Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей

Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 50

DJVU-файл Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 50 Теория вероятностей и математическая статистика (2674): Книга - 4 семестрБ.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 50 (2674) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 50 - страница

Первое слагаемое правой части в силу (1) имеет своим пределом О. Второе слагаемое, согласно (2), дЬ' в пределе равно а(1, х) —. Наконец, третье слагаемое может отличаться дх дно от -Ь(1, х) — только на слагаемое, стремящееся к нулю при Ь -б О. 2 ' д' Но так как левая часть последнего равенства от 6 не зависит и только что указанные предельные значения от б не зависят, то предел правой части существует и равен дР(1, х; т, р) 1 дзбт(1, х; т, р) а(С, х) + -Ь(1, х) дх 2 ' дхз Отсюда мы заключаем о существовании предела: Р(1-Гб,х;т, )-г(б,х;т,р) дК(б,х;т,р) аб-чО 1пп бзб дС Равенство (5) приводит нас к уравнению (4). Если предположить, что существует плотность распределения д Т(1, х; т, р) = — Ь'(1, х; т, р), др то простое дифференцирование (4) показывает, что плотность Г(1, х; т, р) удовлетворяет уравнению дЯ, х; т, р) дЯ, х; т, р) 1 дзГ($, х; т, р) дб +а(б,х) ' ' ' + -Ь(1,х) ',' ' =О.

(4') дб 2 ' дх' Мы перейдем теперь к выводу второго уравнения Колмогорова. Прн этом мы не станем стремиться к наибольшей возможной общности и сделаем допущения, не вызываемые существом дела. Помимо уже сделанных предположений, мы наложим на функцию е (1, х; т, р) еше такие ограничения: 3) существует плотность распределения вероятностей дР($, х; т, р) Г(1,х;т,р) = др 554.

Непрерывный случайный процесс 4) существуют непрерывные производные дУ(1,х; т,у) д дз — [а(т, у)У(1, х; т, у)], — [Ь(т, у)7(1, х; т, у)]. дт ' ду ' ' ' ' ' дуг Вгсрое уравнение >4олмогоровв 4>. Если выполнены условия 1) — 4), то для непрерывного случайного процесса без последействия плотность г ($, х; т, у) удовлетворяет уравнению Ц(1,х;т,у) д 1 д' = — — [а(т, у)7(1, х; т, у)] + — — [Ь(т, у) у(1, х; т, у)]. (6) дт ду ' ' ' ' 2дуз Доказательство. Пусть а и Ь (а < Ь) — некоторые числа и Я(у)— неотрицательная непрерывная функция, имеющая непрерывные производные до второго порядка включительно.

Кроме того, мы потребуем, чтобы Я(у)=0 при у<а и у>Ь. Из условия непрерывности функции Я(у) и ее производных заключаем, что Я(а) = Я(Ь) = Я'(а) = Я'(Ь) = Яв(а) = Ял(Ь) = О. (7) Заметим прежде всего, что ь ь Я(у)дузе — ! у(Ь,х;т,у)Я(у)дузв ду(1,х;т,у) д Г дт дт,/ е е = 1!гп Я(у) ду. дт- о ")" 7 (1, х; т + >лт, у) — 7' (1, х; т, у) 4'.!т Согласно обобщенному уравнению Маркова 7(1,х;т+тзт,у) = / у(1,х;т,я)7(т,я;т+!зт,у) дл, поэтому ь дУ(1, х; т, у) дт е 1 = !пп — /~ у(1,х;т,я)7(т,я;т+Ьт,у)Я(у) дяду— д -шит Л 4> Второе уравнение колмогорова было получено раньше физиками Фоккером н планком в связи с развитием теории диффузии.

304 Глава 1О. Теория стохестических Пбоцессое 1. Т(б,х;т,у) >0 при всех 1,х,т,у. 2. 1 Т(1, *; ~, у) г(у = 3. 1пп Т"(б,х;т,у) НУ = О при любом д > О. т-чб ~а-х1>б (10) Мы не будем останавливаться на выяснении тех условий, которые нужно наложить на функции а(1, х) и Ь(1, х), чтобы существовало решение уравнение Колмогорова, удовлетворяющее перечисленным требованиям, и было бы при этом единственным. Мы несколько усилим требование непрерывности с тем, чтобы выяснить физический смысл коэффициентов а(1,х) и Ь(1,х). Именно, предположим вместо (1), что при любом б > 0 имеет место соотношение 1'пп — у (у — х) бббР(1 — 2!гб, х; 1, у) = О.

1 з (!') ш- а 2!1,/ 1б — я1>б Легко видеть, что из (1') следует (1). Требования 2 и 3 могут быть теперь записаны иначе, а именно, 1 Т 1пп — / (У вЂ” х) б!уР(1 — бз1, х; 1, у) = о(1, х) (2') аб- а Тзб,/ йт — у (у — х) б(кР(1 — ба!,х;1,У) =Ь(1,х). (3') 2 лб а баб,/ Остальные требования, а также окончательные выводы от замены (1) на (1') не изменяются. Так как (у — х) ЙбР(1 — баб, х; 1, у) = М[С (1) — С (1 — бГ1) [ является математическим ожиданием изменения с(1) за время бз1, а (у — х)2 д Р(1 — Т31, х;1, у) = М[68) — 4(1 — !31)[з части равенства (9), должен быть отличен от нуля.

Мы пришли к противоречию. Таким образом, сделанное нами предположение ошибочно и, следовательно, из (9) вытекает (6). Естественно, что основная задача, которую приходится решать, состоит не в проверке того, что данная функция Т(1, х;т, у) удовлетворяет уравнениям Колмогорова, а в разыскании неизвестной функции Т (1, х; т, у) по этим уравнениям, в которых коэффициенты а(1, х) и Ь(1, х) предполагаются неизвестными. При этом, конечно„разыскивается не какое-нибудь решение уравнений Колмогорова, а лишь те из них, которые удовлетворяют следующим требованиям: 305 0 54.

Непрерывный случайный процесс есть математическое ожидание квадрата изменения С(С) и, следовательно, пропорционально кинетической энергии (в предположении, что ((С) есть координата движущейся под влиянием случайных воздействий точки), то из (2') и (3') ясно, что а(С, х) есть средняя скорость изменения ((С), а Ь(С, х) пропорционально средней кинетической энергии изучаемой нами системы. Мы заключим этот параграф рассмотрением частного случая уравнений Колмогорова, когда функция ~(С,х; т,у) зависит от С, т и у — х, но не от самих х и у. Физически это означает, что процесс протекает однородно в пространстве: вероятность получить приращение гз = у — х не зависит от того, в каком положении х находилась система в момент времени С.

Очевидно, что в этом случае функции а(С, х) и Ь(С, х) не зависят от х, а являются функциями только одного аргумента С: а(С) = а(С,х); Ь(С) = Ь(С,х). Уравнения Колмогорова в рассматриваемом нами случае переписываются т вне: в аком д дС дС 1 д 2 — = -а(С) — — -Ь(С) —,, дС дх 2 дхг' Ю дУ 1 дг1 — = -а(т) — + -Ь(т) —,.

дт ду 2 ду' ' Рассмотрим сначала частный случай, когда а(С) = 0 и Ь(С) = 1. Уравнения (11) при этом превращаются в уравнение теплопроводности дгг 1 ~гУ дт 2 дуг (12) и ему сопряженное д,г" 1 дгу дС 2дхг' Из обшей теории уравнения теплопроводности известно, что единственное решение этих уравнений, удовлетворяющее условиям (10), дается функцией 1 (у — х)г ) л'*'в-„— р ~ ч Заменой переменных г в в х =х — з~а(в)г(в, у =у — ~Ь(в)гСв, С =г~Ь(а)йв, т =г~Ь(в)гС» ч в а а уравнения (11) свалятся к уравнениям (12). Это дает возможность искомое решение уравнений (11) записать в виде 1 ~ (у- — А)г) С(С, х; г, у) = ехр ~— ог/2я к( 2ег Зоб Глава 10. Теория стокастическик троцессов где обозначено 555.

Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова-Феллера В современном естествознании большую роль играют процессы, в которых изменение системы происходит не непрерывно, а скачками. Примеры такого рода задач приведены во вводном к настояшей главе параграфе. Мы будем говорить, что случайный процесс С(С) чисто разрывен, если в течение любого промежутка времени (С, С + ЬС) величина С(С) остается неизменной и равной х с вероятностью 1 — р(С, х)ЬС+ о(ЬС) и лишь с вероятностью р(С, х)ЬС + о(С.'гС) может претерпеть изменение (прн этом мы считаем, что вероятность более чем одного изменения с(С) за промежуток времени ЬС есть о(Ы)).

Естественно, что поскольку мы ограничиваемся рассмотрением процессов без последействия, функция распределения дальнейших после скачка изменений с(С) уже не зависит от того, какое значение имело с(С) в моменты, предшествующие скачку. Обозначим через Р(С, х, у) условную функцию распределения с(С) при условии, что в момент С произошел скачок и непосредственно до скачка с(С) было равно х (т.е. с(С вЂ” 0) = х).

Функция распределения Р(С,х;т,у) легко может быть выражена через функции р(С, х) н Р(С, х, у), а именно Р(С, х; т, у) = [1 — р(С, х)(т — С)[Е(х, у) + (т — С)р(С, х)Р(С, х, у) + о(т — С). (1) По смыслу определения функций р(С, х) и Р(С, х, у) они неотрицательны, причем для Р(С, х, у), как для функции распределения, выполнены равенства Р(С,х,— оо) = О, Р(С,х,+со) = 1.

Кроме того, мы предположим, что р(С,х) ограничена, обе функции р(С, х) и Р(С, х, у) непрерывны относительно С и х (достаточно, на самом деле, предположить, что они измеримы по Борелю относительно х). В отношении функции Р(С,х;т,у) мы не станем делать никаких предположений и лишь сохраним ее определение при С = т: (О при у<х, 11ш Р(С,х;т,у) = 1пп Р(С,х;т,у) = Е(х,у) = т-иго ' ' ' г-~т-О ' ' 1 1 при у>х. Одна из задач настояшего параграфа состоит в доказательстве следующей теоремы. 5 55.

Чисто разрывный процесс Теорема. Функция распределения Р(1, х; т, у) чисто разрывного процесса без паследействия удовлетворяет двум следующим интегродифференциальным уравнениям: =ге )[гР,*: .й — 7' г))*:,р)ге)), )~,)2) й = — / р(1, х) д, Р(1, х; т, х) + дт + / р(т, «)Р(т, х, у) )1,Р($, х; т, х). (3) Уравнение (2) было получено А. Н. Колмогоровым в 1931 г:, в сделанных нами предположениях оба уравнения (2) и (3) были получены В. Феллером в 1937 г. Это обстоятельство приводит нас к естественному наименованию уравнений (2) и (3) уравнениями Колмогорова-Феллера. Доказательство. В силу обобщенного уравнения Маркова Р(С, х; т, у) = Р(! + гМ„«; т, у) г(гР(С, х; С + гХ1, х). Подставив сюда значение Р(8, х; ! + гз1, х) по формуле (!), находим, что Р(1, х; т, у) — / Р(С + И, х; т, у) д, ( [1 — р(1, х) гз! + о(гзг)]Е(х, «) ) + + /Р(!+г!1,х;т,у)д,Цр(1,х)гь!+о(~!)[Р(1,х,х)).

Так как Р(! + )2)1, х; т, у) д, Е(х, х) = Р(! + )М, х; т, у), Р(1,х;т,у) = [1 — р(1,х)с)![Р(!+с)1,х;т,у)+ + 3,!р(1,х) / Р(!+~~,х;т,у) д,Р(1,х,х)+о(г.'ь!). Р(! + Ы, х; т, у) — Р(1, х; т, у) )ь! = р(1, х)Р(8 + с)1, х; т, у) — р(1, х) / Р(! + с)1, х; т, у) дкР(1, х, х) + о(1). Переход к пределу приводит нас к (2). Уравнение Маркова и (!), а также определение функции Е(х,«) позволяют написать следующую цепочку равенств: Глава !О. Теория сгоквсгическик процессов Р(1,х; +Ьт,у)=17(т,к; +гзт,у)в,у(1,х;т, )= ( [1 — р(т, х) Ьт) Е(к, у) + Ьтр(т, л) Р(т, л, у) + а(уэт) ) г1, Р(1, х; т, л) = в',р(1,х;т,л) — Ьт р(т,в)И,Р(1,х;т,л)+ + Глт ~ р(т, в) Р(т, к, у) г1,л (1, х; т, л) + о(ТЗт).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее