Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей

Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 49

DJVU-файл Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 49 Теория вероятностей и математическая статистика (2674): Книга - 4 семестрБ.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 49 (2674) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 49 - страница

Обозначим через А; событие х; < ( < х;+». В силу расширенной аксиомы сложения имеем: Р(В) = ~, Р(ВА») = сз» Р(В)Ае)(Р(х» »ь») — Р(х;)~. ° =-ео »=-ое Станем теперь подразделять интервалы (хн хьь») на более мелкие таким образом, чтобы максимальная длина получившихся интервалов стремилась к нулю. В силу определения условной вероятности и интеграла Стилтьеса отсюда получаем: Р(В) = Р(В)х) ая(х).

В частности Ф(р) = (и < р) = 1 Ф(р1х) бй'(х). (1) Если существует плотность распределения вероятностей величины у), то »р(у) = / Р(р)х) ае'(х), (1') где»р(р)х) — условная плотность распределения величины у). ») Этот предел существует почтя для всех значениЯ я в смысле меры, определяемой фупяппей Р(х). б 52. Условные функции распределения и формула Байеса 295 Пример.

В качестве примера использования формулы (1) рассмотрим следующую задачу теории стрельбы. При стрельбе по некоторой цели возможны ошибки двоякого рода: 1) в определении положения цели и 2) ошибки выстрела, происхоляшие от большого числа различных причин (колебания в величине заряда в снаряде, неправильности обточки стакана снаряда, ошибки в наводке, незначительные колебания атмосферных условий и т.д.). Ошибки второго рода носят название технического рассеивания. Производится и независимых выстрелов при одном фиксированном определении положения цели. Требуется определить вероятность хотя бы одного попадания в цель.

Ради простоты мы ограничимся рассмотрением одномерной цели размера 2а, а снаряд будем считать точкой. Обозначим через у(х) плотность вероятностей положения цели и черезгр;(х) плотность вероятностей для точек попадания э-го снаряда. Если центр цели находится в точке л, то вероятность попадания в цель при э-м выстреле равна вероятности попадания в интервал (л — а, «+ а), т.е. равнац э-~-а гр;(х) г1х.

Условная вероятность промаха при э-м выстреле при условии, что центр цели находится в точке л, равна е+а 1 — грг(х) дх. Условная вероятность промаха при всех и выстрелах (при том же условии) равна ееа П( — 1' гэ зг*) гчы е-о Отсюда заключаем, что вероятность хотя бы одного попадания, при условии, что центр цели находится в точке к, равна зеа - П ( 1' гт*зе*) гым э-о В Мы полагаем при этом, что опрелеление положения пели и техническое рассеивание независимы. 296 Глава 10. Теория стокестическик процессов Безусловная вероятность хотя бы одного попадания в пель (по формуле (1)), таким образом, равна 2+О '= 1' 2О)['-П (' — 1 ь)'*)] '" 2=! 2-О 2+Π— УУО)[' — (' — У2Ф *) 1 *.

Пусть по-прежнему (см. с. 294) А; обозначает событие х; < С < хььн Согласно классической теореме Байеса Р(А2) Р(В[А2) Р(А;[В) = Если Р(х) = Р(С < х) и Р(С < х[В) имеют непрерывные производные по х, то, пользуясь теоремой Лагранжа, получаем: о'(Х22)Р(В[А;) Р(А2[В) = р1(х2[В)(х;+~ — х;) = (х2 2ы — х;), Р(В) где х, < х; < х;+ы х, < х,л < хг+н В пределе, когда х; -г х, х2 ы -г х, получаем р(х)Р(В[х) или р(х) Р(В [х) "(*["- Х Р(В[*)р(*) * Это равенство естественно назвать формулой Бойесо. Пусть теперь событие В состоит в том, что некоторая случайная величина 21 принимает значение между у — а и у+ )9 и условная функция распределения Ф(у[х) величины 21 имеет при каждом х непрерывную плотность р„(у1х). Тогда, как зто следует из равенства (2), если 1 Р(В[х) при а и )з„стремящихся к нулю, равномерно относитель- )3+ а но х стремится к рч(у[х), то имеет место равенство (2) Р(х)Рч(У[х) ) р„(у[х)р(х) Нх Эта формула будет нами широко использована в следующей главе.

Если условия стрельбы не изменяются от выстрела к выстрелу, то 1о2(х) = Р(х) (( = 1, 2,..., и) и, следовательно, 297 б 53. Обобщенное уравнение Маркова В 53. Обобщенное уравнение Маркова Мы перейдем теперь к изучению случайных процессов без последействия, ограничиваясь при этом лишь простейшими задачами. В частности мы будем предполагать, что множество возможных состояний системы есть множество действительных чисел.

Таким образом, для нас случайным проиессом будет совокупность случайных величин с (!), зависящих от одного действительного параметра Е Мы будем называть параметр ! временем и говорить о состоянии системы в тот или иной момент времени.

Полную вероятностную характеристику процесса без последействия мы получим, задав функцию Р(1, х; т, у), равную вероятности того, что в момент т случайная величина г(т) примет значение, меньшее у, если известно, что в момент ! (! < т) имело место равенство С(!) = х. Дополнительное знание состояний системы в более ранние чем ! моменты времени лля процессов без последействия не изменяет функцию Р(1, х; т, у).

Отметим теперь некоторые условия, которым должна удовлетворять функция Р(1, х; т, у). Прежде всего для нее, как для функции распределения, должны быть при любых х, ! и т выполнены равенства: 1) !пп Р(1,х;т,у) =О, 1пп Р(1,х;т,у) = 1; к-> — Оэ х-~.!.00 2) функция Р(1, х; т, у) непрерывна слева относительно аргумента у.

Предположим теперь, что функция Р(1, х; т,у) непрерывна по $, т и по х. Рассмотрим моменты времени $, в, т (! < а < т). Так как из состояния х в момент ! система переходит в момент а в одно из состояний интервала (г, х + г!х) с вероятностью о,Р(1, х; в, х), а из состояния л в момент а переходит в состояние, меньшее у, в момент т с вероятностью Р(в,х;т,у), то согласно формуле (1) предыдущего параграфа находим, что Р(1,х;т,у) = / Р(а,х;т, у) г1,Р(1,х;в,х). Полученное равенство естественно назвать обобщенным уравнением Маркова, так как оно представляет собой распространение равенства (1), 9 17 теории цепей Маркова на теорию случайных процессов и в этой теории играет столь же важную роль, как упомянутое тождество в теории цепей Маркова.

Вероятность Р(1, х; т, у) определена пока только для т > !. Дополним это определение, приняв ! О при у<х, 1пп Р(1,х;т,у) = 1пп Р($,х; т„у) = Е(х, у) = г-нч-о ' ' ' с-~т-о ' ' " ' 1 1 при у>х Если существует плотность д 7(1,х;т,у) = — Р(1,х;т,у), ду 298 Глава 10. Теория сгохвстических процессов то для нее выполняются следующие очевидные равенства: Т'(1, х; т, в) г(» = Р(С, х; т, р), Т(С, х; г, х) с(х = 1. Для этого случая обобщенное уравнение Маркова должно быть записано в таком виде: Я,х;т,р) = / у(в,в;г,р)Т(б,х;в,х)гсх. 954. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова Мы скажем, что случайный процесс С(С) непрерывен, если за малые промежутки времени лишь с малой вероятностью с(1) может получить заметные по величине приращения.

Более точно, случайный процесс С(С) непрерывен, если, каково бы ни было постоянное о (о > О), имеет место соотношение 1!т — / г(рР(С вЂ” сзг(, х; С, р) = О. 1 ы- в СЬС (у-в(>б Наша ближайшая задача состоит в выводе дифференциальных уравнений, которым при выполнении некоторых условий удовлетворяет функция к'(С, х; т, р), управляющая непрерывным случайным процессом без последействия. Эти уравнения впервые строго были доказаны А. Н.

Колмогоровым (хотя второе из них и встречалось до этого в работах физиков) и носят название уравнений Колмогорова. Мы предположим, что 1) частные производные дР(С,х;т,р) дзЩ,х;т,р) 'д.' ' и дхз существуют и непрерывны при любых значениях С, х и т > С; 2) каково бы ни было б > О, существуют пределу> 11ш — / (р — х) врР(С вЂ” гдС, х; С, р) = а(Е, х) (2) 1 ы-оБ (р-а/сб з1 При некоторых досзагочно пеших предположениях А.

Н. Колмопгров доказал сушесгвование пределов а(С, в) и Ь(С, и). Наглядный смысл функций а и Ь мы выясним в конце параграфа. 554. Непрерывный случайный процесс гйй и предел !пп — / (у — х) г1тР(1 — Ь1,х; 1, у) = Ь(1, х), (3) 1 ы оБ,/ !у-к)<б и эта сходимость равномерна относительно х. Левые части равенств (2) и (3) зависят от б.

Эта зависимость, однако, в силу определения непрерывности процесса (т.е. в силу (1)) является лишь кажущейся. Первое уравнение Колмогорова. Если глолько чгло сформулированные условия 1) и 2) выполнены, гло функция Р($, х; т, у) удовлеглворяет уравнению дР(1,х;т,у) дЩ,х;т,у) Ь(1,х)д~Р(1,х;т,у) И ' дх 2 дхз Доказательства. Согласно обобщенному уравнению Маркова Р(1 — ах!, х; т, у) = Р(1, »; т, у) б,Р(1 — г3 т, х; т, »). Кроме того, в силу свойств функции распределения, Р(1, х; т, у) = / Р(1, х; т, у) г(,Р(1 — Ы, х; 1, »).

Из этих равенств заключаем, что Р(! — гзг, х; т, у) — Р(1, х; т, у) ~И 1 Г = — 3 '!Р(1 ' у) — Р(1 х' у)) а.Р( — ~1,х;1, ). — и,/ По формуле Тейлора при сделанных нами предположениях имеет место равенство дР($, х; т, у) Р($,»;т,у) = Р(1,х;т,у)+(» — х) + дх 1 здзР(1,*;, у) 2 +-(» — х) ' ' ' +о((» — х) ). 2 дх' Последующие аналитические преобразования не требуют пояснений: Р(! — Ы,х;т, у) — Р(1,х; т, у) Ы 1 — / (Р($,»;т,у)-Р($,х;т,у))Й,Р(1-Ы,х;1,»)+ »х1 !а-л!>6 + — 1 (Р(1,»;т,у)-Р(1,х;т,у))г1,Р(! — Ь1,х;$,») = 1 и,)' !к-я!<Ь ЗОО Глава 10.

Теория стокастическик процессов — / (2т(б,л;т,р) — Р(б,х;т,р))й,Р(1 — бай!,х;1,к)+ 1 и / !я-к!>б + ° — / (к — х) б(,Р(1 — Ггб, х;1, к) + дР(б,х;т,р) ! Г дх 'Ы / й-т~<б + — ° — / 1(а-х) +о((л — х) )] гб,Щ-б)б,х;1,к). (5) 1дзу(1 х.т р) ! б. 2 2 дх 'Б / й — к!<б Перейдем теперь к пределу положив Ы -+ О.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее