Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 36

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 36 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 36 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 36 - страница

Применяя формулу (7) предыдущего пункта, получаем: Сс [ (~ а[),-1 (ьс аде-! (сь я)лл ! ц Приведем выражение в каждой скобке к общему знаменателю и вынесем нз каждой скобки множитель а„' — а' (а = 1, ..., и — !); — 1 *) Если олив из точек аь = о, то прилется взять 7. — + а, гле а а л отлично от всех аь.

зз! $3. ПРИ!ЩИП СИММЕТРИИ !77 ек Рис. 8!. ... ( — а„)" ' йг+Со (З) где а' и а" — измеренные в долях п углы при вершинах А' и А,",, а а' и а„" — точки осн х, соответствующие этим вершинам, будем иметь: те = С ~(г — а,)'~ ' (г — ат)'~ ' ... (г — а„,)' -1 ' Х 4(Я Х „„, „„,,+С„ 1 2 ''' а ! где ад —— ,, — некоторые действительные постоянные, а а„— аь С вЂ” комплексная постоянная (в ее выражение включены все вынесенные множители). Используя элементарное геометрическое предложение о сумме утлов п-угольника, согласно которому а, + аз+ ... + а„=п — 2, (1) получим окончательно с те= С ~ (г — а,)' ' (г — а,)"' ... (г — и„,)'"-' ' йг+С,. (2) о Таким образом, если одной из вершин многоугольника Л соответствует бесконечно удаленная точка, то относяи!ийся к этой вершине Ь;,, л!ногситель в Формуле Шварца — !тристофсреля выпадает.

Это обстоятельство используется на пракзике для упрощения интегра- !с сг Л~ д ла Шварца — Кристоффеля (см. п. 39 и след,). 2) Одна илн несколько вер- я.', а,'7! шнн многоугольника лежат 8' в бесконечно удаленной точ-, ке. Пусть вершина Аь многоугольника Л лежит в бесконечно удаленной точке. Возьмем на лу !ах Ач 1Аь и А„Аь+, произвольно по точке Аь и Аь', соединим нх отрезком прямой н рассмотрим полученный (и+ 1)-угольник Л' (рнс. 81). Функция, отображающая полуплоскость на многоугольник Л', по предыдущему выражается формулой / а ге= С ~ (г — а,) ' ...

(г — а') " (г — а,",) ь «а ГЛ. П, КОНФОРМН11Е ОТОБРАЖЕНИЯ )за !?8 Пусть отрезок АААА удаляется в бесконечность, оставаясь параллельным самому себе; при этом точки а' и аа сливаются в одну точку аа, соответствующу'ю вершине Ае, и в пределе множители формулы (3), содержащие а' и а", переходят и аач.на -е в (г — а,) ' а . Обозначим через ата взятый со знаком минус угол пересечения лучей АА,АА и АА„,АА в конечной точке А".

Тогда из треугольника А'А"А' имеем а' + а" — ае = 1, т. с. а'+ а„" — 2=а — 1, и формула (3) принимает обычный вид: ил =- С ~ (г — а,)"1 ... (г — аь)"и ... (г — а„)" ' де+СИ (4) 7 Это же рассуждение можно привести и в случае, когда в бесконечности лежат несколько вершин многоупульника. Таким образом, форл1ула Шварца — !(ристоффеля остается в силе и для иногоугольников, у которы одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке, если яри этолл угол между дву.ия пряны ии с вершиной в бесконечности определяется как угол в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус (ср.

п. 31). Прн нашем определении угла в бесконечности остается в силе соотношение (1) для суммы углов многоугольника. Действительно, для (и+ 1)-угольника Л', с конечными углами, на основании формулы (1) имеем: ~ + а' + а" = я — 1, где ~ означает сумму всех углов Л', кроме угла прн вершине А, = со (мы придерживаемся принятых выше обозначений). Заменяя а' +а"=а + 1, получим соотношение (!) и для многоугольника Л. 3) Отображение внешности многоугольника. Этот случай отличается от разобранного в п.

37 тем, что в пеКОтОРОй КОНЕЧНОН и) ТОЧКЕ а ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСтн, СООтВЕтствующей бесконечно удаленной точке многоугольника, функция )( ) имеет полюс первого порядка (наличие полюса высшего порядка противоречило бы однолистности). Так же, как и в п. 37, доказывается, что в этой точке д(г) будет иметь полюс первого порядка с вы 1етом, равным — 2. То же самое б)л дет иметь место и для точки а нижней полуплоскости, ибо д служит полюсом первого порядка для аналитического продолжения функции )(г).

Таким образом, для функции д(г) будем *) Если бесконемо удаленной точке лжогоугольиика соответствует бесконечно удаленная точка плоскости а, то зта точка является граничной для ыногоутольиика, и мы имеем случай, уже разобранный в разделе 2), за1 $ Х ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 179 иметь разложение а,— 1 а,— ! аа — 1 2 2 е — а~ е — аз ''' е — а е — а е — а Отсюда получим следующую формулу для функции, реализующей конформное отображение верхней полуплоскости на внеси- ность многоугольника е ш=С~ (г — а,)'1 ...

(г — а„)аа ',, +Сь (6) и Здесь ссх — измеренные в долях и в и е ш н и е углы многоугольника, аь — точки действительной оси, соответствующие его вершинам, а — точка верхней полуплоскостп, соответствующая бесконечно удаленной точке многоугольника, га, С н С~ — некоторые постоянные. 4) Отображение внутренности (внешности) единичного круга па внутренность (внешность) многоугольника осуществляется функцией а ее = С ) (г — а,) ~ (г — а.,) " ... (г — а„) с(г + Сн (6) и Здесь ось — измеренные в долях и внутренние (внешние) углы многоугольника, ам ) ах) = 1 — точки единичной окружности, соответствующие его вершинам, С и С~ — некоторые постоянные.

При отображении внепиости круга на внешность многоугольника, кроме того, предполагается, что бесконечно удаленные точки плоскостей г и ш соответствуют друг другу. Для отображения внутренности единичного круга на внешность многоугольника имеет место формула 1с = С ~ (г — а,)" 1 (г — а,)" ~ ... (г — а„)"а 1 †, + Сь (7) г гр где смысл обозначений тот же, что п в формуле (6), и предполагается, что бесконечно удаленной точке многоугольника соответствует центр круга. Формулы (6) и (7) сводятся к предыдунгим с помощью дополнительного дробно-линейного преобразования плоскости г так, как зто делалось в начале этого пункта при выводе формулы (2).

6) О б р а т н а я з а д а ч а. Пусть теперь заданы произвольные совокупности действительных чисел аа и аь удовлетворяющие условиям — оо < а, < аг « ... а„< оо, — 2 ( ил ( 2, 180 ГЛ. П. КОНФОРЫЦЫЕ ОТОВРАЖЕНИЯ !Зз Оказывается, что в этих условиях интеграл Шварца — Кристоффеля определяет функцию, реализугои(ую конформное отображение верхней полуплоскости на некоторый многоугольник с углами сслп при вершинах. В самом деле, аргумент производной функции (8) ь сЫ ага — =агц С+ 1 (ал — 1) агд(г — ал) и=! (9) сохраняет постоянное значение на любомотрезке (а!зал+!),)г=1, 2, ..., п — 1 действительной оси ), а сама производная Ф им Б!х внутри такого отрезка не обращается в О.

Следовательно, функция (8) взаимно-однозначно отображает отрезок (ам аг,+!) на некоторый прямолинейный отрезок АлАл+ь То же самое относится и к содержащему г = оо отрезку (а„а,) действительной оси. В самом деле, во-первых, в силу условия ~за, =и — 2 отрезки (а„оо) и ( — оо,а!) поворачиваются при нашем отображении на одинаковый угол, а во-вторых, интеграл (8) сходится в точке г = о *а); следовательно, при г- -1-оо функция ьу стремится к одному и тому же пределу.

Таким образом, функция (8) осуществляет соответствие действительной оси и некоторой ломаной А,Аз ... А,, В общем случае эта ломаная может иметь точки самопересечения и не ограничивать никакой плоской области (она будет тогда ограничивать неоднолистную область на римановой поверхности). Исключая такие случаи, будем считать, что А,Аз...А„ является границей некоторого (однолнстного) многоугольника. Заметим, что некоторые из вершин этого многоугольника могут лежать в бесконечности — это будут те вершины Аж для ") Мы считаем агя (х — аь) равным О или и в зависимости от того, будет ли х ) оь или х ( ож следовательно, иа каждом отрезке (аж а*ы) ностоаииы все слагаемые суммы (9). ию '*) Первое утверждение следует из того, что агя — на отрезке (а„, ох равен зги С, а на отрезке ( — оч, а,) равен а!я С+(Хаь — и) и = ага С вЂ” 2п! второе утверждение из того, что главный член нодынтегральной функции в хоа-л оирестноста точки х = ео имеет вид х а =и хй аз =гг — 2, и произвольные комплексные числа С и С!.

Поа=! строим с их помощью интеграл Шварца — Кристоффеля х ш = С ) (г — а,)' ' (г — а,)" ... (г — а„)си ' йг + С,, (8) хь зз! $ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ которых аз~0 (в самом деле, при приближении к соответствующим точкам аь функция ги- сю, ибо интеграл (8) расходится, так как порядок бесконечности подынтегральной функции ) 1). Но и в этом случае применим принцип соответствия границ и можно утверждать, что функция (8) реализует конформное отображение верхней полуплоскости а на внутренность многоугольника А!Аз ... А „. Угол при вершине Аа этого многоугольника равен ссья, ибо, как видно из (9), при переходе а'ш через каждую точку аь в направлении слева направо агц— дз изменяется на — п(схь — 1) = и — ссап, следовательно, соответствуюшнй отрезок Аь,Ал поворачивается на угол и — ссзп против часовой стрелки.

Наше предложение полностью доказано. Предложение остается в силе и в том случае, когда усло- а вие ~ аа —— п — 2 не выполняется. В этом случае лишь появит- л=-! ся дополнительная (и+1)-я вершина многоугольника, соответствующая точке г = со. Читатель проверит, что эта вершина будет конечной, если Х аа < и — 2, и бесконечно удаленной, л=! а если ~ аь > и — 2.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее