Волны: Физика - DJVU, страница 18 (2681) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ф. Крауфорд - Волны", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 18 - страница

2А). 2.3. Общий случай движения непрерывной струны и фурье-анализ Наиболее общее движение непрерывной струны (с закрепленными концами, совершающей поперечные колебания вдоль оси х) будет суперпозицией всех мод 1, 2, 3,,. с амплитудами А „А„Аш... ') В нннге наряду с германом «днсперснонное соотношение» для обозначения зависимости м от й употребляется равнозначный термин «закон дисперсии», (Прим. ред.) "*) Згнмн термннамн мы переводим термины «попщгзрегзгче тат«ез» н «спзрег»1уе рашен».

(Прим. Рнд.) 3» 67 и фазовымн константами гр„ ~р„ «р„..л ф(г, т) = А,з[пйг сов(ь»,«+ч»)-~-А»з!пй»гсоз(«ь»(+~у«)+..., (37) где й„выбраны так, чтобы удовлетворять граничным условиям прн г=-0 и г=)., а частота ы„связана с волновым числом й„дисперсионным соотношением «ь(я). Амплитуды А„и фазы «р„, которые определяют движение для всех положений г и моментов времени (, вычисляются из начальных условий, т. е. по смещению ф (г, !) и скорости о (г, г) =дф(г,!)lд! каждой точки в момент времени »=-0.

Движение о»яруны, закрепленнои на концах. Допустим, что в момент времени г(0 при помощи шаблона струне была придана определенная форма 7' (г). Затем в момент времени г= — 0 убираем шаблон, позволяя струпе двигаться. При 1=О каждый элемент струны имеет свое смещение ф (г, 0), равное [(г), и скорость, равную нулю; и-й член в выражении для скорости [т. е, в производной по времени от (37) [ пропорционален гдп (ь»„г + «е„) или э[п «р„для г = О. Таким образом, мы можем удовлетворить равенству о (г, 0) =-0 для всех г, положив каждую фазовую константу ~р„равной либо О, либо и. Однако выбор фазовой константы «р,=п (например) равносилен перемене знака перед А,. Поэтому мы удовлетворим этим начальным условиям, положив все фазовые константы равными нулю, но допуская, что амплитуды А„ А, и т. д.

могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда для нулевой начальной скорости о (г, О)=0 имеем ф(г, !)=А,з[пк,гсоз<ь,(+А,з[пк»гсозь»»!+... (38) и при г=О !р (г, 0) = ~ (г) = — А, з[п й,г + А, з[п я,г + .. (39) Как мы увидим ниже, уравнение (39) определяет амплитуды А „А„... Ряды Фурье для функции о нулями на концах, Функция ! (г) может быть очень общей функцией от г. Единственное ограничение, которое накладывается на 7(г), — это обращение в нуль на концах, т.

е. 7 (г)=0 при г=-0 и г=-1.. Потребуем также, чтобы 7 (г) не была «ломаной» функцией в «малом» масштабе. Это необходимо потому, что волновая функция ф (г, !) — медленно меняющаяся функция от г. Функция 7 (г) должна быть достаточно гладкой, для того чтобы мы смогли придать ее форму струне и для того чтобы струна подчинялась дифференциальному уравнению, полученному с помощью «непрерывного» приближения.

Таким образом, мы нашли, что любая разумная функция 7(г), которая обращается в нуль в точках г= — 0 и г=7„может быть представлена рядом (39), т. е. суммой синусоидальных колебаний. Выражение (39) называется рядом Фурье или разложением Фурье. В данном случае мы имеем дело с разложением Фурье для функции, равной нулю на концах.

В общем случае разложение в ряд Фурье применимо и к более широкому классу функций. Теперь мы найдем этот более широкий класс функций, ба Наша функция 1(г) должна описывать форму струны, и поэтому она была определена между г=О и Ь. Однако функции з)п й,г, з(п2йзг, а)п Зй,г и т. д., которые составляют ряд (39), определены для всех г от — оо до+оп. Заметим также, что з1п йгг периодичен относительно г с периодом Хг. Это значит, что значения з!пй,г при любом заданном г и при а+аз совпадают.

(В нашем примере величина периода Хг равна 2Ь.) Легко видеть, что функция з)п 2йзг также периодична по г с периодом Хг. (Она делает два цикла на длине Х„ поэтому она периодична и с вдвое меньшим периодом Ч,Х,.) Более того, все синусоидальные функции в (39) периодичны по г с периодом Хг. Поэтому и все выражение периодично с периодом Лз. Теперь можно расширить класс функций, для которых справедливо разложение Фурье в виде уравнения (39): все периодические функции г(г) б'г/ гу г- Л ажй -Ь й г Х л Рнс. 2.».

Образование псрноднческой 4ункцнн е (г> с периодам м=йе пз функпнн 1 (гь исчезающей на концах отрезка «=й н г=ь с периодом Х„которые равны нулю при г=О и г=-Хг/2, могут быть разложены в ряд Фурье„имеющий вид (39). Данная функцпя ~ (г) определена только между точками г=О и 1. и равна нулю в этих точках. Мы можем образовать периодическую функцию, которая будет иметь такое же разложение Фурье, что н г(г), по следуюшему правилу: между точками г=О и (. функция г" (г) совпадает с ) (г). Между Е и 2Е функция г(г) является кперевернутым (вокруг оси г) отображением> ) (г) в азеркале», расположенном в точке г — 1,. Теперь то, что мы определяем как г (г) на интервале от г=О до 21., продолжим на последовательные интервалы длиной 2Ь, чтобы определить г" (г) для всех г.

Результат этих операций показан на рис. 2.5. Фурье-анализ периодической функиии от г. Здесь мы еще больше расширим класс функций, для которых можно написать разложение Фурье. Уравнение (39) соответствует функциям, которые периодичны с периодом )ч» и равны нулю в г=О и Хг/2. Однако обращение в нуль функции в этих точках есть результат выбора граничных условий, которые заключаются в том, что струна закреплена на обоих концах. Без таких граничных условий мы получили бы решение для колебаний струны, которое включало бы в себя не только члены з(ппнзг, нотакже члены соз пй,г, Эти функции также периодичны 69 на г с периодом Х!, но не равны нулю при г=О и Л!/2.

(Они соответствуют колебаниям струны с одним или двумя свободными концами). Включая в ряд Фурье и эти функции, мы приходим к очень общему классу функций, для которых может быть написан ряд Фурье: все периодические функции Р (г) с периодом Х„т. е. функции, удовлетворяющие условию Р (г+Х!)=Р (г) для всех г, могут быть разложены в ряд Фурье, имеющий вид 2п 2п Р(г) == '5"„~А„з|пп —.— г-,'-В„созп — 'г~ х, 1 л — ь 2п 2п = В + ~ !1 Л„з)п п —, г + В„п —.' ~=! ! 1 =В,+ ,"~', Л„з1ппй,г+ ~э~ В„созпй!г.

(40) л=! и=! Выли!слеп!!е коэффициентов ряда Фурье. Процесс нахождения амплитуд, или коэффициентов Фурье В„А„и В„(для всех п), для заданной периодической функции называется фурье-анализом. Покажем, как найти эти коэффициенты. Начнем с В,. Проинтегрируем обе части уравнения (40) от г=г, до г=г„где г, — любое значение г, а г,=г!-,'-Х!. Мы предполагаем, что функция Р (г) известна, поэтому интеграл от г, до г, для левой части уравнения (40) может быть найден. Теперь рассмотрим интеграл от правой части (40). У нас бесконечное число членов, и поэтому нужно рассмотреть бесконечное число интегралов. Первый член справа равен В,; при интегрировании от г, до г, получаем ~ В, !(г = В, (г, — г,) = В,), (41) г! Все остальные члены при интегрировании по периоду дадут нуль.

Действительно, на протяжении периода функции з1п пй,г и соз пн!г одинаковое число раз отрицательны и положительны, поэтому ~з)ппй,гАг=О, ~созпй!гг(г=О. и и Таким образом, мы нашли коэффициент В,. Он равен В, = — ~ Р (г) !(г. (42) л, Теперь покажем, как найти коэффициент А, где т — некоторое частное значение коэффициента п. Умножим обе части уравнения (40) на з1п тй!г и проинтегрируем'правую и левую части по периоду функции Р (г).

Интеграл в левой части может быть вычислен, так как функция Р (г) известна. Рассмотрим интеграл в правой части. 70 Первый член — это интеграл от произведения В, на яппй,г. Он равен нулю, так как включает т полных периодов яп пй,г. Осталось вычислить интегралыот произведений яппл,гз!птй„г и сов!Й,гх х яп пй,г для п=1, 2, ...

Рассмотрим член, для которого п=т. Среднее значение квадрата з!и'туг,г на одном периоде длиной /, равно '/, (Х, содержит т полных периодов функции яп пй,г). Таким образом, при интегрировании правой части (40) появляется член '/, А„Х,, Все остальные члены при этом равны нулю. Это видно, например, из следую!пего. Рассмотрим интеграл от яп п/г,г яп т/г,г, когда тэьп. Подынтегральная функция может быть записана в виде ! ! з!п пА,г з!от/!,г = — соз (и — т) /г,г — 2 сов (и+т) йг. (43) Так как (и — т) и (и+т) — целые числа, то каждый из двух членов столько же раз положителен на периоде ) ь сколько и отрицателен.

Поэтому интеграл от этого произведения равен нулю (за исключением случая п=-т, который мы уже рассмотрели). Аналогично, интеграл от произведения соз и/!„г яп тн,г будет равен нулю, так как ! ! соз л/! г э!п туг = — 3!п (т+и) /г г+ — 3!п (т — и) /Тг. Таким образом, ! —,А„Х,=- ') з!пт/г,гу(г)!/г.

и Умножив обе части выражения (40) на соз и/г,г и проинтегри- ровав на периоде Х„получим выражение для В„: т, — В 7 =~созтл1гг (г)!/г. (40) и Еоэффи!/иенты Фурье. Выпишем теперь полученные результаты, выражаемые равенствами (40), (42), (44) и (45): Здесь г, — любое значение г. Равенства (46) показывают, как любую периодическую функцию от г с периодом Х! представить в виде ряда Фурье. 77рлмоугольные волны. В качестве примера разложим прямоугольную волну в ряд Фурье. Пусть функция ! (г) обращается в Ууг/ нуль в точках г=-0 и г=Е и й равна+1 для О(г(Е.

(Вточр ь г-: ках г=-0 и г=Е функция перестает быть непрерывной, ЮЛ Ю Л а7 Г'г/ 7 л'дй т, е, не удовлетворяет сделано" о ному выше предположению, -Г -7 что функция «гладкаян во всех р Х Л г н. точках. Поэтому нельзя ожи- дать, что ряд Фурье совершенро. г. „„„, „,„,„,„, „,,<„п,„н, н но точно воспроизведет эту ческая огяноэлсолвная волна Г!а!. функцию. При конечном чис- ле членов ряда в точках г=- =0 и г=Е будут сильные выбросы. Увеличение числа членов ряда делает выбросы острее, но их высота не стремится к нулю.) Периодическая функция г" (г), образованная в соответствии с установленными ранее предписаниями (см. рис. 2.5), обладает следующими свойствами: г (г)=0 для г= — 0; +1 для 0(г(Е; 0 для Е; — 1 для Ес г =21 и т. д., как показано па рис.

2.6. Воспользовавшись формулами (46), легко получить следующие значения коэффициентов Фурье (задача 2.11): В,=О; В„=-О для всех т; А =0 для всех четных т=2, 4, 6, 8,...; А ж4!тп для нечетных т=1, 3, 5, 7,, Таким образом, имеем Р(г) =В,+ ~~.", В„созтй,г+ .~~ А„з!птйаг= ис= ! ~и= ! 4 ! 1 ! + 3 яп Зй~г+ 5 э!п 5 ~а+ =1,273яп — +0,424э!п — +0,255з!п — +... (47) На рис. 2.7 показана прямоугольная волна 7'(г), первые три члена разложения (47) и их сумма. Предположим, что в момент времени 1=-0 мы придали струпе форму, определяемую выражением й(г) = 1,273э!п — „+ 0,424 яп — + 0,255 з!п †. (48) Она соответствует первым трем членам ряда (47) и показана на рис.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее