А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А. М. ЭУВКОВ В. А. СКВАСТЬЯНОВ В. П. ЧИСТЯКОВ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Донуиеено Государственньм Комитетом СССР но ноРОО инну обуоэоаонню в аанветве унебноео пособия бяя студентов во~сиена унебнис аааабоннб НТ1СЧ~ А т 111В ИОТГЕА ! Еьйес.б"с~б ~111атбабса1919 бна и Е, 91 Де|Е1НА УсаЕг М1'Я аонд МОСКВА аЫАУКА* ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЛИТЕРАТУРЫ 199 9 )4МЮ "ЫН;+11 (1-9! ' е)(К В!9.2! (075,В) Зубков А. М» Севастьянов В.

А» Чистяиов В. П. Сборник задач по теорие вероятностей: Учеб. пасобле для вузов.— 2-е изд» искр. и доп.— Мл Наука. Гл, ред. фпз.-мвт. лиг.— 1989.— 320 с.— 18В)«1 5-02-013949-1. Рецензент кафедра теории вероятностей Московского института электронного машиностроения (заведующий кафедрой — доктор физико-математнчоскнх паук Г, И. Ивченко) 1602090000 — МО 053(02)-89 Издательство «Неуке», © Главная редзкдня Фяввко-мзтематвчеезой литературы, тозе; с заменензннн, !ззз 1ВВХ 5-02-0(3949-! Содержит упражнения по всеи разделам теории вероятностей, включаемым в иачальный нурс. Тексты задач, указания, решетп«я и ответы помещаются раздельно.

Второе издание по срввпепию с первым (1980 г.) существенно вврорзботеио. Значительно увеличено общее число задач н, в частности, число простых задач, предназначенных для упражнепнй по начальному курсу тоорпк вероятностей; з вводные части к основным темам добавлены примеры рожепия задач; добавлены задачи по случайным процессам и математической статистике. Длн студентов математических и физических специальностей вузов. Табл. 9. Ил. 8. Библиогр. 13 вазе. 7 13 22 случайяыл величин 148 154 160 163 174 1е ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ЧАС'ГЬ 1. ЗАДАЧИ Г л а в а 1.

Простейезае аероатиостщае схемы $ 1, Классическое определение вероятности $2. Гаометраческие вероятности Г з а в а 2. Последовательности испытаний $ 1. Условные зероятности $2. Независимость событий $3. Формула полной вероятности $4. Схема Бернулли $5. Полиномиальная схема Г л в в в 3.

Случайпыв ееличвпы $1. Распределение вероятностей $2. Математические ожидания $ 3. Услбвные раслределепия $4. Нормальное распределение Глава 4. Предельные теоремы. Производящие и характеристические функция $1. Закон больших чисел. Лемма Бореля — Кантелли $2, Прямые методы доказательства нредвльных теорем $3. Характеристические и производящие функции $4. Неравенства Боиферронп и сходимость к распределению Пуассоне $ 5. Применения центральной предельной теоремы и мв.

тода характеристических функций Гл а за 5. Простейшие случайные процессы $1, Разнтае задачи $2, Пуассоиовскив продессы $3. Цепи Маркова Г л а з а 6. Эаемекты математической статистики 26 37 39 41 45 48 50 66 77 94 99 196 113 118 126 135 И и а т ь 11. Ь'11Л~1Л1!!1И И ни ~ и ! 1! 111ИИ1И1И Ч а с т ь 1У !>уйду!1 'Гибавцы Иирыиаииии рисиредеаеиие 1'иси!и !иии иио Пуассоне 1'исиридеаепио Стьюдента у' распределение Равномерно распределенные случайные числа Нормально раснрвделенные случайные числа Протраммные датчики нсеадослучайных чнсел Спнсон лмтературы 183 383 278 ЗО3 ЗО6 338 ЗО3 Зйз 3!! З13 314 Зтй ПРЕДИСЛОВИЕ Этот сборник задач является учебным пособием по начальному курсу теории вероятностей для студентов университетов и технических вузов. Математический аппарат, используемый при решении большей части задач, не выходит зз пределы обычного курса математики в технических вузах, Каждая иа шести глав задачника имеет введение, где приводятся краткие сведения о понятиях и утвари~даниях теории вероятностей, необходи мых для решения задач этой главы.

Введении к первым трем главам содержат, кроме того, примеры решения простых стандартных задач. Конец каждого примера отмечен знаком Л. В сборнике имеются задачи разной степени трудности. С одной стороны, в каягаой главе есть простые задачи, решение которых сводится к прямому применению основных формул и приемов, Номера таких задач отмечены знаком . Эти задачи можно использовать па семинарских занятиях как в технических вузах, так и в униве рся тета х. С другой стороны, в каждой главе есть достаточно слоя~яме задачи, решения которых содержат принципиально важные иден или связаны с аккуратным проведением математических выкладок или рассуждений.

Номера таких задач отмечены знаком в, а нх полные решения приводятся в части ИЕ Остальные задачи занимают промежуточное положение. Если первые попытки решения такой задачи яв приводят к успеху, то можно воспо.тьзоввться указаниями (см. часть П), которые практически для каждой задачи в сжатой форме перечисляют псе сколько-нибудь нетривиальные соображения, яа которых основано ее регпекие. Иначе говоря, указания раабивают задачу средней трудности на несколько более простых задач.

Авторы стремились сделать задачи интересными как по форме, так и по содержанию н подбирали аадачи так, 5 ~~ нн< п~ н«ж ~ п,пцппсн»сл»этьс» с оскол<пнып попятипмп н <и нн<плп< н»рпп ~и рпкс»»сн и. Особое эпимание у,п.<» ~сн ~гп»л и »~попы<< по<одам, которыа <работают< прап«»пснп по всех областях применения тоорип вероятностей, например: представлению исслодуемой случайной величины в виде суммы индикаторов, использованию линейности математического о<кидании, методу моментов, представлению исследуемой случайпои веля- чины в виде суммы более простой случайной величипы и «малого» добавка, и т.

п. Большая часть этих приемов, как правило, пе находит стран«ения в стандартных курсах теории вероятностей и может быть усвоена только нри самостоятельном решении задач. При составлении задачника был использован рад отечественных и зарубен«ных источников (учебников, задачников, журнальных статей и т. и.), а также задачи, возникавшие в научных и педагогических коллективах, хорошо знакомых авторам. При подготовке второго издания были исправлены замеченные неточности и добавлены поные задачи, Часть 1. ЗАДАЧИ Г па за 1 ПРОСТЕИШИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СХЕМЫ Математические модели случайных явлений, рассматриваемые в теории вероятяостей, основываются па понятия вероятностного пространства, т.

е. тройки (П, лге, Р), где П = (зг) — яепустое множество, злемеяты вг которого ийтерпретируются как взаимно исключающие исходы изуч)гемого случайного явлепия," ,вв — набор подмпожеств множества О, навываемых событиями (предполагается, что мяоягество .М' содержит Й я замкнуто отяосптельпо взятия противоположного события и суммы событий в яе более чем счетном числе, г. е.,гФ является и-алгеброй); вероятность Р— функция, определеппая ва событиях А ж лС и удовлетворял>щая следующим условиям: 1) Р(Л)» 0 прп люоом А г— = л8; 2) Р(О) = 1; (1А) 3) Р ~ () А„) =- ~ Р(А„), если А;А, = 8 при любых ч=Г и-г г че!. Символ В озяачвет пустое множество (или певозможвое событие).

Определение операций пад событпямя, определение алгебры и и-алгебры событий можпо пзйтя в учебпиках по теории вероятяоствй ' (см., ггзпрпмер (2), (5), (10)— (13)). В втой главе рассматряваготся два простейших класса вероятностных крострввств. Пусть П = (юи юм ..., ю.). В о-алгеору событий Л включаготся все 2* подмножеств А = (ю;,..., вгг,,) множества О.

Пря классическом оггределеггии верояюгоеюг полагают Р(юг) ... = Р(ю,) = (/в, поэтому вероятность Р(А) события А = (ьгг,..., ггг„) раева отзошепию числа элементарных событий *) ы, входящлх з А, гг общему ") Здесь в яяжо члсло эл~ иекгоз любоге ьозечпого ялогкгег ва М будем обозпзчать )Мй 7 числу,»и >и и»>рп>>х сибь>тзй и )сл Р(Л) — —- )А! г )и! г' (1.2) Тзкзи ж)и>и>постная схема является математической мидгльз> случайных ззлеквй, для которых исходы опыта и каком-лабо смысле симметричны, и поэтому представляется естественным предположение об их разповозможпости.

Пример 1.1. Брошено две игральных кости. Предполагая, что элементарные события равновероятны, найти вероятность события А ° (сумма выпавших очков делится на 6). Решение, Исход опыта можно описать парой чисел '(1, 1), где > — число очков, выпавших яа 1-й кости, а ) — на 2-й (>, ) 1, 2, ..., 6). Поэтому мы полагаем Й ((>,у):1 1 2,. „6; ) 1 2,...,6). Нетрудно проверить, что общее число элементарных событий )И! = 36. Событие А соответствует подмножеству А "" ((1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (6,6) ) множества Я.

Так как )А! ° 6, то по формуле (1.2) получаем Р (А) )А! с 1 )Ы! ЗС 6. 4~ . Дадим описание двух часто встречающихся вероятностных схем, в которых детализируется общее классическое определение. Обозначим через Л' множество иэ )Р чисел: Л' (1, 2, ..., )>'); пусть с> " (», )г, ° ° , > )— упорядоченный набор из п элементов множества Л .-- Вероятностную схему, в которой (сг =(>и )гз ° ° з 1а): )> >н Л г /с 1, 2, ° ° .~ л) (1 3) и все элементарные события с> равновероятны, пазыва ют схемой случайного выбора с еогерацениег>. Схемой случайного выбора без вогвраи(етая называ ют вероятйостпую схему, в которой П (а> =()н )н ..., 1„): ц>иЛл, й 1, 2, ..., а, среди », ..., >„ нет одинаковых) (1,4)' н элементарные события с> равновероятны.

При вычислении вероятности по формуле (1.2) часто оказываются полезными различные комбинаторные формулы. Приведем основные из них. Пусть дано множество Л' иа М элементов: Л' ° (а„аи ..., а„). Подмнопсест- 8 ва множества Л' называют сочетаниями. Число сочетаний, которые можно образовать из )[[ злементов Л', вы бнрая различными способами подмножества по иэлементов, обозначают Ск плв (~!. Справедливы формулы иГ у[и[ я-и с ° = — =, с" =с и[ и[ [Ф вЂ” и)[ " глен[=1 2 ...