Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 55

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 55 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 55 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 55 - страница

2 -а (34) С другой стороны, по теореме о количестве движения Р = = т()А! — )А2) и сравнивая это выражение с предыдущим, находим: га 1'! 2 есть также скорость, которую приобретает тело при неупрутом ударе о тело массы пра2/2. В соответсзвии с этим пра2/2 называется присоединенной .кассой пластинки, ударяющейся о жидкость. Дальнейшие примеры решения прикладных задач мы приведем в 5 4 этой главы.

50. Плоская задача теории упругости. Несколько особняком стоят приложения теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Наметим вкратце основания, на которых строятся эти приложения — подробности читатель найдет в прекрасной книге Н. И. Му с х ел и ш в и л и (!0). Плоская задача теории упругости применяется в следующих двух случаях: а) длинный цилиндр подвергается напряжениям„ приложенным к его боковой поверхности, причем эти напряжения лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующим цилиндра, и одинаковы во всех таких плоскостях (рнс. !23,а); б) тонкая пластинка подвергается напряжениям, приложенным к ее периметру и лежащим в плоскости пластинки (рис. 123, б).

В обоих случаях задача описывается плоским напряженным состоянием. Остановимся на этом подробнее. 5 В постАноВкА кРАеВых 3АдАч 501 273 В общей задаче теории упругости рассматривают силы двоякого рода — массовые сильц дейсгвующие на элементы объема или массы тела (такова, например, сила тяжести), и поверхностные силы, действующие по поверхности элементов, мысленно выделяемых в теле (таково, например, давление).

В плоской задаче этим случаям соответствуют массовые силы, действующие на элементарные площадки, и линейные силы, действующие па границы элементов. совые салы отсутствуют. Ли- ' ' '", 1111~", нейную силу, действугощую на т ф, элемент Из, мы обозначим ГсЬ, где à — силу, отнесенную к единице длины, — будем называть налряжениеле Напряже- Рис, 123. ние Г в данной точке зависит от направления элемента (оно имеет тензорный характер) В частности, напряжения, отнесенные к элементам, перпендикулярным осям х и у, мы соответственно обозначим Г, и Г„.

Величины Г„и Гх — векторные; для нх компонент примем обозначения Хх, У„и Х„У„, так что Г„=Х,+1У„, ) Гу Х» + 1УР,( (1) причем Хх и У, будем называть нормальными, а У„и Մ— касательныхги наелряженияли. В плоской задаче компоненты напрягкения являются функциямп двух действительных переменных х и у. Можно показать, что напряжение Ги = Х„+ 1У„, отнесенное к элементу, нормаль которого и образует с осью х угол а, выражается через напряжение (1) формулой Г„= Г, соз а + Г„з! и а (2) (ср. (10), стр. 31). В теории упругости выводятся следующие уравнения равновесия, связывающие компоненты напряжения: дхх дхх дух дтд — х+ — '=О, — '+ — "=О, (3) дх ду ' дх ду доказывается также, что (4) (см. (1О!, стр.

20). Под действием упругих сил тело подвергается деформации, т. е. изменяются расстояния между точками тела. Мы 274 50 ГЛ. !И КРЛСВЫЕ ЗДДЛЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ обозначим х =1!(х, у), у*=)з(х, у) новые (после деформации) координаты. точки (х, у) тела и разности и=к* — х, .о=у — У (5) назовем компонентами смещения. Компоненты смещения в плоской задаче являются фуикциямн двух действительных переменных х, у. В дальнейшем компоненты смещения, а также их производные по х и у пргдполагаготся столь малыми, что их произведениями и квадрата.ии можно пренебречь (а!алые деформации).

Далее, величины (6) ди до ! 7до ди! е = —, е = —, е = —,! — + — ! дх ' зз ду ' хн 2 ( д„ др ) называются компонентами деформации; величина ди до (7) ь) То есть тела, упругие свойства которого одинаковы по всем направлениям. *') В случае длинно~о цилиндра на частицы тела действует еще компонента напряжения йм так же как и другие компоненты, зависящая лишь от х и у. Мы не внлючаем содержащее ее уравнение в основную систему, нбо она равна 2, = ьй и может быть найдена после решения этой системы (см. 1)0), стр. 90).

В случае плоской пластинки постоянную Х надо заменить 2ХИ постоянной ь' = , (см. 1)ой стр. 95]. Такая замена пе меняет харакХ+ 2и гера уравнений (8), поэтому мы и не отмечаем это в основном тексте. представляет собой поверхностное расширение при деформации (см. 110), стр. 47). По основному закону теории упругости (закон Гука) компоненты напряжения являются линейными однородными функциями компонент деформации. Для изотропного тела*) (мы ограничиваемся лишь такимв телами) эта зависимость имеет вид Х„=ЛО+ 2)хг„„уз —— ) О+ 2рг„„, Хн = Ух = 2ргху (8) где Х и и — некоторые постоянные неотрицательные коэффициенты (см. 1101, стр.

64). Формулы (3) и (8) представляют собой основные уравнения плоской задачи теории упругости. Это — система пяти уравнений с частными производными первого порядка относительно пяти неизвестных функций Х„ У„, Х„, и и о двух независимых переменных х и у '*). Из этой системы легко получить уравнения, содержащие одни лишь компоненты смещения. Для этого достаточно под- % К ПОСТАНОВКА КРАБВЫХ ЗАДАЧ зя ЛО= О. Заметим, что из первых двух уравнений (8) и формулы (7) вытекает соотношение 1 О 2!л+„) (Х +Ух) (10) подставив это в предыдущее уравнение, найдем: б (Хх + У„) = О. (11) Уравнение (11) вместе с уравнениями (3) и дает искомую систему уравнений, содержащих лишь компоненты напряжений (три уравнения с тремя неизвестными функциями).

Введем так называемую функцию напряжений, особенно удобную для описания решения плоской задачи. На основании формул (3) выражения — Ху гЬ + Хк йу = йВ, Уу г(х — 1'х г(у = г(А (12) являются дифференциалами некоторых функций. Равенство ка- дВ дА сательных напряжений Х„ и У„ приводит к равенству = =— дх ду ' из которого следует, что выражение А г(х + В г(у = й(/ (13) является полным дифференциалом некоторой функции 0(х, у), которая и называется функцией напряжений, Эта функция была введена в 1862 г. английским астрономом Эри.

Из (12) и (13) получаем следующие выражения компонент напряжений через функцию (7(х, у): Х = = ! = = ° Х =Ух= . ° (14) дВ дкГ) дА дЧ) дЧ/ х= ду = ду2 ' У дх дхк У х — 'дхду' ставить выражения (8) для Х„, У„и Х„в уравнения (3); тогда с учетом (6) и (7) получим систему двух уравнений второго порядка относительно двух неизвестных и и гл () +)А) д +)хоп=О, (А+)х) д +)Ада=О, (9) да дВ где 22 — оператор Лапласа. После решения системы (9) напряжения можно найти простым дифференцированием по формулам (8). Легко получить и уравнения, содержащие одни лишь компоненты напряжений. Для этого продифференцируем первое уравнение (9) по х, второе — по у и сложим полученные уравнения.

Учитывая еще выражение (7), будем иметь (А+ )А)оО+ + )х ЛО = О, откуда ГЛ. И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖСИИЯ 2те (во Через функцию (!(х, у) можно выразить и компоненты смещений. Подставив в формулы (8) выражения (14) для Хх, 1'в и Х, выражения (6) для е,„, е„„и ех„, а также вырал ение О= ! ЛУ, которое получается подстановкой значений (14) 2(А+ И) в (10), будем иметь: ди д'и даи Л 2р — = —,— Ли, 2„— = ли,1 дх дуа 2 ()С+ И) ' ду дхх 2 (Х -1- И) ) (15) р Я+ф= — „„,. Из соотношения (14) следует, что Х„+ У„= бог, где Л— оператор Лапласа; из уравнения (11) видно теперь, что функция напряжений 0 удовлетворяет уравнению д1с! дод дтУ (16) т, е., как говорят, является бигирмонической функ!(пей.

Мы докажем сейчас, что любую бигармоническую функцию можно представить с помощью аналитических функций комплексного переменного. Так как, с другой стороны, через бигармоническую функцию выражаются компоненты напряжения и смещения, то мы приходим, таким образом, к комплексному представлению решений плоской задачи теории упругости. На з1ом представлении и основываются развитые Г. В.

Колосовым и Н, И. Мусхелиш вили методы приложения функций комплексного переменного к теории упругости. Пусть ст' будет произвольная бигармоническая функция. Функция ьтУ тогда, очевидно, гармоническая. Мы обозначим М/ через Р, через () обозначим сопряженную к ЛУ функцию н положим )(г) = Р+ 1Я. Удобнее, однако, рассматривать функцию 4)~() Г (17) так что — = — = — Р, др дд дх ду 4 др дд ! — = — — = — — () ду дх 4 (18) Простой подсчет показывает, что функция Р =() — Рх — И является гармонической *). *) Действительно, ислольауя соотвошевия (!8) и условия Коши — Ри! мана для фуиидии 1(х), находим: о (рх) = и (еу) = — Р, следовательво, Ьр! = ЬУ вЂ” Р =' О.

б б. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ бо) Обозначим через Х(г) аналитическую функцию, имеющую р, своей действительной частью, тогда будем, очевидно, иметь: ()= рх + с(у + р, = не ( ф ( ) + Х (г)). Переписан эту формулу в несколько ином виде, мы получим искомое комплексное представление бигарнонической функб(ни: (У = — 2(гф+ гф+ Х+ Х) 1 (! 9) (Э. Г у р с а, 1898 г.) . Для дальнейшего полезно найти также представления част- ных производных функций (т'.

Дифференцируя (19) по х и у (г и 2 мы считаем при этом промежуточными переменными и д д, д д пользуемся тем, что — ф= —. р =ф' и — ф= — бр = — !ф'1, дх дх ду ду /' получаем: дх = —,(ф+гф'+ф+гФ'+Х'+ Х'), 1 (20) — „= 2 ( — ф+гбР'+ф — гф'+Х' — Х') ду 2 '! откуда д0 .дУ дх+ ду Р()+ Р ()+ (21) Перейдем к комплексному представлению компонентов смещений и напряжений. Заменим в первых двух формулах (15) дти дЧ1 дЧ/ дг(Г ЛУ = Р— = Р— —., — = Р— —.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее