Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 26

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 26 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 26 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 26 - страница

Тогда 1пп Рс!а„) = а а = !!Ш)г ) а„(=0 н, следовательно, для любого г 1!щ Рс~ а„(! г — го!"=О. В силу признака Коши отсюда следует сходимость ряда,«!аа()г — го), о т. е. абсолютная сходимость ряда (2). б) Пусть Л = со. Тогда существует возрастающая последовательность индексов 1А„) такая. что у'!ал ! -« оо. Поэтому для любого ьа,Г г Ф го имеем: ф/ (ав !!г — го! "= )/ )аь !)г — го! — «оо, а это в„ означает, что !аь ~!г — го( "-«со, т.

е. для ряда (2) не выполняется необходимое условие сходимости. в) Пусть 0 ( Л ( оо. Если г = го. то все члены ряда (2), начиная со второго, обращаются в нуль и, слеловательно, ряд абсолютно сходится. Если г чь г, причем точка г лежит внутри круга К, то в) Число Л1 — со(Л(+со) называется верхним пределом последовательности действительных чисел (а„); Л = 1нп а„, если выполнены следующие дво условия: 1) для каждого Л') Л существует М такое, что о„(Л' при а)М; 2) существует подпоследовагельность (а„), сходящаяся к Л. В ку:сах анолнзо доказывается 1см., например, Ф н х те н го л ьц, Курс лифференциального н интегрального исчисления, т.

1, изд. З-е, Гостехизлат, 1951, и. 421, что каждая последовательность обладает конечным илн бесхонечнын верхним пределом. 12б гл. ш. ряды с комплвксными члвнлми, ствпвнныв ряды з/э Л можно положить: ! г — гз! = —, где О ( О' ( 1. Так как Л' —, ) Л, то в силу свойств верхнего предела существует такое Л ы что У!а„!(Л' при и>Мю Тогда У!а„!!г — гэ!" <Л' ° !г — ге!= Л 6'3 = —,—,=0'(1 при и) Мы откуда по признаку Коши вытекает абсолютная сходимость ряда (2).

Наконец, если г лежит вне круга К, то !г — ге! = — (О < О < 1). 0 Лз В силу свойств верхнего предела су!цествует возрастающая последовательность индексов (й„! такая, что у' !ал ! -+ Л, поэтому ч ал л„ 1 !ал !!г — г ! "- Л!г — г,!= з ) 1. ь Следовательно, !ал !!г — гэ! "-+ со, т. е. для ряда (2) не выполнено необходимое условие сходимости.' 1 Круг с центром ге и радиуса †, внутри которого степенной ряд сходится абсолютно, а во внешности расходится, называется к р у- 1 гом с ходи мости степенного ряда, а число )с= — — радиусом Л сходимостн. Эти определения распространяются и на крайние случаи: Л = О ()с оо) и Л = со Я О). В первом из них круг сходимости есть вся конечная комплексная плоскость и внешность его в пустое множество; во втором случае он вырождается в точку г и внешность его представляет всю плоскость, за исключением точки г .

В случае, когда О (Л (+со, имеем еще окружность с хо- 1 димости !г — ге! =)э«=-. В ее точках степенной ряд может Л' вести себи по-разному (в смысле сходимости). %ч г«« рассмотрим, например, рял р — (« — действительное число). Здесь ?а и" ! « Л = 1!ш 1г/ -„ !!пэ и " 1 и, следовательно, радиус сходимостн Р 1. ««-+««и" ч-+«о !гч! 1 На окружности )г! = 1 имеем: ! — ! = —; поэтому при а)1 ряд абсолютно ' !и«! и"' сходится во всех ее точках, а прн а ( О расходится. Пусть теперь 0 ( а < 1, Тогда в точке г=! ряд будет расходнтсся; покажем, что он сходится во всех других точках единичной окружности.

действительно, если г = лп (0(В(2х), то яер глэ р-э Х вЂ”. е -э . 1 ! «р! л" Ц «1 „'- Э' ~ «1 -~-2««( -!-р«) ' 3. Анллитичность суммы ствпвнног2 РядА !27 где 5!и — 0 /+! 2 1(В+1! 5 5 ее ~ 1 + ЕП + . + 5115 = Есср еез 0 в!и— 2 1 Тех хек )ос)< —,, то 0 ' 51П— 2 < — ! Ъ.Г 0 ~л 'Цп+/+1)с (п+/+ 2)"Л (л.+р)"! 51П 2 1 О о-1-Р ое! 1 -«О, л — «со. 5!и — (л+ 1)" 0 2 Отсюда н следует схолнмость данного ряда при )г~ = 1 и Е ~ 1. П е р в а я т е о р е и а А б е л я.

Если ряд ~ а„(г —" гз)" сходится о в точке г, +г, то он абсолютно сходится в круге !г — г ( < <)г,— гз!. В самом деле, из условия следует, что точка г, не может лежать во внешности круга сходимости ряда. Поэтому она лежит внутри него или на его гравице.

В обоих случаях круг ( г — ге ~ < ) г, — гз ) принадлежит кругу сходимости и, следовательно, ряд абсолютно сходится в нем. 3. Аналитичность суммы степенного ряда. Покажем, что в круге сходимости ~ г — гз( < )сс (гс ) 0) етепенйого ряда ~~~~~ а„(г — гр)" 5 сумма его 7(г) являетея аналитической функцией, причем производная 7'(г) может бать получена путем почленнозо дифференсо цирования ряда 7'(г) = ",~ па„(г — г )" '. Убедимся в том, что 1 радиус сходимости с(' последнего ряда также равен Ас. Очевидно, прежде всего, что он совпадает с радиусом сходимости ряда со и ! о о ~~', пап(г — ге)".

Но 1нп )с и ~ а„~ = 11ш и" 1пп у' '!а„'! = !пп ф' ~а„), 5 о.+ со о.+со о-+со о.+со поэтому )сс =( 1пп )с и!а„() 1=( 1пп )с !а„() 1= !сс. о +со о-1 со Пусть г, — какая-либо точка круга !г — г ) < )с! возьмем точку ч еак, чтобы ~(г1 — гз! <1ч — ге(= р <е1. Итак, степенной ряд может сходиться во всех точках окружности сходимости, может расходиться во всех ее точках и, наконец, может сходиться в одних и расходиться в других ее точках. Из теоремы Коши в Адамара как простое следствие вытекает следующая теорема: 128 гл. !ч.

вяды с компляксиыми членами. ствпвнныв гады ~ /(ае! рл-! (в о+! Ю при у~~ по(в) = по. Полагая ч'„па„(2 — го) = ч! (2) ! ПРИ 2+ гг, ~ г — 20 ~ (Р: выполняется будем иметь %ч (2 — 2о ! — (2! — 2о) ъч и — ! — т(2!) =- го ао,7в пав(2! го) о ! л (2) — л (2!) ! ео) + (2 го) (2! 2о) + + (2! ео) 1 2 а„((2 ! —,«~ па (2, — го)" (,~~ а„Н2 — го)" + +(2,— го)" ' — п(2,— 2,)" '1 + 2 ~ а~а„~р"-!. о„-~- ! Первая величина стремится к нулю, когда 2-ьг„поэтому она будет меньше в при )2 — 2!) (о(о); последнее слагаемое меньше 2в в силу выбора по. Итак, ! ' — а (2!) ( ( Зз при ( 2 — 2, ( ( В(е), откуда и следует справедливость теоремы. Применяя эту теорему к сумме ряда ~~„' па„(2 †2 ')ч = у'(2), ! получаем, что л'(2) также является аналитической функцией в круге 12 — го!(В причем ле(2)=~и(п — 1)а„(2 — го)" ', Повторное применение этой теоремы приводит к следующему выводу: СЭ Сумма степенного ряда ~~", а„(2 — хо)"=Л(2) бес!сонечно дифо ференцируелга в круге сходимости ~2 — го((ЙЯ )О); производная люоого порядка р получается путем р.кратного почленного СО Так как ряд ~ па„(г — го)" ' абсолютно сходится, то для любого ! е .

О неравенство 1 129 3. Аналитичность суммы степенного ряда диффеРенциРованил РЯда СО Г<р>(») = Х а(и — 1) (и — р+1)ак(» — »о)" о СО ч~ и(и — 1)... (и — р+ 1) а„(» — »о)" я. Полагая здесь»=», найдем; Ття>(»~)=р(р — 1)... 1 ° а, откуда Усе> (ео) а р Этот результат верен и для р=О, если считать Т!ое(»)=Т"(») и О! = !.

Поэтому степенной ряд можно переписать в виде О ~в~~~у сн> (ео) ( )к о Последний ряд называется р я д о м Т е й л о р а функции Д(»). Мы доказали, следовательно, теорему: Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходи- мости является рядом Тейлора для своей суммы. СО ОС Пусть ряды ~,а„(» — »о)" и ~~~~до(» — »о)" имеют одну и ту же о о сумму У(») в окрестности !» — »о) (р (р ) 0) точки» . Тогда, по доказанному, будем иметь: т. е. соответствующие коэффициенты двух рядов равны между собой. Это предложение выражает свойство единственности разложения в степенной ряд.

В качестве примера применения доказанного свойства установим вид степенных рядов, расположенных по степеням » и представляюгцих соответственно четные или нечетные функции от ». Пусть функция у(») =а +а,»+а,»е+... +а„»"+... — четная, т. е. у( — »)=Т(»). Тогда сумма данного ряда совпа- дзег с суммой ряда у'( — ») = а — а,»+ ав»а+... +( — 1)"а„»" +..., откуда по доказанному а„ = ( — 1)"а„ (и - О, 1, 2, ...), 9 зак !озе А. и маркуксевка 130 гл. пн гады с комплексныин членами„степенные гады При и нечетном получаем а„= — ан, откуда а„= О (и = 1, 3, 5, ...) и, следовательно, Иг)=а,+ааг'+...

+а„нг""+ .. Аналогично покажем, что в случае, когда г(г) — не ч е т на я функция, т. е. у( — г)= — г(г), все коэффициенты с четными индексами должны обращаться в нуль н, следовательно, г'(г) = а,г+ а«гз -!-... + а«,«!г«!-' -+ Мы доказали выше, что сумма каждого степенного ряда есть ана- литическая функция. Впоследствии мы сумеем доказать, что каждая аналитическая функция разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности ее точки аналитичности. Это позволит распространить на все аналитические функции свойства сумм степенных рядов, уста- новленные в этом пункте.

4. Равномерная сходимость. Понятие равномерной сходимости рядов с действительными членами н основные их свойства распро- страняются и на ряды с комплексными членами. Именно ряд ~/~(г), ! где функции УВ(г) определены на множестве Е, называется р авно- мерно сходящимся на множестве Е«~Е, если он сходится на Е, и для каждого е) 0 неравенство ~ уу(г) <е выполняется во че! всех точках Е, при и ) Аг(е). Полагая ",«„гг(г)=Д(г), ~Р (;(г)=Я„(г) и ", "У~ (г) = г'(г) — 5« (г)= ! ! «!«! =Я„(г), можно представить это условие в виде зпр !)с„(г)( (е при и) Аг(е), или !нп зцр (Е„(г)(=0.

«йн, « -+ «««да', В случае, когда ряд сходится на Е„ но не равномерно, имеем: !!гп гс„(г) — — О, г~ Е,, но 1!ш зир ! Й„(г) ! либо не существует, либо Н +«« «.+ '««в отличен от нуля. Условие равномерной сходимости можно представить также в виде н+я ~~~„~В(г)~(е во всех точках Е, при'п)~А!(з) и любом натуральном р. Отсюда получаем следующий признак равномерной сходимости (признак Вейерштр асс а): если ряд ч„'и„ ! с постоянными положительными членами сходится и ).1,(г) ! ~(и„, .~Е„п)~Ам то ряд ~У„(г) равномерно (и абсолютно) схо! 4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ дитсЯ на Е,. ПРименим этот пРизнак к степенномУ РЯДУ ,'Р„а„(г — ге)", е радиус сходимости которого й) 0; покажем, что в каждом круге )г — ге) ( г, где г ( й, он сходитсЯ РавномеРно.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее