Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 52

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 52 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 52 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 52 - страница

поток скорости 17 через произвольную кривую у, соединяющую линии Се и С!. Пусть и = ) (г) — комплексный потенциал искомого поля. Условие обтекания С, и С! сводится к тому, что на этих кривых функция о = 1т) (г) должна принимать некоторые постоянные значения, например: (о, на С„ (4) По формуле (11) п. 46 расход Л'= ~ (17, и') ггз = о, — еш следовательно, Разность о! — пе известна. Так как 1(г) опРеделяется лишь с точностью до постоянного слагаемого, то всегда можно принять ое = О, о! = Лг. Без дополнительных ограничений на поведение 1(г) в бесконечности задача неопределенна.

Действительно, рассмотрим, например, полосу О < р < Лг, где М вЂ” заданныи расход; тогда всем поставленным условиям удовлетворяет функция /шх(г)=г+Леи !н, ибо при любот! целом и и действительном Х ее мнимая часть иир у+Хе лхгн ебп — — принимает на границах полосы постоянные А! значения по=О, о! — — М. Поэтому мы предположим дополнительно, что: 1) кривые Со и С! обладают гладкой кривизной, 2) при г — со остается ограниченной ширина полосы О, а также кривизны кривых С, и С, н производные этих кривизн, 3) рассматриваются лишь течения с ограниченной' в бесконечности скоростью. Докажем, что в этих предположениях прн заданном расходе Лг существует единственный безвихревой поток в области О, обтекающий Се и С!. В самом деле, пусть 1(г) — комплексный потенциал любого потока, удовлетворяющего условиям задачи, и г = гр(ю) — функция, реализующая конформное отображение полосы О < 1гп щ < Л! на область О, причем гр(Н-оо) = ~оо *).

Очевидно, функции 7г (гв) = 1 [!р (гв) [ = (7 + !')г (6) ') Точка з = оо является двойной точкой границы области Т!; одну из этих точек мы обозначаем — оо, а другую +ос. При этом мы заботимся лишь о том, чтобы по отношению к обходу границы области хэ эти точки были расположены так же, как и на горизонтальной прямоугольной полосе. Гл. !7! кРАввыя зхдлчп н нх пгиложеиня будет служить комплексным потенциалом потока в полосе О ( о ( й7, обтекающего прямые о = О, о = М с заданным расходом Л7. В силу условия ограниченности скорости данного потока в бесконечности и теоремы 1 и.

29 о соответствии границ при конформных отображениях производная Г(в) =['(г)р'(в) также остается ограниченной в бесконечности. Рассмотрим гардр моническую в полосе О «.. о «. й7 функцию — =1т Г'(в). Она, <7и очевидно, равна О на границах полосы и ограничена в замкнутой полосе О < о < й!. По обобщенному принципу экстремума зь' (теорема 5 п. 42) можно заключить, что всюду в полосе — = — О, ди а значит, р'(в) = а — действительная постоянная. Отсюда г(в)=ав (мы отбрасываем несущественную постоянную), и так как функция )т(в) = ао должна быть равна О на прямой о = О и Ж на прямой о = 7!7, то а = 1; окончательно г (в) = и!. Из формуль! (6) получаем тогда: )[!р(в)) = в, т. е.

1(г) должна быть функцией, обратной к !р(в). Единственность решения задачи доказана. Вместе с тем доказано, что искомый комплексныи потенциал в = 1(г) реализует ззаильчо-однозначное конформное отображение области 0 на полосу О ( о ( М с соотзегствиел! бесконечно удаленных точек: [(-~-ьь) = ссо. 3) Поток в криволинейной полуплоскости.

Пусть дана линия С без точек самопересечения, содсрлсащая бесконечно удаленную точку, и замкнутая на сфере комплексного переменного; 0 пусть обозначает одну из двух областей, ограниченных линией С. В области 0 требуется построить поток, обтекающий кривую С и обладающий заданной по величине скоростью в бесконечности ~ )т„~. Если дополнительно предположить, что С во всех точках обладает непрерывно дифференцнруемой кривизной, включая н бесконечно удаленную точку, и рассматривать лишь потоки с ограниченными скоростями, то единственность решения доказывается точно так же, как в предыдущей задаче (только полосу надо заменить полуплоскостыо). Искомый комнлексньш' потенциал в =1(г) реализует конформное отображение области 0 на верхнюю полунлоскость при условиях [(со) = сь, )1!'(ьь)1 = 1(т„[, В качестве примера укажем видоизменения, которые надлежит сделать в задачах 1) — 3) при рассмотрении электростатических полей.

Всюду термин «обтекаемый контур» заменяется термином «проводник» (точнее, след проводящего цилиндра, перпендикулярного плоскости г), «скорость» заменяется «напряженностью поля», «функцня ток໠— «потенциалом», «потенциальная функция» — «снловой функцией», «расход» вЂ” «разно- % т, пОстАнОВкА кРАеВых зллчч чз1 259 ри = Рп', (7) где р — плотность жидкости и РП1 — импульсивное давление в ней. Обозначим через Е> область, занятую жидкостью, через С вЂ” ее границу. С состоит пз дуги Со — стенки сосуда, дуг СА— l поверюгостей тел ВА и из дуг СА — участков свободной поверхности жидкости между двумя последовательными дугами Сж СА, ~ (рис.

114). Для потенциала скоростей и(х, д) имеем следующие граничные условия: а) Вдоль стенки сосуда Са дгт — „=О, дл (8) ') Сосуд н тела предполагаются, конечно, цнляндрнческнмн, движение жидкости плоско-параллельно; на рнс. !14 изображено сечение, перпенднкулнрное образуюпгнм цилиндров.

стью потенциалов» и т. д. В задаче 1) задание циркуляции заменяется заданием суммарного заряда е=-т,=~ 1'(г) гуг= с = — (см. формулу (21) п. 47), следовательно, в формуле (1) с ~ = — 2ет и член с логарифмом в формуле (2) имеет вид 2ет'1л — (ср. (23) п. 47).

1 В заключение приведем два примера несколько более сложных краевых задач. 4) У д а р н ы е з а д а ч и. Значительная часть таких задач охватывается следующей схемой. В сосуде А находится покоящаяся или движущаяся жидкость, в которой плавают твердые тела ВА (й = 1, 2, ..., и) (рис. 114")). В момент времени г = О на тела подействовали импульсивные силы так, что тело Ва получи- В, 8 Нз ло мгновенно приращение скорости )А~,' (удар). Требуется найти поле им- ба — — — ~' ~ — з:с пульсивных скоростей 171г1 и распределение импульсивных давлений Р1г1 в жидкости в момент, непосредственно Сев слсдующип за ударом. гу Перейдем к математической поста- Рпс.

114. иовке задачи, причем для простоты ограничимся случаем, когда до удара жидкость покоится. Кгтк известно, при отсутствии массовых импульсивных сил движение после удара потенциально, причем потенциал скоростей и(х,у) в момент, непосредственно следующий за ударом, удовлетворяет условию Ыз 2бо ГЛ И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И НХ ПРИЛОЖЕНИЯ ибо из условия обтекания получаем о(х, у) = сапа!, и тогда нз условий Коши — Римана, записанных для направлений зе и а', дн до будем иметь: — = — —.=О. дл дз б) Вдоль дуг С1, соприкосновения жидкости с телом (тг! о тго) дл (9) где и' — единичный вектор внутренней нормали к СА.

При этом мы считаем, что не происходит отставания жидкости от стенок (кавитации); (9) следует из известной связи между атаби= = У!1! и производной по направлению. Импульсивные скорости тел ВА считаются известными, так что в правой части формулы (9) имеем известную функцию. в) Вдоль дуг СА (т.

е. вдоль свободной поверхности) и(х, у) =О, (! 0) ибо давление на свободной поверхности конечно; следовательно Рю = 0 и тогда ()0) следует нз (7), Найдем и(х, у) в области О, мы получим распределение ско- ростей )А = йтаб и, а давления определим по формуле (7), Эта краевая задача является частным случаем слгешанной краевой задачи теории гармонических функций, исследованяе и решение которой мы приведем в п. 55 (см.

также пример 9) п. 49). 5) Обтекание со срывом струй. Так называют об- текание„ при котором одна из линий тока идет нз бесконечности к некоторой точке В обтекаемого тела, где она разделяется иа две ветви, каждая из которых идет г вдоль стенок тела до не- в которых точек Сг и Сг и а затем отрывается от стенок, снова уходя в бесконечность (рис. 1 ! 5) . При этом предполагается, что Рнс. 1!о. свободные струи С1А1 и С Аг отделяют зону дви- жения ! от зоны покоя !! так, что вдоль этих струй происходят разрыв скоростей '). В зоне ! движение считается потенциаль- ным; в зоне покоя 7! скорость везде равна нулю, следовательно, ') Такая схема в известной мере отрагкает фактически наблюдаемый разрыв скоростей за двнжугннмнся в реальных жндкостлх телами; однако в ре.

альных жндкостях зона г! является не зоной покоя, а зоной вихревого двнження н не простирается в бесконечность. $ г постАПОВкА кРАВВых 3АдАч 26! давление постоянно (см. формулу Бернулли — Эйлера (4) п.47) и струи С1А~ и СЗАз можно рассматривать как свободные границы жидкости. Мы приходим к следующей краевой задаче: а) на участке С,ВС, тела (длина которого не известна) имеется обтекание, т. е. о(х, у) =сопз1; (1 !) б) на свободных струях С1А~ и СзАз (форма которых не известна) величина скорости постоянна: ! 1т!=!1т (, это следует на основании формулы Бернулли — Эйлера из постоянства давления в зоне покоя.

Методы решения этой краевой задачи будут приведены в и. 65. В последующем изложении мы еще не раз будем встречаться с краевыми задачами различных типов. 49. Примеры. Приложения. !) Формула Жуковского. В п. 47 мы получили формулу С. А. Чаплыгина для подьемной силы обтекаемого профиля; Р=Х вЂ” П'= Р ~[~'(г)]гдг. 2 с Учитывая разложение в бесконечности для производной комплексяого потенциала в задаче обтекания замкнутой кривой, полученное в предыдущем пункте: Г(г)=~ + —,"„,—,'+ ..., и применяя к интегралу (!) теорему о вычетах, находим: — ги . 1т Р= г '2ти' =~рГЪ Перейдя к комплексно сопряженным величинам, получим знаменитую т е о р е м у Н. Е.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее