Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики

Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики, страница 21

DJVU-файл Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики, страница 21 Теория вероятностей и математическая статистика (2673): Книга - 4 семестрБ.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 21 (2673) -2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 21 - страница

и]. где М = знр] д(х) ]. При и-~- оо последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует (31). Для доказательства (30) выберем Х) О та. ким, чтобы Р( — Х)( е/4 и 1 — Р(Х) < е/4 и чтобы точки ~Х были точками непрерывности Р(х). Тогда, так как Р,(аХ)- Р(й=Х), можно выбрать пь таким, что при л пь Р,[ — Х)(е/2 и 1 — Р,(Х)( е/2. Оценим % 39.

теоРемя о непуввывиом сводветствии 14З разность Ю 1 а~*и~.и- (и<.и+ Х Х ~ д(х)ИР(х) — ~ д(х)ИР„(х) + -Х -Х аьи~.ь4+~ 1 ~(.)а ~*~~< Н~~>к ( Нкь~х х х (а(чем — )а(чшР.(*)~.~.м..~.Я~2. (зя) -х -х — ~ ((О нг —.— зт) ~ 'х 1 Ц~(<Х)> 1 —— тх (33) где 1(~) — характеристическая функция й, Х~ О, т > О.

В частности, прн тХ = 2 Р(161<х))2$ —, (~на/ — 1. (Зч На основаннн (31) заключаем, что правая часть (32) может быть сделана как угодно малой, что н доказьвает теорему, Доказательство теоремы 3. По теореме 6 нз Р„(х) =~ Р(х) вытекает ~,(г)=~ ен'с(Р„-+ ~ енх йР = =~0). Можно доказать, что эта сходимость будет равномерной на каждом конечном интервале б Доказательство теорем ы 4. По теореме 5 из последовательности Р,(х) можно выбрать подпоследовательность Р„„(х)=~Р" (х).

Докажем, что Р'(х)— функция распределения, т, е. что Р'(оо) = 1, Р'( — оо)=0. Для этого мы используем неравенство 144 ГЛ. 5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФРИКЦИИ Докажем (33). Имеем 2т — /(1) Ж = — Мел! Ж = — М $ ел: 5й 25,1 25 -5 д -ъ 5!и 55 ~М вЂ” (/!!А«х!+/И!е! >х!)~ «<М/5!5«х!+ + — ~ М/О ! ! > х! = Р ( ! 3 ! < ~Х) + — (1 — Р ( ! $ ! <» Х)) откуда н следует (ЗЗ). По предположению /(1) непрерывна в нуле, поэтому Существует такое тп > О, что при О < т < ТП вЂ” ~/(1)51! ~«! — е/4. Так как /,(1)5/(1) в каждой точке 1, то существует такое лп, что при л ~ ло (теорема 3 й 24 о мажорируемой сходимости).

Тогда при л ~ ~лп 5 — ~/„(Г)Ш )! — Е/2, и по неравенству (34) Р(12«~<2/т) = = Р„(2/т) — Р„( — 2/т) ~ )2 (! — е/2) — 1 = 1 — е, т. е. Р„(2/т) — Р„( — 2/т) Ъ! — е, следовательно, Р'(+ос)= 1. Р'( — пп) =О. Докажем теперь, что Р„=~Р. Предположим, что Р„ч';Р. Тогда существу!от две подпоследовательностн Р« =~.Р и Р«.=ь Р*". По примой предельной теореме /„,-«/', /„.- /", но так как /и-«/, то ~ =Г=/. Теорема доказана.

злдлчи Задача !, Найти характернстнчсскую функцию распределения, вадавас. -!з! мого плотностью — е 2 2. Плотность распределения случайной величнпы й задана форы лами у ( Хи-! ) — е', к~б, 2Г (а) р! (к) — е" х(О 2Г (й) с положительпымн сс и (!. Найтн характеристическую фуншсню )й(!). 3, Пусть )!(!) н гз(!) — хзрахтернстнческне функция, О ( р < !. Доказать, что )(г) р)с(!)+(! — р))з(!) тоже будет характерйстнческой Функцией. 4.

Еслн г(!) — характеристнческаи функция, то Ке)(!) также будет характеристической функцией. Доказать. 6. Пользуясь простейшими свойствами характеристических функ. ! цнй, показать, что функции: а) з(ой б) з(пг+ (,в) -! — (Ге г) )сов !) 2 пе могут быть характеристическими. 6. Показать, что хврактернстическая функцня )й(!) случайной велнчнпы й вещественна прн всех ! тогда и только тогда, когда распределение $ симметрично (т,е. $ и — В имеют одинаковые распределения). Г л а в а 10. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА $ 40.

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых Ранее мы доказали, что распределение числа успе. хов р в схеме Бернулли при л -~- ьь и постоянном 0 ( (р<! обладает следующим предельным свойством; л Ф и 1!птР1 — ":" К:х \== ~ е 2 Ыи.

(!) л.+ ю ! Ч/0и ) Ч/2л Функцию нормального распределения будем обозначать х Ф(х) = = ) е-"л ди. Функция нормального распреч/2л деления Ф(х) выражается через интеграл Лапласа л 1 Ф,(х)==1е-"*иаи, введенный в гл. 4, следующим 1/2л а о образом: Ф(х) =-+Ф,(х). Этот результат является 1 очень частным случаем так называемой центральной предельной теоремы. Пусть 21, ~, ..., $„, ... — после- довательность независимых случайных величин. Мы бу- дем говорить, что для этой последовательности выпол- нена центральная лредельная теорема, если при любом х справедливо следующее предельное соотношение для сумм ~„=$~+$~+ ...

+$„: !пп Р ! ла:= — ~ х ~ = Ф (х), (2) ,,~о,." Так как в схеме Бернулли число успехов можно представить в виде суммы р = р~+ р1+ ... + Р независимых случайных величин с Р(1м = 1) = р, 14$ гл и нанте»льнкя пгадальн»я таогам» где )г»(1)~( —, — — +г»(1) < — Ь„' (6) (зто доказывается так же, как свойство 6) из 3 37).

В силу независимости $», характеристическая функцн»1 « 1 ч-!- = — ~ а» равна произведению в. 2. ). ()-1~~. ( — '„) »-! Логарнфмируя, получаем « 1оп(1 (1) = "! 1оп) (о. )~. »-! (6) Из разложения 1он(1+ х) = ~~~, =-)»= 1 1»-!„» »-! следует, что 1оа(1+ х) = х+ а(х), где прн 1х~ < 1/2 (7) йО О (а(х)! ~ 1 1„" <-~~! 1х)»(~1х('. (8) »-» » 2 А»= ~. ам В'= ~'„Ь», С' = ~ сазм » ! »-! » ! Тео рем а 2. (Теорема Ляпунова.) Если $!, $м»» ° независимы, а», Ь», с» конечны и С«/В„-«0, го 1ип Р( ~' '" ~« " ~(х~=Ф(х). (3) Док аз а тельство. Положим $»=з» вЂ” ам )»(1) «= ~1 (1). Так как М$» — — О, Ма!» «Ь», М~~»)»=с~~< оо,то /»(!) =1 — —" ,Ь»»+ г»Р), (4) з 4ь твовема лвпгнова Из условия теоремы вытекает зь (ы(1~~а) сь /с (9) (мы здесь воспользовались неравенством (М1$!') ((М1$1'~')'~'+и), Таким образом, Ью/8 -»О прин-~со равномерно по 1 ~й~~п.

Пусть Х>0 н (Г(~Т. Согласно (4) и (5) 7ь(в ) =1+за ( л ). где, в силу (9], аа — = — — —, + гь — ..~ — —,. (1Г) Выберем па таким, что ! ез ~ — ~ ! ~< — прн а > па, и применим в правой части (б) йредставленне (7) с оценкой (8). Получаем Л и 1ой11 (1) — з +,~~ г~~ — ) + ~~ бззь ( — ), (11) з ! а ! где 10а)(1, Используя в (11) оценки (5) и (10),имеем при ф( Т: л !1 й~,„(1>+ !~Е!;( —,'.)!+ а! + ~аз !ззЫ!1[аз(в )!< з (в") + 3-! з ~ а поэтому 1пп )С (1) = е д.+ „В нто равносильно утверждению (3), 156 ГЛ.

1Ь ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА й 42. Применения центральной предельной теоремы Доказанные выше предельные теоремы имеют больч шое теоретическое и прикладное значение. Основным в условиях этих теорем является то, что в сумме Ь„= "=е1+ез+ .. +е„каждое слагаемое й» дает малый в общую величину суммы ь„случайный вклад. В част- НОСТИ, ЭтО ВЫРажаЕтСЯ тЕМ, ЧтО 0ЕА/О~„-РО ПРИ П-+. со равномерно по ! ( й ( и. В приложениях часто нс пользуют предположение о том, что встречающиеся прн расчетах случайные величины нме1от приближенно нормальное распределение. На предположении нормаль'- ности построена так называемая теория ошибок измерения. в которой изучаются методы учета случайных ошибок при измерениях тех или иных параметров в экспериментах.

В .антропологии, например, обработка результатов измерения параметров человеческого тела также ведется на основе предположения нормальности распределения этих параметров. Основанием для предположения нормальности в этих случаях служит большой статистический материал, накопленный при измерениях. Центральная предельная теорема дает гипотезе нормальности некоторое теоретическое обоснование, так как часто на величину какого-либо параметра в реаль; иом явлении влияет много случайных независимых факторов, причем влияние каждого из них невелико, а сум. марио они дают некоторый ощутимый эффект. Известно ироническое высказывание одного статистика на этот счет: «Каждый уверен в справедливости нормального закона распределения, экспериментаторы — потому, что они думают, что это математическая теорема, математики — потому, что они думают, что это экспериментальный факт». Это изречение лишний раз нам напоминает, что математические теории строятся не на самих реальных явлениях, а лишь на их математических моделях.

Поэтому в применениях теории вероятностей, каВ и вообще математики, надо никогда не забывать о здравом смысле и всегда заботиться о том, чтобы рассматривалась подходящая модель, правильно отражающая соответствующее явление. $42 ПРИМЕНЕНИЯ' Рассмотрим несколько примеров на применение цен. тральной предельной теоремы. При этом мы будем придерживаться следующей терминологии. Если последовательность случайных величин Ь„ такова, что при некоторых А„и В„ 1!ш Р ( — "" ~ (х ~ = Ф (х), (12) то мы будем говорить,что случайная величина ~„ асим42- тотически нормальна с параметрами (А„ В„) или просто (А„ В„)-асимптотически нормальна, а равенство (12) будем использовать в допредельной форме для приближенной оценки вероятности, полагая Р( ~" ' (х~ - "Ф(х).

Пример 1. Ошибки измерения. При измерении некоторой величины а мы получаем приближенное значение ~. Сделанная ошибка б = $ — а может быть представлена в виде сум22ы двух ошибок б — (2 М~) + (М~ — а), первая из которых а — М5 называется случайной ошибкой, а вторая Ма — а — систематической ошибкой. Хорошие методы измерения не должны иметь систематической ошибки, поэтому мы будем далее полагать Ма = а. Случайная ошибка б имеет и~левое математическое ожидание Мб = О. Пусть 0б = о .

Для уменьшения этой ошибки производят н независимых измерений а4, $2,..., $„ и принимают за оценку измеряемой величины а среднее арифметическое д=-„(54+... +5„). Какая при этом ! допускается погрешность? По центральной предельной теореме сумма 5! +... + $„одинаково распределенных независимых случайных величин с М$4 = а, 014 = о2 > О (ан, а~/й)-асимптотнчески нормальна. Поэтому д при больших и (а, о/1/й)-асимптотически нормальна и 4.Уе?е ! Р[1д — а(е~е) н' — „) е 2 Ыи. (!3) е.е(е 152 Гл, 10. цвнтэллънкя пэадельнкя теОРемА Из (!3) формально можно было бы сделать вывод, что с помощью как угодно грубых методов измерения получаются при больших и как угодно точные результаты. Это противоречит здравому смыслу.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее