Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 59

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 59 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 59 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 59 - страница

е. г 1 г /! йч (1 — чв) !!! — в! Вв — чв) 2 Мы установили у впчв наличие двух основных периодов: 2!К' и 4К, о1ношение которых является "мнимым; все остальные периоды суть линейные комбинации этих периодов с целочисленными ковффициентами. Функции, обладающие периодами с такими свойствами,, называются двоякопериодическими (в отличие от однопериодических функций, таких, например, как з1пчв или еи, для которых любой период есть целое кратное одного основного периода). Итак, эллиптическая функция Якоби есть мероморфная, двоякопериодическая функция. Вообще каждая мероморфная двоякопериодическая функция называется эллиптической.-Если 2а, и 2мг — ее основные периоды (отношение 2ьь 2ьь,— мнимое, но не обязательно чисто мнимое число), то параллелограмм, построенный на векторах 2ьь, и 2пг, выходящих из любой точки чвв, называется Параллелограммом не риодов эллиптической функции.

ЩГ функции я=во(чо; й) в случае, когда О(й(1, параллелограмм, Периодов есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, и с длинами сторон 4К и 2К' (он вмещает четыре прямоугольника, о которых речь шла до сих пор). Значение параллелограмма периода состоит в том, что, изучив в нем поведение эллиптической функции, мы на основании двоякой периодичности будем знать ее поведение в любом другом параллелограмме, полученном из данного посредством сдвига на вектор, представляющий какой- либо период. Эллиптические функции имеют многие применения в вопросах математики и механики. Поэтому их изучение есть задача особого отдела теории аналитических функций — теории эллиптических функций. Не останавливаясь здесь на этой теории, ограничимся тем, что приведем одну нз основных теорем этой теории, принадлежащую Лиувиллю: если эллиптическая функция я=у(чв) не есть тождественная константа, то в параллелограмме периодов (внутрн или на сторонах) она должна иметь, по крайней мере, один полюс.

Действительно, если допустить. что полюсы отсутствуют, то у(чс) будет ограниченной по модулю в замкнутом параллелограмме периодов, а следовательно, аналитической и ограниченной по модулю во всей конечной плоскости, т. е. константой. 1О. Интеграл Христоффеля — Шварца.

Обобщением эллиптического интеграла, рассмотренного в п. 8, является следующий 310 гл. х. отовважвния посввдотвом лнллитичзских эвикций интеграл Христоффеля — Шварца: тв = Д(г) = С ~ (г — а,)ч ' (1 — а,)"' ' ... (( — а„)"~ ' сН; о (8) здесь С вЂ” положительное число (например, С=1), а„а,..., а„— различные между собой действительные числа (мы предположим для определенности, что а, < а, ( ... ( ал), а показатели а, — 1, ...

..., а„ вЂ” 1 также действительные, но среди них могут быть н равные между собой, Эллиптический интеграл п. 8 получится отсюда, если 1,1 положить и= 4, а = — —, аа= — 1, аз=1, а =' — и а,=а = Т 1 =аз=а =— 2' Возвращаясь к общему случаю, наложим на показатели ау — 1 ограничения, обеспечивающие сходимость интеграла в каждой из точек аа н в точке л = со. Ограниченна эти, очевидно, должны быть такими: ау — 1) — 1(/=1, 2, ..., л) и а,+...+и„— п( — 1 (9) ( последнее вытекает из того, что в окрестности точки л = со подинтегральную функцию можно представить в виде ч+...+и„-л(1 а~)"' ' (1 лл)"л ') ,рыберем определенную однозначную ветвь функции ) (л) = =(г — а,).' ...

(в — а„) л в верхней полуплоскости, подчинив ее, например, следующему услог вию: на части действительной оси г = х ( аы где все разности л — ау отрицательны, берем для каждой из них значение аргумента, рав- % ное к, а для аргумента л(л) — знаЧерт. 68. чение (а,— 1)п+ ... +(а„— 1)к. Условившись в этом, мы должны будем на интервалах (аз,, аа) придавать аргументу ),(г) значения, согласованные с выбранным. При этом достаточно заметить, что когда точка г переходит из интервала (пл „ ал) в интервал (аа, а„э,) (Ф = 1, 2, ..., п, аз = оо и а„, = оо), то лишь одна из разностей л — ау меняет знак (с — на +), а именно г — аь.

Заставляя г описывать полуокружность с центром в аю принадлежащую верхней полуплоскости (черт. 68), найдем, что аргумент л — ал должен уменьшиться на и и, следовательно, принять значение 0; соответственно аргумент степени (г — аа) л должен измениться на — (ал — 1) а и на столько же изменится аргумент А(з).

Так как на интервале (со, а,) последний имел значение (а, — 1)а+ ... +(а„— 1)п, то 311 10. интвгвал хгистоо явля в швлвць интервалу (со, а,) здесь начало отрезка Ло есть ' ... (1 — а„)"и ' Ж и к интервалу (а„, со) „к„„...=о~'о,о'-'...о „г -'о). о и по отношен Ъ=СУИ— о здесь конец о суждения вытекает, что функция (8) отобрав ось на замкнутую ломаную Л со звеньями ами тво, твы ..., тв„, тв„о, = тво. Нельзя утверэто отображение взаимно однозначно, так как самопересечения, т.

е. звенья Л могут иметь имо вершин. Допустим, что самопересечения было, например, в случае эллиптического инте- ется замкнутой жордановой кривой, ограничик с вершинами ыо, ..., тво, и следовательно, Из приведенного ас жает деаствител ну Ло, ..., Л„и верш и ждать, однако, чт ломаная может име ь общие точки и по отсутствуют (как эт трала). Тогда Л явл вающей многоуголь на интервале (а,, ао), изменившись на †(а, — 1)п, он будет сохранять постоянное значение (ао — 1) и+... +(а„— 1) я, вообще на интервале (а„,, аь) (й= 2, 3, ..., й) значение (аь — 1)п+...

... +(а„— 1)и, .', наконец, на интервале (а„, со) — значение О. аь Полагая для краткости С / (Ю вЂ” а,)и ... (1 — а„)"о дВ=пвь, рас- о смотрим поведение интеграла (8) на интервале (аь „аь). Имеем: о=у(я)= „,+С ~Л(1)дС= оь =~„,+С~ив и"+ +~о. ц"' /'(1,(1)(д1. (18) а ь-о Второе слагаемое правой части сохраняет неизменный аргумент (аь — 1)я+...+(ао — 1)п, а модуль его.при возрастании г=л ао от а„, до а„непрерывно возрастает от нуля до 1ь=С< !Х(1))аг.

о «-о Отсюда следует, что когда л, возрастая, описывает интервал (а„„аь), те=у(г) оп)(сывает в одном и том же направлении прямолинейный отрезок Ль с началом в точке твь ы наклоненный под углом (аа — 1) и+ 1.. +(а„— 1) и к положительному направлению действительной огри и с длиной, равной 1ь, конец его находится в точке аь твь — — С ( (ь — ... (г — а„) о йг. Это заключение справедливо о 312 гл. х.

ОтОБРАжениЯ НООРедотвом Аналитических ФУнкций по п. 7, интеграл (8) Христоффеля — Шварца конформно отображает верхнюю полуплоскость на указанный многоугольник. Из черт. 69 следует, что внутренний угол этого многоугольника с вершиной га»(0 ( а < л + 1) равен а»я. Хотя все величины углов, отмеченные на этом чертеже, должны рассматриваться как определяемые с точностью до целых кратных 2а, можно показать, что а»к дает внутренний угол многоугольника без какой-либо поправки; иными словами, выполняются неравенства 0 < а» < 2, лишь одна часть которых ау ( 'УЛ+ ' +(аа ()Л УЛ -( ( »(а г 1 Черт. 69.

(а» ) О) предусмотрена условиями (9). Чтобы убел~)ться в этом, нужно воспользоваться однолистностью отображения ш ~ у(е) в окрест- ности точки а». Заметим, что (()-!(.—.,~ - ...(.—...)"-,- (..„]~*- ... ... (я — а„) "у) ] (е — а»)'» где выражение в квадратных скобках явля нкцней, аналити- ческой и не обращающейся в нуль в окрес очки а». Следо- вательно, это выражение можно разложить степеням е — и» со свободным членом, отличным от нуля: А ») ( — .)+"., йричем ряд будет равномерно сходиться рой окрсстности точки а». Но тогда в этой окрестности та=ц)»+С ] ),(г))11=та»+С~ 1АРо)+А(()(1— а» а, г») ав Ао = та + С вЂ” (г — а )»+ С вЂ” (е — а),.

° ° ° ! о + О) А, /А(») » а » а»+1 ](1 — а»)"» (а(1=* откуда А(») и) — и)» = С вЂ” (з — а),) " ] 1 +— а» 313 10. интвгглл хгистоеевля — шВАРцА Если г стремится к аь по радиусу окружности с центром а„, составляющему с положительным направлением действительной оси угол 0 (О < О < я) (см.

черт. 08), то из последней формулы вытекает, что тп будет стремиться к точке тел по некоторой кривой, касательная к которой в точке шв имеет угол наклона, равный Дш Атд(ш — тел)= ю.ь еа = АгяАе ~+аьй (мы учли здесь, что С) 0 н ал ) 0). Если О непрерывно меняется от нуля до я, то радиусы, выходящие из точки а, будут непрерывно менять- ,тут-т!-тат~ + ат/тт ся, заполняя полукруг с центром ал, соответственно будут меняться и их образы при конформном отображении †указанные выше кривые, заполняя весь а' л угол многоугольника с вершиной ш„ (в достаточной близости г„, —, т.т+ ..

е та,, —,Ътс -тг к вершине). Но угол наклона касательных к этим кривым в точ- Черт. 70. ке шь изменится прн этом на величину а„я (от значения Ага А, до значения АтяАе +аья), поэтому аья по (ы и есть величина внутреннего угла многоугольника и, следовательно, О < ав < 2 (л = 1, 2 ..., и). Для вершины тле = те„, т величина внутреннего угла получается следующая (черт. 70): ™ [(и — ! ) — (а, +... + а„)[ я. Из неравенства (9) можно заключить только, что это — число положительное. Однако, если учесть, что наш многоугольник имеет всего и+ 1 углов и, следовательно, сумма всех углов должна равняться [(л+ 1) — 2[я =(л — 1)я, мы для (и+1)-го угла, зная величины остальных л углов атя...;,-а„я, должны получить как раз указанную величину [(и — 1) — (аг+...

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее