Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 55

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 55 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 55 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 55 - страница

тнческой функции г = э(я), обратной по отношению к те = у(г) в некоторой окрестности точки сев=,т(го) (го~ 0). Пусть сначала г'(го) Ф О; тогда по п. 2 существует круг Со:1г — го!<ро, в котором функция У'(г) однолистна. Этот круг отображается посредством че =у(г) взаимно однозначно и конформно на некоторую область Во плоскости те, содержащую точку тес.

4. ОБРАЩение АнАлитической ФУнкЦии 289 По доказанному в этом пункте обратная функция г = Ф(чв) будет однозначной, аналитической и однолистной в области,суо; она отображает кРУг Ко:!ча†шо( < го (со†РасстоЯние точки тво до гРаницы области ,00) взаимно однозначно и конформно на некоторую область ло плоскости г, содержащую точку го (черт. Б1). В круге Ко у (чв) разлагается в степенной ряд г= р( )=с.+с ( — цо)+ +аи( — 0)"+" (1) (! тв чво! < го).

Коэффициенты с этого ряда можно вычислять, например, пользуясь методом неопределенных коэффициентов (для этого нужно подставить вместо чв — тле=у(») — у(го) соответствующий степенной ряд, коэффициенты которого предполагаются известными: у (») — у(г ) = =а,(г — »0)+а,(г — »0)е+...). В частности, получим: ! СО»0' 01 аг Пусть теперь У'(»0) =... =у!У-'!(»0) =О, УТР!(»0) Ф О (р)~ 2). Представим разложение у'ю( ) 1(»)=аз+ар(г — г,)Р+... (аз=У'(го)=в„а„= ' ~0), (2) р! сходящееся в круге )г — го! <р, в виде У(~) = во+ а„(» — »0)" (1+ (~)! ар+, а 00 где а(г) = — (г — »0)+ — (г — го)'+...

— функция, аналитичеа, 0 а, окая в круге )» — го) < р. Пусть р,(О < р, < р) таково, что г !а(г) ~ < 1 в круге, ~ г — го! < р,, тогда р(») = (1+а(»)1в -('1 = 1+ уч. ~ Р ) (а(»))" — функция, однозначная и аналитическая в этом йои! л п 1 круге, удовлетворяющая условию р(г,) =!.

Поэтому Т (») = = (г — го) р(г) — также функция, однозначная и аналитическая в кРУге !г — »0( < Р„длЯ котоРой Т'(»0)= 1 Ф О. Очевидно, что у(») следующим образом выражается через Т(г): = ) ( ) = а + а (Т (»)) . (3) Рассмотрим преобразование Т(г) (» го)+оо(»»о) + (4) К нему применимы выводы, полученные выше для преобразования я=У(») в случае, когда у'(»0) ~ О. Следовательно, существует область го, лежащая в круге !г — »0/ < р и содержащая точку »0, 19 Зчк.

1036. А. И. Марчушоонч 290 гл. х. отоьвлжания посглдством лиллитичвских аяикцнй которая отображается посредством (4) взаимно однозначно и конформно на некоторый круг Ке: )~~(г,. функция л=й("), обратная по отношению к (4), имеет в этом круге разложение вида л=й(С)-С+сР+... (5) Чтобы получить преобразование (2), достаточно выполнить сначала преобразование (4), а затем подвергнуть круг Ке преобразованию уои (ее) тв = аз+ арьл (ао = еео ар =, Ф 0) ° (6) Оио уже не является взаимно однозначным: р различных между 2 зй з— г (я-и собой точек круга Ке: ь, ье л, ..., ье л (ч ~ О) переходят в одну и ту же точку в=аз+ар"я.

Однако если представить образ круга Ке з виде р-листной римановой поверхности †-листного круга с центром ар — — ше, то взаимная однозначность изображения будет иметь место и адесь. Этот р-листный круг можно -.построить так. Делим круг Кз на 2р равных между собой секторов 8~, Ц вЂ” 1) — ( а ( /я, 0 ( г < г, (г' = 1, 2, ..., 2р) и каждый Р из них подвергаем преобразованию (6). В результате получаем 2р экземпляров верхних и нижних полукругов 1)г.' (У вЂ” 1)я ( р (гк, 0(г(гя (~у и г — полярные координаты с началом в точке тве). 1 Остается склеить каждый полукруг Пг с О~+, (/= 1, 2, ..., 2р — 1) вдоль общего радиуса а = гя (О (г < глг); последний полукруг Оз склеивается с первым Е), вдоль общего радиуса у = 0 (0<г<гя).

Из формул (6) и (5) немедленно получается обращение в=а(те) функции та=г(л) в окрестности точки таз. А именно из (6) слелует, что 1 1 с-~ — „')'( —,)' 1 г 11р (здесь можно приписать коэффициенту ~ — )л какое-либо одно опре1а,г' 1 деленное значение корня степени р из — ; различные аначения а,' соответствующие одному и тому же тв, будут получаться в результате обходов вокруг точки тв ).

Подставляя в (5), находим: СО ч ч г и (те) = ~~~~~А„(яе — тве)Я (А„= с„( — )" ., с, =1). (7) 1 Это разложение, сходящееся при 1тл — те ((гг~, показывает, что функция л= р(тв) имеет в точке тле алгебраическую точку разветвления порядка р — 1. Построенный нами р-листный круг предста- б. ааспгоствлнвния понятия однолистностн 291 вляет часть римановой поверхности функции ~7(че) в окрестности точки твь; она отображается посредством (7) иа однолистную область иь, расположенную в плоскости г.

Мы показали в этом пункте, что при отображении области О посредством однозначной аналитической функции чв = Г (г) можно длн каждой точки ге~ О указать область дь, содержащую точку г и лежащую в области О, которую /(г) отображает взаимно однозначно на однолистный (если 7'(г ) Ф О) или много- листный (если У'(га)=0) круг с центром ма=у(гь). Выбрав для каждой точки г соответствующую ей область е, можно затем склеить соответствующие круги (К), соединяя два круга К, и Ка тогда и только тогда, когда они налегают друг на друга и когда их про- обРазы К, и да также налегают дРУг на дРУга.

Читатель легко пой- мет, что этот процесс совпадает со знакомым из главы 1Х процес- сом построения римановой поверхности аналитической. функции по ее элементам. В данном случае речь идет об элементах функции г = р(чв), определяемых разложениями вида (1) (в однолистном круге) или (7) (в р-листиом круге, р)~ 2). Правда, последний случай не подходит под определение влемента, данное в главе !Х, так как сумма ряда (7) имеет особую точку при те = чеь (точку разветвления). Чтобы приблизить рассматриваемое здесь построение к построению главы 1Х, достаточно было бы, так сказать, «расклеить» р-листный круг, расчленив его, например, на полукруги Ог и беря в каждом полукруге соответствующую однозначную аналитическую ветвь функ- ции (7) (а именно в полукруге (/ — 1) я ( у (7«, 0 ( г (гьг, » берем однозначную сумму ряда г А„гв ~сов — +1з1п — ~; значелт ит1, Р Р)' о ния этой ветви изображаются точками той части области и„на которую функция (5) отображает круговой сектор Юз.

(7 — 1) — .. « Р (а(7' —, 0(г (г,). Впрочем,' предпочитают расширить понятие Р элемента аналитической функции, допуская в качестве областей эле- ментов р-листиые круги, а в качестве определенных в этих обла- стях функций †функц, имеющие в центре круга алгебраическую точку разветвления (р — 1)-го порядка. б. Распространение понятия однолистиости на случай функ- ций, имеющих полюсы. Случаи, когда гь или ша — — Г'(гь) обра- щаются в со, могут быть сведены к рассмотренным выше, как указывалось в конце п.

1. Приведем окончательные формулировки некоторых результатов. Если гь = со и функция У(г) является правильной в втой точке, то в окрестности бесконечно удаленной точки имеем: У(г)= 4о+ + а+ ь+''' е га 292 гл. х. отовглжвния посвздством аналитических еэнкций Р!егко видеть, что в этом случае все производные обращаются в нуль: ~'(со) = !о(сю) = ... = О, однако характер отображения зависит здесь не от них, а от коэффициентов А,, А„ ... Если А, = Аз = ... Ар ! — — О, а Ар + О (р ~ О), то в любой окрестности бесконечно удаленной точки найдется р различных точек, в которых у(г) принимает одно и то же значение (ср.

п. 3). Следовательно, для однолистности ! (г) в области О, содержащей бесконечноудаленную точку, необходимо, чтобы А,= — Выч.Г(г)~0, о = сО Если известно только, что !(г) является правильной в точке я=со и что коэффициент А, чь О, то можно утверждать, что в некоторой окрестности этой точки 1(г) будет однолистной функцией (п. 3). Расширим понятие однолистной функции, допуская, что однозначная и аналитическая функция .1(г) может иметь полюсы в области О. Из условия однолистности (1(г!) Ф.((г,), если ггчьгз) следует, что она может иметь только один полюс.

Покажем, что этот полюс необходимо должен быть простым. Пусть го~ 0— полюс г(г); для определенности положим г чь со. Тогда Дг) — — +... + + Ао+... (р)~ 1, А „+ 0) (е го) г — го в окрестности точки го. Если !'(г) одиолистна в этой окрестности, то и — =а (г — г)е+и (г — го)э+ +... !!а = — ~0) 1 ! — э о вч! '1в А однолистна в ней; по доказанному в начале п. 3 это возможно только в случае р= 1, т. е. когда порядок полюса Дг) равен единице. При нашем обобщении понятия однолистности теорема, приведенная в начале п. 4, сохраняется и для областей, содержащих бесконечно удаленную точку, если добавить в ее формулировке, что функция г = и(ш), обратная однолистной, может иметь один простой полюс в П. Заметим, наконец, что взаимно однозначное отображение области О на область П, осуществляемое однолистной функцией че =у(г), является конформным (первого рода) во всех точках области О.

Если го Ф со и У(го) + оо, то это следует из того, что У (г,) + О. Пусть г,чь со, а Йго)=со, тогда чв=у(г)= — +Ао+... (А, + 0) и ш'= — = — = а,(г — го)+ ..., г — го о -! и у (е) 1 ! 1 где а, = — = — ~ ~ О. Так как отображение чв =— А ! сг !о и у (е) является конформнь!м в точке го, то и отображение ш = ~(г) конформно в той же точке. Случай го = со сводится к рассмотренным 1 посредством преобразования г = — (здесь снова возможны случаи, 6, понятии о твогвмв гимлнл. вдинстввнность отоввлжвния 293 когда у(ось) Ф сю; тогда я =У( —,)=Ас+А,г'+Агз'+... (А,ФО), либо )(со) = со, тогда со =У! —,,1= —,+А,+Аз'+...

(А,+0)). 6, Понятие о теореме Римана. Единственность отображения. Рассмотрим несколько обгцих предложений, относягцихся к теории конформных отображений. Мы видели, что каждая функция то=у'(г), однолистная в области 0»), осуществляет взаимно однозначное и конформное (первого рода) отображение этой области на некоторую область О. Д. Е. Меньшовым была доказана о б р а т н а я т е о р е м а: каждое взаимно однозначное и конформное (первого.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее