Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 5

DJVU-файл А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 5 Теория вероятностей и математическая статистика (2676): Книга - 4 семестрА.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 5 - страница

1.81. Однородный прямой круговой конус с высотой Ь и радиусом основания г случайно бросается на гориаонтальную плоскость. а) Найти вероятность того, что он упадет на основание; б) вычислить эту вероятность при г = Ь; в) при каком отношении г/Й эта вероятность равна 1/4? 1.82, Однородное тело, ограниченное сферой и плоскостью, проходящей через центр сферы (полушар), случайно бросается на горизонтальную плоскость. Найти вероятность того, что полушар упадет на плоскую часть своей границы.

1.83. Длинный однородный орус прямоугольного поперечпого сечения размера аХ Ь, Ь > а, случайно бросается на горизонтальную плоскость так, что его ось параллельна етой плоскости, а угол поворота относительно этой оси равномерно распределен в (О, 2л». Най. ти вероятность того, что он упадет на более широку<о грань. 1.84*. На плоскости проведено и окружностей Яп ... ..., 5„с обгцвм центром О; радиус окружности Ь"„равен Й (й 1, 2...„и), Случайная точка А имеет равномерное распределение в круге, ограниченном окружностью Я.; АВС вЂ” правильный треугольник, одной из вершин которого является А, а центром — точка О. Найти веровтность Р того, что граница треугольника АВС пересекает ровно лг окружностей, лг ° О, 1, ..., и.

1.85. Найти вероятность Р„того, что случайная точка 5 * $„..., $,), имеющая равномерное распределение в и-мерзок кубе К„= ((хм ..., хз) ~ Л": шах ! х;! ~(1), «<м прнпадлежнт и-мерному шару В, ((х„..., хз) еБ й: х1 + ... + х„'~~1), вписанному в К„, Ьычнслить Р„для п = 2, 3, 10, 20. Глава 2 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИИ В построении математическом модели последователь. ности испытаний важную роль играют попятив независимости событий и условной веронтпости.

Условиал вероятность Р(В)А) события В прн условии, что событие А произошло, определяется формулой Р(В!А) = — '~, Р(А) >О. (2.1) Это равенство может быть записано в ниде «теоремы умножения» Р(АВ) = Р(А) Р(В! А ). (2 2)' Обобщением (2.2) является формула Р(А~Аз...А )= Р(А~)Р(Аз(А1)Р(Аз)А~Аз) ° .* ... Р(з! !А~Аз... А -~). (23) Равенство Р(В!А) = Р(В] (2.4) естественно интерпретировать как независимость события В от А, В качестве определения независимости двух. событий А и В принимается более симметричное условие Р (АВ) =- Р(А) Р(В), (2.5) эквивалентное (2.4), если Р(А) ) О.

Из (2,5) следует независимость (см. задачу 2А8) еще трех пар событий: зб зз 'Л и В, А и В, А и В. События Аь Аз, ..., Л„порываются взаимно пезавиеимьизи (или незовиеимььми е созокузе ности, или просто независимыми), если для всех комбипацпи нпдексоз 1 ~ ь1(зз(... (зь ~ л (1= 2, ..., л) пмеем Р(Аз А, ... А, ) == Р(А, )Р(А, ) ..

Р(ЛН). (26) Если (2.6) зыполняетсн только прн й = 2, то события Аь ..., А„ваэывают локарно независимыми; о связи попарпой и взаимной независимости см. аадачи 2.22 и 2.23. Многие важные модело серии опытов со случайными исходами часто оппсывазотся либо условными вероятностями, либо предположением ьь о пезавпспмости исходов различных опытов и зада- л,ж пнем безусловных вероятностей исходов. В таких слу- „",ззу чаях по формулам (2.3) илн ~А (2.6) можно, используя заданные условные вероят- 6'ь т ности пли независимость, ез вычислить вероятности эле- ьвсз ментарных событий.

П р и м е р 2.1. Возмож- Рие. 3 ные превращения радиоактивного ядра палладпя ",'ьрд можно представить в виде графа, приведенного на рис. 3. В обозначениях ядер нижний индекс равен числу протонов в ядре, верхний индекс — сумме числа протонов и числа нейтронов. Буква лз в верхнем индексе означает возбуязденное состояние ядра.

Дугами обозначены возможные превращения ядер; рядом с дугами указаны вероятпости соответствующих превращений. Найти вероятность того, что ядро палладил ",зьР6 пРевРатнтсл в ЯдРо кадмиЯ ~ь~зС4. Решение. Обозначим А н Аз, Аз сооытия, состоящие в том, что в превращениях участвовали ядра,'зро, 1И ыь яь „,Ак, 4зСо. Тогда условия задачи можно записать в виде Р(А~) 1, Р(Аз~А~)=073, Р(Аз!А~Аз) -0915. Нужно найти р Р(А~АзАз).

По формуле (2.3) находим р = Р(А~)Р(Аз)Аз)Р(Аз~А~Аз) = 073 ° 0 915 = 0 66795. ь Схема случайного выбора беэ возвршцепия (см. гл. 1) естественно определяется в терминах условных вероятностей; если известен результат первых к испытаний, то 27 при (й+ 1)'-м испытании с равными вероятпостямн может появиться лгобой нз оставшихся злементое.

Модель слу- чайного выбора, сформулированная е терминах условных вероятностей, совпадает с определением из гл. 1. В тер- минах пеааеиспмостн и равновероятности результатов от- дельных испытаний может быть описана и схема случай- ного выбора с возвращением; определенная е гл. 1. П р имер 2.2.

Иа урны, содержащей 3 белых н 2 чер- ных шара, по схеме случайного выбора без возвращенка последовательно извлекаются шары, Найтп вероятность р, того, что черный шар впервые появится прн )с-м испы- тании (й — 1, 2, 3, 4). Решение. Обозначим С~ событие, состоящее в том, что в бм испытания появился черный шар.

Тогда со- бытия В„= (впервые черный шар появился при й-м испытании), й = 1, 2, 3, 4, можно выразить через С, и Са В~ См Вз С~Се Вз = С~СхСз~ В4 616зСзС», По формуле (2.3) Р(В~)=Р(С~)', Р(Вз)=Р(С1)Р(Сз(С~)', Р(В,)- Р(С,) Р(СЖ) Р(Сз(С,Сз), Р(Вз) Р(С1)Р(Сз(С1)Р(Сз(С1Се)Р(С (С1СзСз) ° По классическому определению вероятности 2 — 3 — — 3 — 1 Р(Сг) —, Р(Сх) = 3, Р(С;+~)С, ... С;) Р(С+!С,... С)= ~,, з 123. В результате получим р -Р(В ,) — — 0,4, р, Р (В,) — — 0,3 2 3 2 3 2 2 р,-Р(В) = —. —,— б,г„ 3 2 х 2 = Р(В) ~.. 3 —, — О1.

5 З 3 2 Дадим определение последовательности испытаний. Пусть йп=((!ь !з, ..., ! ): 1„ш(1, 2,, %), 3=-1, 2, ..., и). (2.7) 28 Элементарное событие «) (11, 1з, ..., 1„) интерпретируется как цепочка исходов в и последовательных испытаниях, каждое из которых имеет )г' несовместных исходов: 1, 2, ..., У. Если положить (~) = ~, Р! р Р,„р,),..,1„, Ю !!=1 1, !н (1, ..., Ж), 1 ( Й ге), то на подмножествах множества 0 однозначно определяется веронтность Р(А) = ~,' Р(ю), А с=О„. Построенное вероятностное пространство является мате- матической моделью последовательяости я испытаний.

Последовательностью независимых однородных испы- таний является частный случай приведенной общей мо- дели, в которой формулу (2.8) надо заменить формулой Р(ы) = р! р, ... р, (1ье= (1,..., йг), 1:с й~~н)х (2.9) где р)+рз+...+р„=1, р,~О, 1=1, 2, ..., У. Определение последовательности независимых испы- таний маятно дать в форме произведения вероятностных 'пространств. Положим 1)е (1, 2, ..., )!); тогда Я„в (2.7) можно записать в виде и„=а„Х и, Х ... Ха,=а," и длн любого А =А)ХЛзХ...ХА, где Аь ..., А ~()е, имеем Р(Л ) = Р(А)) Р(Ле)... Р(А„). Здесь Р(ЛО = р + р! + ... + рг,еслн Л! —— (!), 1з,...,1,). Обозяачим А';,) событие, состоящее в том, что в 1-м (!) испытании наступил исход !.

В модели (2.7), (2.8) Р(А"))А")А")... А)! 1 ! .. ) р а в модели (2.7), (2,9) (Л',",Л'"Л"'... Л'-"1 — ., )! 1 1, !! ° ° )! 11 = Р!!' Обозначим Ве,. событие, состонщее в том, что в 1-м !) испытании исход принадлежит множеству Я! = (11, ... ..., 1)„! ). Для независимых испытаний события Вз, )1) 29 ° з,, ° °, йе„являются взаимно независимыми при лю. .бом выборе Яь . '., Я„.

Если в (2.8) положить р р(0)0, ри1+... $у)й„..л~, ц° ° ° + рф = 1, то получится последовательность независимых (неоднородных) испытаний, в которых вероятности исходов аависят от номера испытаний (ко не от реаультатов предыдущих испытаний). Вероятностную модель, определенную формулами (2.7), (2.9), называют также полиномиальной схемой. Обозначим через ~„, число появлений исхода 1 в и испытаниях полиномиальной схемы. При решении задач полезна формула Р6, =т,6., = „...$л -тн)- где т,)0 (1=1, 2, ..., Ж) целые и п-т~+тт+'..; ...+т . Последовательность исходов полнномнальной схемы с гч =10, в каждом испытании которой каждый из исходоа О, 1, 2, ..., 9 появляется с вероятностью 1/10, нааывают случайнъьки числами.

Пример 2.3. Найти вероятность того, что среди 10 однозначных случайных чисел ровно 4 четных числа и 2 нечетных числа, кратных 3. Р е ш е н и е. Однозначное случайное число четно с ве- 5 1 роятностью р, — = — печатно и кратно 3 с вероятте В' в г пастью р, = — = —. Вероятность остальных исходов 10 5' в ра = 1 — р, — р, = 10. Если $1 — число четных чисел среди 10 случайных чисел, $т — число нечетных чисел, вратных 3, то число остальных чисел фе= 10 — $~ — $е, и по формуле (210) с И = и =10 находим Р Д, = 4, $„=- 2) = Р (~, = 4, $е = 2, $,-'=',4) = 4 45 4 Я (~) ~р) 0,083782...

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее