Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей

Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 35

DJVU-файл Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 35 Теория вероятностей и математическая статистика (2674): Книга - 4 семестрБ.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 35 (2674) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 35 - страница

сходимся в основном к функции Р(х) и йп Ри( — 00) = Р(-00), !пп Р„(+00) = Р(+00), то .:.Г~(*) дР * =У~(*) "(* и, следовательно, при достаточно больших и не превосходит 2е, как это вытекает из неравенства (6). В силу ограниченности функций Р„(х) в совокупности, сумма е'!Р(Ь) — Р(а)) + е [Рч(Ь) — Р„(а)~ + 2е 212 Глава 7. Характеристические функции Доказательство.

Пусть А < О и В ) О; положим л А в в ь = ) л*~ м-/л*ит.ь~'. ,у = Их) г(~(х) — йх) г!Ых) . в в Очевидно, что Гмы(*~ — ~Г[еы~ ~~<1+я,+гь Величины .7~ и,уз можно сделать сколь угодно малыми, если вы- брать А и В достаточно большими по абсолютной величине и притом такими, чтобы точки А и В были точками непрерывности функции Р(х), а и выбрать достаточно большим. В самом деле, пусть М вЂ” верхняя грань !у(х)! при -оо < х < оо; тогда у1 < <М (Р(А) + Рк(А)1, ,тз ~ (М (Р(+ос) — Р(В)! + М (Р„(+со) — вк(В) ). Но !нп Р(А) = О, !цп Р(В) = Р(+ос). Я-~ -сч В-нэ А так как, по предположению, !цп Р„(А) = Р(А), ! п Р„(В) = Р(В), то наше утверждение об,у~ и,тз доказано.

Величина Уз при достаточно большом и может быть сделана сколь угодно малой в силу теоремы Хаяли для конечного интервала. Теорема доказана. 9 36. Предельные теоремы дли характеристических функций Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, сушествуюшее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно. О Зб. Предельные теоремы для херакгеристнческнк функций 213 Прямая предельная теорема.

Если последовательность функций рас- пределения л)(х), лз(х), ..., Р„(х), ... сходится в основном к функции расарвделения Р(х), то последовательность характеристических функций У (1), Уз(1), " У.(1), " сходится к характеристической функции У(1). Эта гходимость равномерна на колодам конечном интервале 8. Доказательство. Так как У„(1) = ехр (Ых) Сап(х), У(1) = ехр (Их) дЕ(х) и функция ехр(Пх) непрерывна и ограничена на всей прямой — оо < < х < со, то согласно обобщенной второй теореме Хслли для любого $ при и-ь со О при х<-п, 1 при — и <х<п, 2 ! при х)п, Р„(х) = У.(1) -> У(1) Утверждение, что эта сходимость равномерна на каждом конечном интервале $, проверяется буквально теми же рассуждениями, какие мы провели при доказательстве второй теоремы Хеппи.

Обратная предельная теорема. Если последовательность характеристических функций У1(г) Уз(1) " Уп(1) (1) сходится к непрерывной функции У(1), то последовательность функций распределения Р~(х), Рз(х), ..., Р„(х), ... (2) сходится в основном к некоторой функции распределения Р(х) (в силу прямой предельной теоремы У(1) = ) ехр (11х) дР(х)).

Доказательство. На основании первой теоремы Хеппи заключаем, что последовательность (2) непременно содержит подпоследовательность Рт(х), Рт(х), ..., Рч,(х), ..., (3) сходящуюся в основном к некоторой неубывающей функции Р(х). При этом понятно, что функцию Р(х) мы можем считать непрерывной слева: 11щ Р(х') = Р(х). и-чч-0 Вообще говоря, функция Р(х) может и не быть функцией распределения, так как для этого должны удовлетворяться еще условия Р( — оо) = О и Р(+со) = 1.

Действительно, для последовательности функций 214 Глава 7. Характеристические функции д = Р(+оо) — Р(-со) < 1. Возьмем теперь какое-нибудь положительное число е, меньшее 1 — д. Так как по условию теоремы последовательность характеристических функций (1) схолится к функции /(1), то /(0) = 1. А так как, сверх того, функция У(1) непрерывна, то можно выбрать достаточно малое положительное число т такое, что будет иметь место равенство 1 1 Г е — У У(1) 41 > 1 - - > б + -.

2т,/ 2 2 -т (4) 4 Но в то же время можно выбрать Х > — и настолько большое К, чтобы те при 1г > К было е бк = Р,(Х) — Р,(-Х) < 6+— Так как /„,(1) есть характеристическая функция, то Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, можно оценить сле- дующим способом. С одной стороны, так как ) ехр (11хЯ = 1, то т ехр 1'11х) гЫ <2т. С другой стороны, 2 ехр ((1х) г(1 = — яп тх, х и так как ! яп тх1 < 1, то при 1х( > Х 2 ехр(11х) Ф < —. Х предельная функция Р(х) = 1/2 и, следовательно, Р( — оо) и Р(+оо) также равны 1/2. Однако в условиях нашей теоремы, как будет сейчас показано, обязательно будет Р(-со) = 0 и Р(+со) = 1.

В самом деле, если бы это было не так, то, приняв во внимание, что лля предельной функции Р(х) должно быть Р( — оо) > 0 и Р(+со) < 1, мы имели бы: б Зб. Предельные теоремы для характеристических функций 215 Отсюда, применив первую оценку при (х! < Х и вторую при ф > Х, получаем: 1 т /г.,яп/и/ / (~ аль>п) ат.,(п -.- — т ф<х -т + / ~ / ехр(г1х)ИЕ) НРпп(х) < 2тбь+— ~п!>Х -т и, следовател ьно 1 Уп~(1) п1 < б+ т Это неравенство сохраняется и в пределе т 1 Г е — ~'Я)б1 <б+-, 2т,/ 2' — т что, очевидно, противоречит неравенству (4).

Таким образом, функция Р(х), к которой сходится в основном последовательность Р„, (х), есть функция распределения; согласно прямой предельной теореме ее характеристическая функция равна Я). Чтобы закончить доказательство теоремы, нам остается доказать, что и вся последовательность (2) сходится в основном к функции Р(х). Предположим, что это не так. Тогда найдется подпоследовательность функций лп', (х). еп1 (и) ° ° ° лп' (х) (5) сходящаяся в основном к некоторой функции Р"(х), отличной от Р(х) по крайней мере в одной из точек непрерывности. По уже доказанному Р'(х) должна быть функцией распределения с характеристической функцией Я).

По теореме единственности должно быть Р'(х) = Р(х). Это противоречит сделанному предположению. Заметим, что условия теоремы выполнены в каждом из двух следующих случаев: 1) последовательность характеристических функций Я1) сходится к некоторой функции Г(1) равномерно на каждом конечном интервале П 2) последовательность характеристических функций Дп(1) схолится к характеристической функции Г(1). Пример. В качестве примера использования предельных теорем рассмотрим доказательство интегральной теоремы Муавра †Лапла. гзб Глава 7. Характеристические функции В примере 4 $ 32 мы нашли характеристическую функцию случайной р — пр величины т) = /йрд 7„(т) = Оехр -Ы вЂ” +рехр Й Воспользовавшись разложением в ряд Маклорена, находим, что ч р -и ( — у+р р~п,г — ) =1- — (1+В„), у'п!г ) ~.

у'пр) 2п где к-г к ( )к ~ ь (чт) чад!' Так как при и — г оо то гз ~п Г гз1 7ь(г) = ! — — (1+ В„)~ — ь ехр ~ — — ~. В силу обратной предельной теоремы отсюда вытекает, что при любом я х !';"!.—; —.1- 1--"!" когда п -ь оо. Из непрерывности предельной функции легко вывести, что эта сходимость будет равномерна по а. 5 36. Положительно определенные функции Цель настоящего параграфа — дать исчерпывающее описание класса характеристических функций.

Приводимая нами ниже основная теорема была одновременно найдена А.Я. Хинчиным и С. Бохнером и опубликована впервые С. Бохнером. Для формулировки и доказательства атой теоремы нам нужно ввести новое понятие. Мы скажем, что непрерывная функция 7(1) вещественного аргумента 1 пололсипгельно определена в интервале — оо < ! < оо, если каковы бы ни были вещественные числа 1!, Ьм..., 1„, комплексные числа с!,6,...,сь и целое число п ь ь ~,~„٠— 1,)Ы,>О. к=! у=! Перечислим несколько простейших свойств положительно определенных функций. О Зб. Положительно определенные функции 217 1. 1(0) > О.

В самом деле, положим и = 1, 1! = О, С! = 1; тогда из условия положительной определенности функции 1(1) находим, что ч ч ~ 1(1„-11)Яу =1(О»О. ь=! у=! 2. При любых вешествеииых 1 1(-1) = 1(1). Для доказательства положим в (1) и = 2, 1! = О, 12 = 8, С„(2 произвольны. Имеем по предположению 2 2 0 < Е Е 1(1я 11)сьб к=! 2=! =1(О-О)И +1(0-1)~!6+1(1 — 0)~4+1(1 — 1)Ы = = 1(0)(!!4!! + !!Ц ) + 1( — 1)Я2+ 1(1)ч!ч2 (2) поэтому величина 1(-1)66+ 1(1)66 должна быть веществеииой.

Таким образом, если положить 1( — 1) = = '"! + Ф 1(1) = а2 + Ю2 66 = 7 + Ы, (! (2 = 7 — (б, то должио быть а!б+Р!7 — азд+Р27 = О. Так как С! и С2, а следовательно, у и б произвольны, то должно быть а! — а2 — — О, А+Я=О. Отсюда следует наше утверждение. 3. При любых вещественных 1 11(1)/ < 1(0). Положим в неравенстве (2) С! = 1(1), С2 = — 11(С)1; тогда согласно предыдущему 21(0)!1(1)/ — 11(1И 11(1)/ — !1(8И !1(С)/ > О. Отсюда при 11(1)( ф 0 получаем: 1(о) >!1(1)!. Если же !1(С) / = О, то опять-таки в силу свойства 1 1(0) > 11(1Н. Из доказанного следует, между прочим, что если положительно определенная функция такова, что 1(0) = О, то 1(1) ш О.

Теорема Болвера-Хиичииа. Дая того, чтобы нелрерывноя функция 1(1), удовлетворяющая условию 1(0) = 1, была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была лолохситеяьно олределенной. 218 Глава 7. Характеристические функции Доказательство. В одном направлении теорема тривиальна. Действительно, если Я) = / ехр ((1х) Йй'(х), где е(х) — некоторая функция распределения, то при любом целом и, произвольных вещественных 1», 1г,..., 1„и комплексных числах с», сг, ", со имеем: о»» ЕЕУ('й-11)с су= А'=! г=! о о =г.1;(1 * !гк»й-чн»~»*»)»! = й=! г=! и и = / ~~» ~~» ехр (йх(1~ — 1 ))~й( чк'(х) = й=! г=! о п к1»(г.*~оч»ь)(г. 1-»»»к!!)»»!»= й=! г=! и »г = / ~~» ехр(гййх) Сй~ »1к(х) > О.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее