Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 65

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 65 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 65 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 65 - страница

(25,) Г с Вводя комплексные функции 1(г го) = Г (г, го) +1Н'(го, га), 1'(г, га) = Г' (г, га) + аН (г. »а)1 мы объединим 25 и (25!) в одной формуле 1 (го) = — „, ~ и (г) с1,1' (г, г,) + !о (г) сЦ (г, га), (26) с которая и обобщает формулу Коши. 326 ГЛ.

ПЬ КРАНВЫВ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Если эллипсы в плоскости ш являются окружностями, то можно принять 1' = 1, и формула (26) упроститса: 1(го) 2я' ) ) (г) д*((г го). ! с Наконец, для системы Коши — Римана можно положить ( = =!п(г — го), и мы получим классическую формулу Коши. В заключение отметим еще один элементарный факт, свя- занный с системой (13). Если ввести соответствующие системе «приращения» ь+е / А Ьг = 1/с бх — = азу + 1 1/ — сзу, 21'с с Ь вЂ” о' /'А бтв = 'у' В тзи — = сап+11/ — Ао, 2 )/В то легко показать, что эта система будет выражать необходи- мые и достаточные условия существования «производной» 1' (г) = !пп = = = '( )/В и„— о„+ 1 1/ — ол ~, (27) Ьш ) ( — Ь вЂ” д .

/А Т ьо За )/с 2УВ В где предел не зависит от способа приближения Лг к О. Этот факт обобщает теорему и. 5, по которой система Коши — Рима- на выражает необходимые и достаточные условия существова- ния обычной производной — в частном случае, когда а = с = 1, Ь = с( = О «производная» (27) совпадает с обычной произ- водной. 3) 3 а д а ч а Т р и к о м и. Дифференциальными уравнениями смешанного типа называют уравнения с частными производ- ными второго порядка, которые в одной части области своего определения имеют эллиптический тип, а в другой — гипербо- лический. Изучение таких уравнений представляет весьма боль- шой интерес для аэродинамики больших скоростей, ибо пере- мене типа уравнения физически соответствует переход скорости движения через скорость звука. Простейшим уравнением сме- шанного типа является уравнение (28) где О(у) = 1 при у » О и 0(у) = — 1 при у « .

О (таким образом, уравнение (28) имеет эллиптический тип в верхней полуплос- кости и гиперболический тип в нижней) . 3 а д а ч а Т р и к о м и *) *) Франческо Т р и к о м и — современный итальянский математик, который впервые поставвл и решил такую задачу Хля уравнения д'и д'и у — + — „О. дяз два 5 с пенложения 327 бн для ~акого уравнения в области Р, ограниченной кривой С, лежащей в верхней полуплоскости и опирающейся на отрезок (О, 1), и отрезками л'. и Е1 характеристик уравнения, которые параллельны биссектрисам координатных углов (рис.

!27), ставится следующим образом. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (28) при у ~ 0 непрерывную в замкнутой области О, имеющую частные производные, непрерывные в 0 всюду, кроме точек г = О, г = 1, в которых они лбогут обращаться в бесконечность порядка, меньшего 1, и принилбающую на кривбчх С и Е задан- ° ные значения: и = $ (бр (0) = ф (0)). (29) (~р© на С, Мы приведем простое и изящное решение задачи, данное А. В. Б и ц а дРяс.

!27. зе в !950 г. С помощью конформного отображения эллиптической части О, области 0 задача сводится к частному случаю, когда эта часть представляет собой верхний полукруг ~ г — —,! < —,, у > О. Кроме того, можно пред,- полагать, что ~р(0) = ф(0) = О. В гиперболической части Ол области О, где уравнение (28) имеет вид дби дли — — — =О. д» дз решение и(х,у), как известно, можно подставить в виде и=Ф(х+ у)+ Ч'(х — у), н, следовательно, наше выражение примет вид и(х, у) =Ф(»+ у) — Ф(0)+ ф~ — "). (ЗО) Из условия непрерывности функции и(х,у) получаем, что на оси х и(х, 0)=Ф(х) — Ф(0)+ ф( — ").

где Ф и Ч' — произвольные функции (см. И. Г. Петровский, (!]). На Е мы имеем х+ у = О, поэтому подставив это выражение для и во второе из условий (29), найдем: Ф(0)+ Ч'(2х) =ф(х) ГЛ. И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ П ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ !56 В эллиптической части Р! функция и(х,у) гармоническая; пусть. о(х,у) — гармоническая в Р, функция, сопряженная с и(х,у) и равная нулю в точке (0,0). Как следует из выражения (30), в Р имеем: — =ОЭ'(х+у) — — ф'( 1, откуда, пользуясь не' ду ди прерывностью †. на оси х, находим: ду до ди — = — — = — Оз (х)+ — ф'! — ). дх ду Интегрируя, находим, что на осн х о(х, 0) = — (0(х)+50(0)+ фЯ, и, складывая это с выражением для и(х, 0), получаем: и(х, 0)+ о(х, 0) = 2ф ~ — ).

Положим теперь (31)~ и = и, (х, у) + из (х, у), где функции и! и ит решают соответственно краевые задачи ~ <р(ь) на С, ~ 0 на С, и! = (32Ъ 0 на 1.; ( ф(х) на 1.. Для первой нз этих функций, в силу соотношения (31) на отрезке (0,1) получаем: и,(х, 0)+ о,(х, 0)=0, но это означает, что аналитическая функция 11(г)=и, (х, у) +1о, (х, у) ибо симметрия относительно второй биссектрисы сводится к замене и! на о1, о, на и, и перемене знаков обеих координат. Таким образом, функция !'1(г) (вместе со своим продолжением) 11 ! аналитична в круге (г — — ~ ( —, причем в силу условий (32) 2~ 2' на верхней полуокружности С известна ее действительная часть )хе1!(ь) = ч1(ь), а на нижней полуокружности с„в силу соотношения (33) известна ее мнимая часть 1гп1!(Ь) = — <р(Ь).

Поэтому функция 11(г) восстанавливается по формуле Келдыша— преобразует отрезок (О, 1) в отрезок прямой и! + о, = 0 и, следовательно„ по принципу симметрии продолжается через отрезок (О,!). При этом в точках нижнего полукруга будем иметь: )! (г) = — о, (х, — у) — !и,(х, — у), (ЗЗ) приложения Седова (15), п. 54, которая для рассматриваемого случая при- нимает вид*) Заменим во втором интеграле переменную Г = й, получим: / а (! — а) Ч! (е) ой ./ г Й(1 — Й) Й вЂ” а с" с Обозначим агй'ол = /; так как на С имеем ол = е" сов!, то й = = е-аие. На еаи = 2соз'( — 1+ 2! з!п(сов ( = 2ат — 1, следовательно, й = «т/(2е — 1). Подставляя это в предыдущий интеграл, находим: Г -,/ (! — ) е(е) ле ('./ Г е [! — е) е — а (2е — !) с с Обозначая перелгенную интегрирования снова через ь и объединяя полученный интеграл с первым интегралом (34), находим окончательно: ( / (! — )( ! /г(з)= „; ) )а/ г(! г) 11 г а г ( а 2га 1'р(г)г(~ (3б) с Рассмотрим теперь аналитическую функцию /, (г) = и, (х, у) + (оа (х, у).

По принципу симметрии она продолжается через полуокружность С на всю верхнюю полуплоскость, ибо в силу условия (32) иа — — 0 на С. Согласно этому принципу в точках х и х/(2х — !) действительной оси, симметричных относительно С, функция /а принимает значения, симметричные относительно а, = О, т. е. отличающиеся знаком иа. /т(х) — — и., (, 0) + го, ( —, 0) . Теперь учтем, что в точках отрезка (О, 1) известна гте (! — () /, (х) .= иа (х, О) + тга ( х, 0) = 2чг ( —;, ) ° а в точках лучей ( — о, 0) и (1, оо) известна ! гп (1 — !) /, (х) = оа ( —,, 0) + и, ( —, 0) = 2 ар ( — ) .

') л(ы принимаем а1 = о, Ь, = 1; тогда д (а) =!' (а — !)/а. гл. пь краевые задачи н их приложения )аг Поэтому функция (1 — !))а(г) восстанавливается по формуле Келдыша — Седова для полуплоскости (см. (6) и. 54). После простых преобразований найдем: 1 и! 3 )г г(! — !) (! — а г+а — 2га) ф (2) Искомая функция в эллиптической части Р„очевидно, равна и (г) = )те ()г (а) + )а (г)), (37) где !'г(г) и )а(г) определяются формулами (35) и (36). В ги- перболической части Ра, как видно нз (30), она равна и(х, у)=и(х+ у, О) — ф( — )+ ф ( 2 ), (38) Можно доказать, что найденное решение единственно.

Более подробно об этой и других задачах для уравнения смешанного типа (28) см. работу А. В. Б и ца дз е [19). 57. Задачи гидродинамики и газовой динамики. 1) То н ко е крыло. В и. 49 мы убедились в том, что задача обтекания произвольного профиля сводится к задаче конформного отображения внешности этого профиля на р=г,гх) внешность круга. Однако фактическое построение такого кон-а ' к=~.-гх! формного отображения часто бывает затруднительным н поэтому приходится довольствоваться приблнженнымн решениями задачи.

В качестве примера такого решения рассмотрим решение Л. И. С е д о в а *) задачи обтекания тонкого крыла. Предположим, что контур крыла С определяется уравнениями у = Ра(х), — а <х < а, н близок к отрезку ( — а, а) (рис. 128). Пусть крыло обтекается поступательным потоком, имеющим на бесконечности скорость о и наклоненным к оси х под малым углом атаки а. Комплексный потенциал потока будем в соответствии с этим искать в виде от — а е-гад + )р' где Ф' = ()+ гИ вЂ” неизвестная функция. Мы имеем: 1птот=о (усова — хвбпа)+К(х, у), ') .Ч. И. Седов, теории плоских движений идеальной жидкости, М., Ойороигиз, )939; см.

также его монографию 191. $ С ПРИЛОЖЕ1!ИЯ ЗЗ4 оп и так как С совпадает с линией тока, то на нем 1т ь7 должна принимать постоянные значения, пусть равные нулю. Поэтому на С о (Г (х)сова — хз(па)+)7[х, с .(х)1=0. Пользуясь сделанными предположениями о близости С к отрезку ( — а, а) и малости угла а, мы заменяем в этом условии соз с4 на 1, зйп с4 на а и сносим условие на отрезок, заменяя, в частности, 1'[х, Га(х)) на )7(х, 0); мы получаем условия на двух берегах отрезка: )7(х, О) = о (ха — Ре(х)). Эта задача решается методом, аналогичным тому, которым выводится формула Келдыша — Седова п.

54. Положим —,—, =11(е)+6(.), дВ' ГдЕ 11(г) И 14(г) — аНаЛИтИЧЕСКИЕ ВО ВНЕШНОСТИ ОтрЕЗКа ( — а, а) и равные нулю на бесконечности функции, мнимые части которых удовлетворяют соответственно краевым условиям о+ — о- о++ оп+= — о, =, о+=о = . (4) рассмотрим далее ветвь функции у(з)=1~ —, которая на т а+а' осп х, при г = х '= а принимает положительные значения (эта ветвь, очевидно, однозначна во внешности рассматриваемого отрезка).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее