Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 47

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 47 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 47 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 47 - страница

Очевидно, С05 ЙХ Выч. с!й г = — = 1, С05 Ьс поэтому главная часть 6»(г) разложения с!йг в окрестности точки г йх 1 равна —. г — »х' Многочлены Р»(г) (см. формулу (17)) в данном случае суть многочлены степени ие выше р = 0: Р (г)=А с=Выч.—. !э с!я( с=» Но функция —, очевидно, четная. Поэтому ее разложение вряд Лорана с!й 0 Г в окрестности начала координат содержит только четные степени э, и, следовательно, Выч. — = О, с!я 0 С э Палее, точки ь = Ьс (й чь 0) являются простыми полюсамн для †. Поэтому с!й с с!Я Г, с05»х 1 Выч. — = »х й»х с05 Ьс Ьс Итак, с Рэ(г)=0, Р»(г) = — (» + 0), 1 »х и, следовательно (см.

формулы (36) главы РП) сй (т+ — ) сс ( 1 эй(т+ — ) х 5. эазложвнин зесл, с!дг, сзсг и 1Кг на пэостнйшнк дневи 251 следовательно, по формуле (19) К 1 Л 21 СО а 1 ВО1 Мы получили разложение с!пл на простейшие дроби. Как следует из самого способа получения этой формулы (из общей формулы (!9)), ряд (22) равномерно сходится в любом круге )л! О., йс, если исключить из него конеч- ное число членов, имеющих полюсы в этом круге. Переписав соотношение (22) в виде СО с!пл — — = ~~) ( — + — ), 1 проинтегрируем его почлеино вдоль произвольной кривой й выходящей из начала координат и не проходящей через точки Дя(э= 4 1, + 2, ...).

Получим: 2 СО СО ~ (с!2 л — )ссл ~„(.п ( — — ) = ~~)' 1 и (1 — — ) э 1 1 где в правой части стоят вполне определенные значения логарифмов, а именно значения, представляющие величины соответствующих интегралов з!и л Интеграл в левой части равен одному нз значений (.и —. Итак, СО з!па %э I г' Вп — = 1!тп ~У 1.п(1 — з, ), ( йзяэ) ' 1 откуда 1 что записывают обычно при помощи символа бесконечного произведения СО лз ы П (! — —,). 1 Это — разложение э!па в бесконечное произведение. в) Разложения сзсл н !пл. Из разложений для зесл и с!нл немедленно получаются разложения для сзсз и гял.

В самом деле, сзсг= (2 = зес ~ — — л). Поэтому из полученной выше формулы ( — !)' зесл= !!ш Я'+ с ю+, г -'(22 — 1)— 252 гл. чш. вычеты и их пгиложения. принцип авггментд находим: сзсз= Пш ( 1)У т-ьш ,„+т — — г — (2/ — 1) -м+1 1Ьп м Ьвв 2 Х ( — 1)'-' Л (/ — 1) + 2 т'= -в|е1 1Ьп 1в.+со Заменяя у — 1 на И, будем иметь: Это и есть нужный результат.

гл АНаЛОГИЧНО дпя 1яя ИМЕЕМ. '1яа= С1я11кв.— г), ПОЗтОМу ИЗ НайдЕННОИ выше формулы « *- ч. [-'-;К( — ' ат получаем: 1К г !нп в1 +Ов Ппт м-ьвв + и — (2лт — 1) чг — л (2т + 1) — — л 2 м-т сзсл= Пш 7 — = Ппт ~ — — ~ — + )+ мч а+як м ьсв л л — к а+к а=-т ( 1 1 ) „,! 1 т '''+( ) (х — (т — 1)я+а+(ят — 1) к)+( ) л — гни~~' Добавим в квадратных скобках еще один член: ( — 1) м , предел л+ шя которого равен нулю (равномерно относительно л, принадлежащих произвольному кругу 1л~ч.

)т).-Получим: Г1 2л 2г 2л сзс л = 1!ш — — — + —...+( — 1) ,„.ь ( л ла — иа ав — (2к)а ла — (тля)я 1 СО 1 'д л 2л + ыя'( 1) лх — (ли)а 254 гл. топ. вычеты и их пгиложвния. пгинцнп авггмента Поэтому тейлоровскне коэффициенты в разложеиик вес з при нечетных степенях л равны нулю (что, очевидно, можно было видеть сразу, так как зесл — четная функция), а при четных степенях зиз представляются в виде рядов (2)з"."' ~~ ( — 1)У-' 1 Итак, Вспомним, что в п. 11 главы т1 то же разложение было получено в другой форме: СО зес з ~) ( — 1) — ась ззм, и Ем (2т)1 э где Ез„,' — целые числа, называемые эйлеровыми (Ез = 1, Ез = — 1, Ез = 5, Ез = — 61,...).

Из сравнения коэффициентов обоих рядов получаем равенства в частности, Х ( 1) Ео и 2) — 1 2 2 4' 1 СО 1 Рассмотрим еще функцию с1нг — —, аналитическую в круге ~г((е. 1 з' Чтобы вычислить коэффициенты ее тейлоровского разложения, воспользуемся формулой (22), из которой вытекает следующее представление втой функции в виде ряда СО с! н г — — = ~~) ~ —.

+ —.) . ут 5. элзложвнив эесг, с!дл, сзся и !дг на пгоствйшив дневи 255 Лля каждого слагаемого этой суммы имеем следующее тейлоровское разложение: СО СО 1 Г %э га 'кч а аа — '+ —.= — ~ . „, + у(( — 1) — у +Р ( к)а+' (! )"+' а=о а о аэсь-1 = — 2 ~у — ( ! л ! ( л/). '4Ои)" 1 Поэтому тейлоровские коэффициенты при четных степенях а в разложении 1 функции с!йз — — равны нулю (что сразу же следует из нечеткости этой функции), а при нечетных степенях змэ-1 представляются в виде рядов СО СО 1 2 ст 1 — 2 у — = — — т — (и = 1, 2, ...). ,, (ук)'" Следовательно, С!д Я вЂ” — = У вЂ” — У лтм-т. л э~4 ~ ссзсСс,~~ )тсе СО 1 ,1 В п. 8 главы сг! то же разложение было получено в иной форме: 1 м 2 В С!йя — — = ~ ( — 1) — Зес ажэ-т.

г лае (2ш)! 1 Из сравнения двух разложений вытекает, что СΠ—,Г, — =( — 1)— 2 %ч 1,О, 2 Вэ,„' имэ .Лй Ри (2т)! 1 Так как левая часть этого равенства положительна, то и правая должна быть положительной, т. е. ( — 1)эс 1 Взэс ) О. Отсюда следует, что бернуллиевы числа Вээс(т=1, 2, 3, ...) должны иметь чередующиеся знаки (в п. 10 1 1 1 главы Н! мы видели, что Вз = —, ВС = — —, Вэ — — —, ...). 6' ' 30* э 42'''' Из найденного соотношения следуют, в частности, следующие равенства; Х, = .' В ив — = — (2к)з = —, /а 2 ° 2! ' 6' 4=1 ' Х,= в, — = — — (2к)1 = —, /1 2 ° 4! 90' 41' Х вЂ”.

В иэ — = — (2и)о— Уо 2. 6! 945 4=1 ГЛАВА 1Х АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1. Задача аналитического продолжения. Задача а н а л и т ического продолжения функции у(г), определенной на неКотором множестве Е, заключается в таком распространении определения этой функции на возможно более широкую область 0-> Е, при котором ((г) была бы аналитической и в области О. Простейшим примером аналитического продолжения может служить переход от функций действительного переменного е*, з1й«, соя«(т. е. функций, определенных только на действительной оси Е) к функциям е*, з1пг, созл комплексного переменного.

аналитическим во всей плоскости и совпадающим на Е с соответствующими функциями действительного переменного. Переход этот можно осуществить, заменяя в степенных рядах о СО ОЭ «ач-1 кч „«ач з1п«=~(-г-1)", созх=,1 ( — 1)"— (2л — 1)1 ' 2а (2л)1 1 о действительное переменное «комплексным переменным л и замечая что ряды эти остаются сходящимися, Рассмотрим еще пример степенного ряда ~~~~ г", сходящегося о в единичном круге Е: )«! (1. В этом круге он определяет анали- 1 тическую функцию у(з) = ~ «" = —. Хотя вне единичного круга о ряд расходится, функцию 1(я) можно аналитически продолжить на более широкую область О, представляющую всю плоскость, за исключением одной точки л = 1; достаточно положить в этой области У(л) =,—,. 1 Обратимся от этих частных примеров к общей задаче.

Предположим сначала, что возможность продолжения У(я) на область О как однозначной и аналитической функции уже установлена и речь 1. задача аналитичвского продолжвния 257 идет лишь о способе вычисления ее значений в этой области, Такой способ совпадает по своей идее с доказательством теоремы един'ственности, изложенной в п. б главы Ч1; рассмотрим его подробно. Пусть Е~)7 — множество точек, имеющее хотя бы одну предельную точку го в области О. Начнем с определения коэффициентов степенного ряда' .7(г) = с<о>+ с<о>(г — г )+...

+ с<'>(г — г )" +.... (1) изображающего 7(г) в окрестности точки го. Известно, что ряд этот сходится в круге Ко:<г — го~ < г,. где го — расстояние точки г до границы <о области 0 (но ряд может сходиться и в большем круге). Пусть (га) — последовательность точек из множества Е, отличных от «о и различных между собой, сходящаяся к го; значения 7(га) (го=1, 2, 3, ...) мы считаем известными. Для с<о'> = 7'(го) получаем, очевидно: с<н Дш У(г„). оа'о оо Предположим, что коэффициенты с<'>, с<'>, ..., с<'>, уже вычислены.

Тогда из формулы (1) получаем для с„">: у(га) оо — оу (га го) — со-у (га — го) <о> <о> <о> о- у с<о> 1>ш (га — га) 'а'+*о Таким путем цожно вычислить один за другим все коэффициенты ряда (!). Пусть теперь г' — произвольная точка области, не принадлежащая кругу К. Соединяя г' с г ломаной 7.~0, обозначим расстояние между А и Ь через о ) О. Разделим А на дуги с длинами, меньшими о, и пусть точки деления по порядку в направлении от го к г' таковы: г,р г„г„..., г „г г'. Если г> — Расстояние от точки г7 до Ь, то в круге К7'. >г — г7« ту 7(г) изобразится рядом (2) 7(г) =сИ>+с<у>>(г — г)+... +с<У>(г — г.)" + ..

При 7= О коэффициенты ряда уже вычислены. Допустим, что они вычислены для ряда (2) при некотором 7' < л<. Замечая, что расстояние между центрами г7 и гу+< кругов К7 и К7+, меньше, чем длина дуги с концами г7 и гу+„ и, следовательно, меньше, чем о < гун заключаем, что гу+, принадлежит К7. Поэтому для У«В>(г7+<) вычисления коэффициентов с<<+'> = можно пользоваться л< разложением функции в круге К~.

17 Зоо. <ОЗО. А. Н. Мороужоооо 258 гл. |х. Анллитическов пгодолжвнив. Римлнозл позвтхность Получаем: Убв(а,',),. (л+1),. + (п + 2)(а + 1) + 21 иет уег Таким путем коэффициенты каждого последующего из рядов (2) могут быть выражены через коэффициенты предыдущего ряда. Следовательно, могут быть вычислены и все коэффициенты ряда, соответствующего у = и, в частности с<"и =у(л ) =у(я'). Поставленная задача решена до конца. ЧитатеЛь видит, что мы почти без изменений воспроизвели здесь ход доказательства теоремы единственности. Существенную роль в решении задачи сыграла цепь кругов Кч в каждом из которых определена однозначная а н а л и т и ч е с к а я ф у н к ц и я Уу(г) (сумма степенного ряда (2) ), причем каждый последующий круг Кут, имеет общую часть с предыдущим Ку и в общей части значения функций уут,(л) и уу(з) совпадают.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее