Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 58

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 58 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 58 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 58 - страница

В конце параграфа приводятся приложения этих методов к некоторым задачам гидродинамикп и теории упругости. В основе этих методов лежат формулы для граничных зна. чений интеграла типа Коши, которые получены в 1873 г. Юлианом Васильевичем С ох о ц кн м *), но затем были незаслуженно забыты и получены вновь Пл ем ел ем в 1908 г. н в более общих предположениях И. И. П р ив а л о вы м в 1918 г. В настоящее время методы решения краевых задач математической физики, основанные на интегралах типа Коши, наиболее успешно развиваются в работах Н. И. М у с х ел и ш в н л и, И.

Н. В екуа, Л. В. Бицадзе и др. 52, Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого. Интеграл Коши 1(2) = —. ) ! Г 1(ь) Ль 2Л! й — 2 с *) Ю. С ох о цки й, Об определенных интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды, СПБ., !873, 4 з ннтеггхл типа коши и кгхгвые зхлхчн звт представляет функцию, аналитическую внутри замкнутого контура С, через ее значения на границе (см. п. 14), Предположим теперь, что С вЂ” произвольная кривая без точек заострения (это существенно для дальнейшего), не обязательно замкнутан, и на ней задана произвольная функция )(~), непрерывная всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, где она имеет интегрируемый разрыв. И нтеграл Р(г) = —.

~ с (2) построенный так же, как и интеграл (1), называется цнтегралоя тпла Коиш, Повторяя в точности рассуждение п, 17, мы убедимся в том, что интеграл типа Коши представляет собой функцию, аналитическую в любой точке г, не лежащей на кривой С. При этом если С разбивает плоскость на несколько областей, то в этих областях интеграл типа Коши определяет, вообще говоря, различные аналитические функции.

Например, 1С1=' равен 1 всюду в круге 1г(» 1 и 0 — вне круга. Легко понять, что даже в случае замкнутого контура С интеграл типа Коши в общем случае не является интегралом Коши, т. е, значения функции !'(~) не будут предельными для значений Р(г) при г- ". В самом деле, как мы видели в п, 43, задание на границе области одной лишь действительной части аналитической функции определяет действительную часть внутри. Тогда нз уравнений Коши — Римана внутри области с точностью до постоянного слагаемого определяется мнимая часть функции, а следовательно, и ее предельные значения при г, стремящемся к границе области.

Поэтому, когда на границе задаются две ничем не связанные между собой функции — действитсльная и мнимая части функции !'(ь),— то в общем случае нельзя и ожидать, что Е(г) при г- с стремится к заданным значениям. Чтобы изучить вопрос о граничных значениях интеграла типа Коши, мы прежде всего вгяясним смысл, который можно придать этому интегралу, когда точка а лежит на линии интегрирования С.

Если точка з лежит на С, то интеграл (2), вообще говоря, расходится, нбо его подынтегральная функция обращается в бесконечность при ь- г. Однако в некоторых дополнительных предположениях, наложенных па !(~), этому ГЛ, И!. КРАЕВЫЕ ЗАДАаи! И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [62 с" б Ь ! ) © — Р (Ц ! < М ! ~ — ~, (', О < )[ < 1. (З) Условие Гельдера, очевидно, выражает тот факт, что приращение функции является малой порядка не ниже [0 относительно приращения аргумента. Покажем, что в принятом условии инв теграл типа Коши существует и при г=,"о, Рис. !24.

если его понимать в некотором особом смысле, и найдем его выраженце через обычный интеграл. Предположим сначала„что со не является угловой точкой линии С, и обозначим через с' и Гн точки пересечения С с окружностью )г — со( = г, через с — отрезок кривой С между ч' и ч", через а и Ь вЂ” концы С (рис. 124). Имеем: — ![ ) д,+)(,) ! ": () й- йо,) й- 10 С-0 С-0 С-0 Но = — ! и (ч — чо) 1~ + 1П ([, — со) ! „=!и — ' — !и С вЂ” йо о а а — чо й' — 10 ' С-с где под 1п на дугах а0,' и ~аЬ понимаются две какие-либо ветви логарифма, непрерывно изменяющиеся на зтих дугах, причем для определенности принято, что значение 1ПЦ" — ~о) получается непрерывным изменением из 1п([.' — чо), когда точка ~ описывает дугу окружности )г — Го(=г слева от линии С. В сйлу последнего условия и того, что ) ~' — ~о! = = !Ь вЂ” йо(, имеем: )ип! и йо 0+0 О 00 (б) С другой стороны, при достаточно малых т, в силу условия Гельдера, имеем ~ ! [й) — ! (йо) ! М „; следовательно, суй - йо ! ! й - йо!Р-я ' ществует ![,„Г ![Е)-![С.) „, (' )Π— )(е,) (б) интегралу можно придать вполне определенный смысл.

Предположим, что в некоторой точке ~ = чо контура С функция [ К) удовлетворяет условию Гельдера с показателем [! ( 1: (Н) Существует настоянная М, такая, что для всех точек 1; на линии С, достаточно близких к со, имеет место неравенство % а. пнтигрлл типа коши и крливыи задачи 289 причем последний интеграл можно понимать в обычном смысле. Таким образом, формула (4) принимает вид: )сй) "1 ~ 1! ) У(ье) дг+)(и)! — ьа+ ° )(и)+()(с) (7) с- с где 0(г)- О при г — +О, Из формулы (7) видно, что существует предел В ! )ЮК ! !а)л~. о ) 1 — 10 .! 1 — 10 ' с-е с этот предел называют главньслс значениелс интеграла, а сам интеграл, определяемый формулой (7) при таком предельном переходе,— особьслс интегралом (в смысле Коши).

В нашем определении особого интеграла существенно, что дуга с, выбрасываемая нз С, стягивается в точку Ьо по в п о л н е о п р е д е л е пи ом у з а ко ну (так, что ее концы при любом г лежат на окружности (г — 1,о~= г); если с стягивается в точку по другому закону, то предел (7) может и не существовать. Напоасним, что в обычном определении несобственного интеграла требуется, чтобы предел (7) существовал при с- "е по любому з а кону.

Отсюда ясно, что если интеграл существует в обычном смысле, то он существует и как особый, и его главное значение совпадает со значением обычного интеграла*). Обратное, очевидно, не верно. Поясним определение простым примером. Интеграл 1 ~ с)х -с взятый по отрезку ( — 1,1) действительной оси, как известно, ие существует. Однако он существует как особый интеграл в смысле Коши, ибо предел с ссх . ! лх . с 1 Вт 1 ) — + ) — ~ =!)шс !пг+!и —, )=О -с Г существует (мы выбрасываем из отрезка ( — 1, 1) отрезок ( — г,г) в соответствии с определением особого интеграла). Переходя в формуле (7) к пределу при г - О, пол)чаем следующую теорему: Теорем а !.

Если в точке Ье, которая является правильной точкой контура С и отлична ог его концов, функция )(ь) удовлетворяет условию Гельдера с показателем )с (1, то интеграл *) Поэтому мы и сохраняем лля особого интеграла символ обыь ого интеграла. !О Ы. А.

Лаврентьев и В. В, Шабат 2ЗО ГЛ. 1Н. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 1ою типа Коши существует в этой точке как особый, и его главное значение выражается через обычный интеграл по формуле © 2ло. 3 ~-~о Г 1(с) ес с С Если, в частности, кривая С замкнута, то можно принять а=б, тогда член с логарифмом исчезнет и формула (8) примет более простой вид Р(~ ) 1 1(й)вй 1 1(й) 1(то) йо ! 1 о(ою) й) 2ш',) й — йо 2ло .1 й — йо 2 с с Пусть теперь ью — угловая точка кривой С; обозначим через а угол между касательными к С в этой точке, измеряемый слева от линии С (рис. !24). Вместо формулы (5), учитывая наше условие о связи ветвей логарифма, будем иметь: !Ип !п й оо = — 1а.

° О Г' — 10 Тогда вместо (8) получим формулу с Перейдем к изучению предельных значений интеграла типа Коши при г, стремящемся к линии интегрирования С, Докажем предварительно следующую лемму: Л ем м а. Пусть функция 1(Ь) удовлетворяет в точке ~ю условию Тельдера с показателем )о ~ ! и точка з стремится к го так, что отношение й=)г — Гю! к й — кратчайшему расстоянию е от точек С вЂ” остается ограниченным.

Тогда !(„ ~ 1 (й) — 1 (ьо) йьо ! 1 (й) — 1(йо) Для доказательства оценим разность б между интегралами в левой и правой части (!!); д 1( 1(0 — 1(й) (й — г) (й — йо) с Разобьем интеграл б на два, из которых первый распространен на дугу с кривой С, для точек которой 1ь — ью) ( б, где б— некоторое число, подбор которого мы уточним далее, а второй— на оставшуюся часть С' = С вЂ” с. гл) з з. интегилл типа коши и киднвыа задачи 291 Для первого интеграла, пользуясь условием Гельдерн (чь считаем, что 6 достаточно мала) и тем, что !" — е!' й, получим: Г„л()1-й.)и(, ьм Г )~ц! и)! й ! а .) 1~ го)1-в ' Обозначим через 1 = ! ~ — ьо ! длину хорды, стягивающей дугу Е~~ кривой С. Так как С не имеет точек заострения, то отношение длины дуги к длине стягивающей ее хорды ограничено.

Пусть это отношение не превосходит А, тогда !й" ! = йэ ( А й, и последняя оценка принимает вид в ! Ь, (=2 —,МА ! — =сапа( 6 . л Г ш а о Отсюда видно, что 6 можно выбрать столь малым, чтобы величина !Л~! не превосходила любого заданного числа е/2. Так как, далее, кривая С' ие содержит точку "о, то при фиксированном 6 интеграл / (ч) — Е (ье) й с — а с как функция г непрерывен в точке ьо, следовательно, для достаточно малых й = ! г — ~о ! величина ! Лз ! будет также не превосходить е/2. Для таких й имеем (Ь(((Ь|(+(Лз(<в, что и доказывает лемму.

С помощью этой леммы легко получить и формулы для предельных значений интеграла типа Коши. Т е о р е и а 2 (Ю. В. С о х о ц к и й) . Пусть точка ~о является правильной точкой контура С и отлична ог его концов, г/гункция /(т,) удовлетворяет в этой точке условно Гельдера с показателем р ( 1 и г - Ьо так, что отношение й/й остается ограниченным. Тогда интеграл типа Коши обладает предельнглми значениями Рг(ьо) и г (Ер), к которым он стремится при гслева и соответственно справа от С, и (12) где Р(ьо) — особый интеграл (9)"). ') Формулы (! 2] впервые доказаны Ю.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее