Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 25

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 25 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 25 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 25 - страница

В этом слуо чае достаточно взять окрестности, одна из которых (У') целиком лежит внутри единичной окружности, а другая (У") — вне окружности (черть 62). 120 Гл. Нп злементАРные Функции и конФОРмные ОтОБРАжения / Если же г лежит на единичной окружности и находится, например, в верх- а 1 ией полуплоскости, то г — также лежит на единичной окружности и прис о том в нижней полуплоскости. В атом случае достаточно взять олпу окрестность (У') в верхней полуплоскости, а другую(У") — в нижней полуплоскости. 1/ 11 В каждой из окрестностей У' и У" функция л= — 1Г+ — ) будет однолист- 2 1 ной (она принимает одно и то же значение только в парах точек, связанных соотношением гг Г" = 1) и, следовательно, будет взаимно однозначно Черт.

32. отображать У' и У" на некоторые области л' и я" плоскости л, содержащие внутри точку ла (образ центров г и г' окрестностей У и У"). БУдем бРать окРУжности 1» — лз)=Р с центРом в ла столь малыми, чтобы они содержались как в области й', так и в области Е". Очевидно, все окружности с достаточно малыми радиусами удовлетворяют атому требованию. Тогда в силу отображения (58) такой окружности будут соответствовать замкнутые жордановы кривые Т' и т", по одной в окрестностях У' и У".

Ни одна нз зтих кривых не содержит внутри точки О. Позтому, когда л обходит окружность )л — лз! = Р, г обходит либо кривую т' (соотзетственно одной ветви функции (60)), либо кривую Тч (соответственно другой ветви ункции (60)). Если фиксировать значение Агп Г а какой-нибудь точке тг или Тч) до обхода, то оно, изменяясь непрерывно, вернется в результате обхода к прежнему значению (именно потому, что нн т', ни !л не содержат внутри точки Г = О). Поэтому в результате обхода вернется к своему исход- 1 ному значению и значение — Еп Г= Агссоз л. Итак, точка ле отличная от +. 1 и со, не может быть точкой разветвления для Агссозл.

Лля того чтобы получить какую-нибудь область плоскости л, в которой воаможно выделить однозначные непрерывные ветви Агссоз ж нужно соединить между собой точки разветвления втой функции жордаиовыми кривыми, Возьмем, например, бесконечный сегмент Ь действительной оси, соединяющий точки — 1 и + 1 через бесконечно удаленную точку. Этот сегмент Ь является границей некоторой области О.

121 21. овтлтныи . тгнгономитгнчвскни еонкцнн Из того, что нам известно о фуинцни (58), слелует, что зта функция отображает на область 6 взаимно однозначно как верхнюю, так и нижнюю ! полуплоскостн !. В свою очерель функциа то = — (.п! отображает каждую ! из них на полосы плоскости то, параллельные мнимой оси и имеющие ширину я, а именно верхнюю полуплоскость — на полосы хтть (2я — 1)я(и(2яя (я=о, ~1, д:2,...) и нижнюю полуплоскость — на полосы гтд. 2йя с, и < (йй + 1) я. Итак, образами области О в плоскости то являются указанные полосы о .

Чтобы фиксировать какую-либо'однозначную ветвь Агссоз г в области О, достаточно указать, какой именно из полос гя принадлежат ее значения. Так, получаем ветви: Агссозаг, Агссоз, г, Агссоз ,г,... Впрочем, достаточно фиксировать значение Агссоз г в какой-либо одной точке области О, например в начале координат. Тогда та полоса оя, куда попадает зто значение, и определит собой всю ветвь Агссоз г. Однозначные ветви Агссоз г можно определять, конечно, и ао многих других областях плоскости г.

Укажем, например, область О', граница которой состоит из конечного сегмента а действительной оси, соединяющего точки — 1 и + 1, и из положительной части мнимой оси, или область 6", граница которой состоит из того же сегмента а и отрицательной части мнимой оси. Предлагаем читателю выяснить, на какие области плоскости то отображают О' или 6" соответствующие зтим областям однозначные ветви функции Атосов г.

Перейдем к рассмотрению функции то = Агс!и г, обратной по отношению к функции г=!кто. Выражая !я'то через я1пто и соясо и, далее, через показательную функцию, получим: 1 егш е чш ! еззш — 1 г (63) ! еьш-1-е-зш ! етъш.+1 или, полагая ея™=т: 1 т — 1 гшш — —, ! .+1' откуда 1+ гг 1 — !г и, наконец, 1 1-1-гг то = — 1.п —. 2! 1 — !г Итак, Агс1пг выражается через логарифм от дробно-линейной функции то = Агс!д'г = 2) 1.ив ! 1+!я 1 — !г ' (64) 122 гл. ш.

элвмвнтагнык егнкции н конеогмныи отовглжвння Предлагаем читателю убедиться в тон, что Агс1ял имеет только две точки разветвления: ~ й Простейшими областями, в которых можно выделять однозначные ветви Агс!ял, будут область В, границей которойслужитбесконечный сегмент Ь мнимой оси, соединяющий точки разветвления л-Г и +д и область я', границей которой является конечный сегмент е, соединяющий те же точки. Читатель легко убедится, далее, в том, что однозначные ветви Агсгдл в области О отображают эту область взаимно однозначно и конформно иа полосы шириной к, параллельные мнимой оси.' йв — — (и(лв+ — се=О, +.1,...), 2 " 2 а однозначные ветви этой функции в области я' отображают я на подоб- ные же полосы йя(и(1л+1)я ГЛАВА 1Ч РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 1. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Пусть !чо„*и„+!о„)— последовательность комплексных чисел. Выражение ос+тог+щг+ ' +чо + или, коротко: ~~~~~чо„, называется рядом, числа исо чог, тов, ... — 'его 1 членами, суммы е„= чо, + чог+... + то„(п = 1, 2, ...) — ч ас т и ч н ы м и с у ми а м и ряда. Если последовательность частичных сумм сходится, то ряд называется сходящимся, а предел последовательности Иш в„= е — с у м м о й р я д а; в этом случае пишут; и.и со со ~~ чо„= в. Если последовательность частичных сумм расходится, то 1 ряд называется расходящимся. Очевидно, что втн определения включают как частные случаи известные определения для рядов с дей. ствительными членами.

Замечая, что и и в„».~ ~ив+ ! ~~~~ ов 1 1 и что соотношение рлп в„= е эквивалентно двум соотношениям: п -Ь со !!ш ~ив=!(ее е и !пп ~он —— !шеоо с, заключаем, что схои-Ьсо 1 и +со димость ряда с компленсными членами внвивалентни одновременной сходимости рядов, составленных соответственно ив действительных и мнимых частей данного ряда: ~ и„и ~~~~о„. 1 1 Прнменяа к последовательности (е„) общий критерий Коши, получаем следующий общий критерий сходимости рядов: ряд(1) сходится тогда и только тогда, когда для любого з) 0 существует такое Аг(е), что неравенства ! еи р — еи! о..

е выполняютея при н АГ(е) н любом натуральном р. Как частный случай (р=1) получаем н'еоб- 124 гл. 1н. виды с комплексными членами. ствпвнныв гяды ходимое условие сходимости ряда йш товО1=0, т. е. !!ш то„= О. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд модулей его членов ~~'„~то„~. 1 Из общего критерия сходимостн рядов вытекает, что каждый абсолютно сходящийся ряд сходится. Что обратное предложение неверно, следует уже из известного примера сходящегося, но не абсолютно сходящегося ряда с действительными членами т.( — 1) У -11 лв и ! Из двойных неравенств !ив!! ~ ~ ( 1шв ! ( !и„! + М вытекает, что абсолютная сходимость ряда ,'"„ тов зквизалентна одно- 1 ВрЕМЕННОй СХОдНМОСтн рядОВ ~~'„(ив( И ~~' !ОО(, т. Е. абСОЛЮтНОй СХО- 1 " 1 СО СО димости рядов ~~~~~ и„ и "Р~э„. Следовательно, на абсолютно сходя- 1 " 1 щиеся ряды с комплексными членами переносится теорема о том, что произвольное изменение порядна !ленов не влияет на сумму ряда.

Судить об абсолютной сходимости ряда (1), т. е. о сходимости ряда ~ !шв), можно на основании любого признака сходимости рядов 1 с неотрицательными членами, например признака Коши (ряд абсо- О лютно сходится, если у' ~а~„( (су(1 при и рл ) или Даламбера ( ряд абсолютно сходится, если (д(1 при п)~п ). ! ИСООС ! 1ВО ! Заметим, наконец, что сумма или разность двух сходящихся рядов СО СО "~~~ го'„=з' и ~~Р„то„'=зО выражается сходящимся рядом 1 в о) При дополнительном условии абсолютной сходимости даннлх рядов ряд 1 2.

ТВОРвмА коши — АдАмАРА также абсолютно сходится и сумма его равна э'1'. Последние предложения доказываются для рядов с комплексными членами точно так же, как и соответствующие предложения для рядов с действительными членами. 2. Теорема Коши †Адама. Степенной ряд ао+ а, (г — го)+ + аа(г — го)" + (2) где ао, а,,..., а„,... — фиксированные комплексные числа, а г — комплексное переменное, является простейшим примером функционалького ряда, т.

е. ряда, члены которого суть некоторые функции от г. Такой ряд, вообще говоря, сходится при одних значениях г и расходится при других. Сведения о том, где это происходит, дает следующая теорема Коши — Адамара: Если 1нпуо ~а„~=Л о), то при Л=О ряд (2) абсолютно сходится во всей плоскости, при Л = со он сходится только в точке г= г и расходится ари г ~г, наконец, в случае, когда 0(Л ( оо, он абсолютно сходится в круге К: ~г — г ( ( — и расходится 1 во внешности этого круга. о Доказательство. а) Пусть сначала Л =О.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее