Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 56

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 56 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 56 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 56 - страница

Так как из (18) дут дхт ' дхе дут имеем: Р =4 — = 4 —, то др дд дх ду' ди дг(У др до дЧ1 дг! 2)А — = — — +й —, 2)А — = — —,+й —, дх дх' дх ' ду дуе ду ' где 2=2 ", Интегрируя полученные соотношения, имеем: А+ 2р А+и 29 = — — д+йр+( (у) 2ро= —, +йч+)б(х) (28) д(У дУ ') Между прочим, из выражения (22) вытекает, что для любой функции у, представимой по формуле (19), Лет является гармонической функцией, следовательно, такая функция (I бигармонична. где положено ф(г) =х'(г).

Дифференцируя (20), находим: ЛУ= д, + д е =2(бр'+ф') =4ке(ср'(г)) ч). (22) '278 ГЛ. П1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ и, используя (2!), получаем: Р„= Х, + (У„= 1р' (г) + ф' (г) — гф" (г) — ф' (г), (26) — 1РР— — ӄ— 1Х„= 1р' (г) + ф' (г) + гф" (г) + ф' (г). 1 Складывая уравнения (26), а также вычитая нз второго первое, получим формулы, также принадлежащие Г.

В. Колосову и дающие комплексное представление напряжений: Х„+ У, = 2 (1р' (г) + ф' (г)) = 4 (Ае ср' (г), Ух — Х„+ 21'Х„= 2 (гф" (г) + ф' (г)) (27) Для определения функций )1(у) и ),(х) воспользуемся третьей формулой (15). Из формул (23) находим: ( ду + дх ) дх ду + 2 1Г1 (У) + (х ( )1' сравнив это с выражением (!5), получим ),'(у)+1,'(х) =О, илн 11(у) = — );(х). так как здесь слева стоит функция только от у, а справа — функция только от х, то обе части равны одной и той же постоянной. Обозначив эту постоянную через а, будем иметь: !»1 (у) = ад + (1, !'1 (Х) = — аХ + у.

Нетрудно видеть, что смещение тела, обусловленное этими чле- нами формул (23), является «жестким смешением», т. е. сме- щением тела как целого. (Действительно, вектор такого смеще- ния )'1 + 1)х = — сиг+ () + 14А) Отбрасывая в формулах (23) эти члены как несущественные, ибо они не влияют на напря- женное состояние тела, получим: ! Гдгт . д77~ А и + 1о = — — ( — + 1 — ) + — 1р (г), 2Н ! дх ду ) 2Н илн, используя соотношение (2!), найдем в окончательном виде комплексное представление смещений: и + 1о = — ( р (г) — гф'(г) — ф (гй; (24) здесь х = /г — 1 = л+Зн = л+и Это представление было получено Г.

В. Колосовым в!909 г. Перейдем к представлению напряжений. По формулам (!4) находим: дЧ/ . дЧ7 . д гдГ7 . д!71 ) Р =Х +1У = — — 1 — = — 1 — ( — +1 — ), х= х х = ду1 дхду ду 1дх ду)' дЧ7 . дЧ7 . д !дрт . д111 Р = Х + ГУ = — + 1' — = 1 — ( — + 1 — ) У У х дхду дх' дх (,дх ду) 5 В ПОСТАНОВКА КРАВВЫХ ЗАДАЧ м1 (во второй формуле мы перешли к комплексно сопряженным величинам).

Мы видим, таким образом, что напряжения а сл5ещения в плоской задаче теории упругости выражаются через две аналитические функции комплексного переменного ф(г) и ф(г). В заключение вьисним, насколько определяются эти функции заданием напряженного состояния и смещений. При заданном напряженном состоянии функция ф'(г) определяется из первой формулы (27) с точностью до чисто мнимой постоянной, ибо действительная часть этой функции задана.

Отсюда следует, что все функции, которые могут играть роль функции ф, выражаются через одну из них формулой ф(г)+аьг+ Ь, (28) где а1 — 'чисто мнимая и Ь = р+ 5у — комплексная постоянная. Вторая нз формул (27) определяет тогда ф'(г), следовательно, совокупность функций 1р описывается формулой (29) ф (г) + Ьн где Ь1 = ~~ + (у5 — комплексная постоянная. Очевидно, и обратно, напряженное состояние не изменится, если, заменить ф и ф соответственно через ф+ а5г+ Ь и ф+ Ь,.

Пусть теперь заданы компоненты смещения. Из формул (6) — (8) видно, что тогда определяются и компоненты напряжения. Поэтому допустимо заменять функции ф и ф только с помощью формул (28) и (29). Но, как показывает формула (24), при такой замене и+ 5в изменяется на величину Ьи+1ЬО = а1г + я+1 .

ХЬ вЂ” Ь, 2и 2и (30) следовательно, мы имеем дело лишь с жестким смешением всего тела, которое условились не учитывать. Формула (30) показывает, что не изменяют с м е щ е н и й лишь такие замены функций ф и ф вида (28) и (29), для ко- торых а=О, иь — Ь, =О. (31) Таким образом, при зада нных с м еще н и я х постоянная а определена вполне, а из двух постоянных Ь и Ь1 можно задавать произвольно лишь одну. 61.

Краевые задачи теории упругости. Формулы Колосова (24) и (27) предыдущего пункта представляют о б щ е е р еш е н и е основных уравнений (3) и (8) плоской задачи теории гзо ГЛ И!. КРАЕВЫЕ ЗАЛАЧИ И ИХ ПРИЛОЖСИИЯ |51 упругости*). Однако именно в силу своей общности этн формулы не дают непосредственного решения практически важных задач, которые всегда приводят к некоторым условиям, налагаемым на значения рассматриваемых величин на границе области, т. е.

к крвевыл! задачам. Основные краевые задачи плоской теории упругости формулируются следующим образом: Первая краевая задача (!). Найти упругое равновесие области 0 при заданных внешних напряжениях Х„, У„, приложенно|х к границе С этой области. Вторая краев а я зада ч а (П). Найти упругое равновесие области 0 при заданных слчещениях и и о точек границы С этой области. Рассматривают также смешанную краевую задачу, в которой на одних частях границы области задаются напряжения, а на других — смещения.

Докажем единственность решения задач 1 и !(, рассматривая для простоты случай, когда область 0 односвязна и ограничена. Рассмотрим интеграл 1 = ) (Х„и+ У„о) йз, с распространенный по границе С области 0 (он означает физически работу упругих сил, действующих на контур С). Заменяя Х„и У„по формуле (2) предыдущего пункта, мы запишем этот интеграл в виде 1 = ~ ((Х,и + У„о) соз а+ (Хан + Уло) з(п а) йз.

с Но по двумерной формуле Остроградского"*) наш интеграл преобразуется в двойной, распространенный по области 0: 1= ( ) ~ в (Х„и+ У,о)+ ~ (Х„и+ У„о))~г(хду = о о *) Мо|кно было бы показать, что при л|обых аналитических функцияк гр(з) и ф(з) функции Х, Уз, Х„н п, о, определяемые нз (27) н (24), удовлетворяют основным уравнег!ням (3) и (З). ь') Двумерная формула Остроградского имеет внд (Р сова+ |З Мни) |(з = ~ ) ( — + — ) с(хг(у, 1lдР дЯ! ,) (дх дд) с о где а — угол, образованный нормалью к С с осью х. $2.

ПОСТАНОВКА КРАВВых ЗАДАЧ эп 28) В силу формулы (3) и. 50 первые два члена подынтегральной функции в интеграле (2) равны 0; заменяя еще Х„Х„, У„по ди до де ди формулам (8), а — „, —,, — „+ — — по формулам (8) п. 50 и используя обозначейие (7) того же пункта, получаем: Т = ) ) (ЛОэ + 2р (е',„+ 2е',„+ е-„'Д с(х с(рс и Пусть теперь в области Й можно построить два решения Х„', ..., и' и Х,", ..., и" одной краевой задачи 1. Так как основные уравнения (3) н (8) п.

50 линейны, то разности Х =Х' — Х",, п=п' — п" также будут давать решение плоской задачи теории упругости, причем, в силу краевых условий, на линии С будет Х„= У„= О. Поэтому интеграл (1), а следовательно, и (3), равен О. Но под знаком интеграла (3) стоит неотрицательная функция, следовательно, этот интеграл может равняться 0 лишь в том случае, когда в обласпг 0 тождественно 8 = е„„= е„„= е „= О. Тогда из формул (8) п. 50 мы заключаем, что в области 0 тождественно Х, = У„= = Х„= О, т.

е. что напряженные состояния Х,', У„', Х„' н Х, У„", Х совпадают*). Единственность решения краевой задачи ! доказана. Доказательство единственности решения краевой задачи П проводится совершенно аналогично "ч), с той лишь разницей, что обращение в нуль интеграла (!) мотивируется обращением в нуль смешений и и э на линии С. Покажем теперь, как решение задач ! и 11 сводится к решению краевых задач теории аналитических функций. Так как, по доказанному в предыдущем пункте, напряженное состояние полностью определяется через две аналитические функции гр(х) и чр(г), то и решение наших задач должно выражаться через эти функции. Пусть по-прежнему область 0 односвязна и ее граница обозначается через С.

В задаче П граничное условие записывается непосредственно с помощью формулы (24) п. 50 м~р (ь) — ьгр' (ь) — ф (ь) = 2)ггг (ь), (4) где м и р — постоянные коэффициенты, а д(~) = и+ )и — задан- ное на контуре С смещение. *) Напомним, что при одинаковых напряженных состояниях смещения н, о могут отличаться лишь «жестким смещением», которое мы условились считать несущественным (см. предыдущий пункт). ") Если на граниие смещения Заданы, то «жесткое смещение», о котором говорилось в предыдущей сноске, исчезает н и, о определи~ется вполне. йзй ГЛ. И1, КРАЕВЫР ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (61 где з — длина дуги С, отсчитываемая в положительном направ. ленни от некоторой фиксированной точки, и А — произвольная постоянная. В задаче ( значения Г„ на контуре С заданы, по- этому известна функция 1 ~ Р„йз = У (О = ) (Ц + !)з Ю.

о (7) Подставляя это в соотношение (6) и пользуясь формулой (21) предыдущего пункта, найдем краевое условие задачи 1 в виде а +! а = р©+~р'Ю+ф©=У(ь)+А (8) где 7(~) — известная функция и А — произвольная постоянная. Таким образом, решение задачи 1 плоской теории упругости сводится к отысканию в области 0 двух аналитических функций гр(г) и ф(г), связанных на ее границе С краевым условием (8). Выясним вопрос о числе параметров, остающихся свободнымн в рассыл. трнваемых краевых задачах. Кйк мы видели в конце предыдущего пункта, при задании напра>кения (задача !) ы определяется с точностью до слагаемого вида ага-(- Ь, а зр — с точностью до постоянного слагаемого Ь, (а дейятвителыю, Ь н Ь, комплексии), а при задания смещений (задача !!) о и ф определнются с точностью до постоянных слагаемых Ь и Ьг, связанных соотноглеиием кЬ = дг, Таким образом, решение задачи П плоской теории упругости для области с) сводится к отысканию в атой области двух анплитических функций гр(г) и ф(г), связанных на ее границе С краевым условием (4).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее