Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 54

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 54 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 54 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 54 - страница

1 то' = ) (г'), тле г' лежит внутри окрестности Сь: [з †г ~( р точки гь. Итак, в окрестности точки зь (эту окрестность можно сделать произвольно малой, беря р достаточно малым) всегда найдется точка г', в которой [Г(г~)[) [у(гь)[. Это и' значит, что модуль [у(я)[ не может иметь максимума в точке г . Читатель может убедиться совершенно так же, что в случае, когда Дг) не обращается в нуль в области О, ее модуль не может иметь минимум ни в одной точке области. Отметим важное с л е д с т в и е из принципа максимчма модуля: Если У(я) непрерывна в замкнутой области О и аналитична внутри втой области, то впр[г(л)[ достигается на границе Г области. В самом деле, модуль [у(г)[, будучи непрерывным на 2. Пгинцип мАксимумА мОдуля и лвммА швАьць 285 замкнутом множестве точек О, должен достигать верхней грани, по крайней мере, в одной из точек этого множества.

Но если Г(г) ф сапа!, то такой точкой не может быть внутренняя точка 0; следовательно, ею может и должна быть некоторая граничная точка. Если же ь'(г) — сопв1, то зцр !Е (г)~ достигается в каждой точке О, в том числе и в граничной. Итак, утверждение доказано во всех случаях. Замечая, что в этом предложении можно вместо зир ~У(г)) ьйг писать шах ~/(г)(, приходим к следующему выводу: в каждой точке ьсе области О.

выполняется неравенство ! у(г)~ (шах (/(г)); ьчг знак равенства для какой-либо точки г ~ 0 возможен здесь тогда и только тогда, когда у(г) ж сопз1. В качестве приложения принципа максимума модуля докажем так называемую лемму Шварца; которой мы воспользуемся ниже.

Лемма Шварца. Если У(г) — функция, однозначная и аналитическая в единичном круге, удовлетворяет условиям У(0) = О, У(г)~ (1 (~г~(1), то она удовлетворяет также и условиям У'(0)~ (1 !У(г)! ()г~ (~г~ < 1). При этом равенство )у'(0)~= 1 или !У(го)1=!го) (хотЯ бы в одной точке гр ге+ О, ~г„~(1) может иметь место только в случае, когда ((г) есть линейная функция вида У(г) =еыг (а — действителькое постоянное). Доказательство.

Пусть у(г)=с1г+с гь+...(~г)(1); положим ср (г) = — = с, + с,г+... Очевидно, что э(г) — функу(г) ция, аналитическая в единичном круге, удовлетворяющая условию э (0) = с, = У' (0). Рассмотрим значение р(г) в какой-либо точке г' единичного круга; если г удовлетворяет условию ~г'~(г(1, то мы должны иметь, по доказанному выше: ! е (г') ~ ( шах ( й (г) !. !~~=г Но шах~~(г)~=шах ~ — ~ ( —, так как !У'(г)~ (1, поэтому У(е) 1 Ы! 1ь!=г ~'ф(г')~ ( — или, оставляя здесь г' фиксированным и заставляя г г стремиться к единице, получаем: ~ о(г') ~ (1. В частности, для г'= 0 ~э(0)~=|у'(0)~ (1 и для г'= ге + 0 ~у(гь)~ =~ — '~ (1, т.

е. ~У(ге)1((гь~. Знак равенства в одном из этих соотношений означал бы, что в некоторой точке г' единичного круга модуль ~ а(г) ~ имеет максимум, 236 гл. х. отоввлжвния посгздством лньлитичвских фзнкций равный единице; это возможно только в случае р(г)пмсопзг=в'" (так как (ср(х)~ =1), т. е. ((г)= е'"г. Применим еще принцип максимума к гармоническим функциям. Докажем, что функция и(х, у) ф сопз1, однозначная и гармоническая в области О, не может иметь ни максимума, ни минимума ни в одной точке области.

В самом деле, пусть (хь, уь)— точка области О и Уь — ее окрестность, содержащаяся з О. Построим функцию о(х, у), гармоническую в О и сопряженную с и(х, у) (п. 12 главы И). Тогда и(х, у)+Го(х, у)=У(г) будет функцией; однозначной и аналитической в Уь, однозначными и аналитическими в той же окрестности будут и функции Р,(л) = ейм и Р,(г) = е-ГФ. Так как они не являются константами, то к каждой из них применим принцип максимума модуля. Поэтому значения ( Р,(г )! е"ш ге и ~Рг(ль)! =е "<* г" не могут быть максимальными; следовательно, значение и(хь, уо) гармонической функции не может быть ни максимальным, ни минимальным.

Если и(х, у) — функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области О и гармоническая в области О, то из доказанного вытекает, что ее наибольшее и наименьшее значения должны достигаться только в граничных точках области. Если, в частности и(х, у) сохраняет постоянное значение на границе области О, то отсюда следует, что и(х, у)= сопз( в области О. Поэтому две функции и,(х, у) и и,(х, у), непрерывные в замкнутой области О, гармонические в этой области и принимающие одинаковые значения в граничных точках области О, должны совпадать между собой всюду в втой области. Это означает, что так называемая з а д а ч а Дирихле, заключающаяся в отыскании функции, непрерывной в замкнутой области О и гармонической в области О, по ее значениям, заданным на границе области, может иметь только одно решение.

3. Локальный критерий однолистности. Рассмотрим подробнее отображение тв =У(г) в замкнутой окрестности .Сь:~г †( ( р. Предположим сначала, что 1'(гь) = О, ..., У ' (гь) = О, а (гь) чь О (р)~ 2). Производная у'(г) может обращаться в нуль не только в точке гь, но и в других точках Сь; так как гь не является предельной точкой для множества нулей у'(г) (в противном случае было бы У'(г)= О и г(г)= сопз1), то можно выбрать р столь малым, чтобы У'(г) не обращалась в нуль ни в одной точке Сь, отличной от гь.

Допустим, что такой выбор сделан. Тогда, сохраняя преькние условия и обозначения, можем утверждать, что для любого то';ь тоь, )чо' — чоь~ ( р. уравнение у(л) — то = О имеет внутри Сь столько же корней, сколько и уравнение г(г) †т = О. Но последнее имеет р корней (гь — р-кратный корень уравнения); поэтому и у(г) †' = О имеет р корней внутри С . Ни один из этих корней г' не может быть кратным, так как в' чь гь (в противном случае было бы то' = У(л') =У(гь) = тоь, что неверно) и, следовательно, У'(г') ~ О. 261 4.

овглщзнив аналитической ознкции Итак, уравнение г(«) — щ' = О имеет р различных корней г„г, ..., гр внутри Со, т. е. существует р различных точек этой окрестности, в которых г'(«) принимает одно и то же значение то'. Отсюда непосредственно следует, что функция з(г), 'производная которой обращается в нуль хотя бы в одной точке го области О, не может быть однолистной в этой области.

Иными словами: если ((«) однолистна в области О, то ее производная не обрасцается в нуль ни в одной точке области. Условие '/'(«) - О (г ~ О), будучи необходимым, не является достаточным для однолистности, как показывает пример функции е', Ее производная (е')' = е' нигде не обращается в нуль и, однако, в* принимает одно и то же значение во всех точках вида « + 2ппг (и О, -1, — 2, ...). Покажем, однако, что для точки го, в которой г" (го) Ф О, можно всегда построипаь такую замкнутую окрестность Со.'! г — го! ч 'ро, что з («) будет однолистной в ней. Пусть у(«)=~~~~~ а„(г — г ) — разложение Дг) в некоторой окрестности о !г — го! (г точки го(а, =.г (го)+ О), тогда в той же окрестности сходится ряд у'(г) = ~~~„пао(« — го), следовательно, при р ( г 1 сходится и ряд ~р~п!а„!р"-', и сумма его стремится к нулю, когда р — ь О.

Выберем ро (О < ро < г) так, чтобы выполнялось неравенство ~п!а„!р," '< !а,!. Тогда., для любых двух точек г„г,, а г, Ф га, лежащих в замкнутом круге ! г — го ! ( ро, будем иметь; ! Пга) — йга)! = Х а ((« — «о) =-(га — «о) ! = о = аа(га — га)+Ха,((«,— го)" '+ +(«а — «о)" )(г — «а) > >!г — «а! !а! — Х!а.!(!г — о!" '+ ..+!«а — «о!" '! > а ~~!г,— га! !а,! — Хп!ан!ро" ) О, . у(г,) + у(«а). а Однолистность функции Д«) в замкнутом круге !г — го! (ро доказана. 4.

Обращение аналитической функции. Пусть то = г'(г)— однозначная аналитическая функция, однолистная в области О, не содержащей бесконечно удаленной точки. По доказанному в п, 1, вта функция отображает О на некоторую область О. 288 гл. х. отовеожания посеедством лнхлитичаских огнкцнп Покажем, что обратная фунниия г = ~р(те) является тттанже однозначной, аналитической и однолистной в В. Однозначность ~р(ю) сразу следует из однолистности у(г). Действительно, если г, чь г,— два значения р (те) в точке тео ~ О, то должно быть т (гт) = т (го) = кто, что противоречит однолистности у(г).

Подобным же образом однолистность ~р(я) вытекает из однозначности у(г): если допустить, что сР(тет)=Р(тео)=го, где тв, чете„то должно быть У(го)=и, и У(го) = тее, что пРотивоРечит однозначности т(г). Докажем непРерывность ~(те). Пусть сев~В и р(шо)=го; построим для г замкнУтУю окРестность Со: 1г — го! <Р, котоРой мы пользовались в и. 1. Тогда каждая точка ю', принадлежащая кругу К,: )те — тес)<й, где р.= ш1п 1т(г) — тес!) О, будет значением 1(г) в некоторой , 1т-п1=е точке г', лежащей внутри С, иными словами, г' = э(те') лежит внутри Со, если те'~Ко. Для произвольного положительного е выберем о < о, тогда для соответствующего ему р = р(р) будем иметь; если ) э' — шо) < р, то )э(тв') — э(нто)! < р о.

Непрерывность р(че) в области В доказана. Остается доказать дифференцируемость р(те) в любой точке сев~ О. Пусть э(тес) =го, тогда для те чь тес имеем в(те) = г -+ ~р(тес) = го при я -+ ыо (г чь г,) и, следовательно, и + оч те тле е.+ н У(г) — Х(го) У'(~о) (г'(г ) чь О в силу однолистности т (г)). Теорема полностью доказана. Применим этот результат к локальному обращению произвольной однозначной (вообще говоря, неоднолистной) аналн- Черт, б1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее