Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 34

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 34 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 34 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 34 - страница

Полученное продолжение снова продолхсается через луч ВзС, и новое продолжение отображает 3-й сектор плоскости к на 3-й сектор плоскости ш (так, !то точка Вз попадает на окружность). Повторяя это рассуждение, мы находим, что функция (5) вместе со своими аналитнчесигми продолжениями реализует искомое отображение. На рпс.

72 показаны части прообразов окружностей (ш( = р прп рассматриваемом отображенян для л = 8 и а = 0,25; видно, что пря р = 1,8 и больше влияние исключенных отрезков практвчески ие сказывается — практически эти прообразы не отличаются от окружностей.

г(ля а =- 0 имеем и а! = О, следовательно, формула (5) переходят в фор. мулу ш ~ з Найдем главную часть отображения (5) для малых а. Из соотношения (4) находим: а, як пзазг'8. Пренебрегая малыми порядка вьпие аз, из формулы (5) получаеы приближенную формулу для нашего конфорчпого отображения: ,.-+,(.+ .-+)(, =,(1 или окончательно: (6) (ср, формулу (!0) из примера 4 п. 30).

Формула (6) пригодна для точек„ не слишком близких к корням и-й степени из!. 3) Отображение верхней полуплоскостн с исключенными отрезками 0~(у(А, к=да (А=О, -г1, 62, ...) на верхнюю ю п оп у плоскость. Проведем дополнительные разрезы А,С и А,С от концов отрезков в бесконечность (штрих-пунктир на рис. 73) н отобразим полученную полуполосу СВ-,ВоС ва такую же полуполосу, но так, чтобы точки А-~ и Аэ перешли в вершины этой полуполосы.

Для этого отобразим пз сначала нашу полуполосу иа полуплоскостес з! — — соз — (см. п. 9), сожмем а 1 последнюю: я,= пй я, (та«, что точни А ! н Аз перейдутв точки зз = ~-1) с)!в а в воспользуетгся отображением, обратным к первому: ю = — агссоз аз, Таким и образом, мы получаем искомое отображение полуцоласы на полуполосу: и 7 1 !та'! ш = — агссоз — соз— л м/г а (7) Приыеняя к полученной функции неограниченное пшло раз принцип симзгетрип, найдем, что она осуществляет искоыое отображение <решетки» рис. 73 на полуплоскость. На рпс. 73 показаны прообразы лений и = сопз1 и о = сопз( прв рассматриваемом отображении для Л = 0,5 и а = 2; видно, что при о = 2 н 168 ГЛ.

Н. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !Зе больше влияние исключенных отрезков практически не сказывается — рассматриваемые прообразы практически не отличаются от прямых. 4) Отображение плоскости с исключенными отрезками — а(х(а, ур ЬН (А=О, ~1, ~2, ...) на плоскость с исключенными отрезками действительной оси (рис. 74; обе области бесконечносвязны).

Проведем дополнительный (пунктирный) разрез по мнимой оси н одну из двух образовавшихся областей, например правую, отобразим на верхню1о полунлоскость. Для этого мы по- У вернем плоскость з на 90' и воспользуемся реаультатом предыдущей задачи: функция 1Нг и( ! В Г х ВВ 'лс вс— '-а в, а -вг 1 пз) Ф агссоз сй— на Н (8) Н осуществляет конформное отображеаие правой половины области на верхнюю полуплоскосгь. При этом точка А, (з = а) переходит в точку щ = агссоз ! = О, ~очка В , (з = О) — в точку ш = 1 зп = агссоз — = Ь, точка С Л~ Вс Га Лс Вч В~ В-~ Вг и си— па Н (г = — /Н) — в точку щ= — 1 Р, 74. ис, агссоз — = н — Ь, А, вереиа сй— Н ходит в — н, В з — в и+ Ь и вообще точии Аь переходят в точки щ = = — йи, а отрезки ВьСх — в отрезки ( — (4+1)ге+ Ь, — йн — Ь) (Ь = О, ' 1, ~2, ...). Согласно принципу симметрии мы можем продолжить функцн1о 78) через совокупность отрезков ВьСь и получим тогда, что эта функция вместе с ее продолжением осуществляет кояформное отображение заданной области на плоскость ю с выброшенными отрезками (йн — Ь, йн+Ь) (Ь = О, ~1, ~2, ...), Задача решена.

5) Отображение областей, ограниченных кривымн второго порядка. а) П а р а б оп а. Пусть начало координат помещено в фокусе параболы у'= 2р ~к+ — ) (рис. 75). р) 2) (1) С помощью функции ю ='ггз внешность этой параболы отображается на полуплоскость 1ш ш >'ггр/2, Действительно, полагая к = х+!у, ш = = и+ г'е, вайдемг х=и' — о', у=2ио, (9) Ф,'еги:ага- — — аа мы часгтию -Ь В Ь Л-Ь Л ЛгЬ д откуда видно, что прямые о = с переходят в параболы у'= 4с' (х+ с'); при с = Ьгр/2 получаем заданную параболу. Таким образом, функция щ =)га — ! Р р/2 (10) реализует конформное отображение внешности параболы на верхнюю полу- плоскость.

Внутри параболы функция (!0) имеет точку ветвления. (2) Чтобы получить отображенае внутренности параболы, мы проведем разрез по лучу Вгы (рис. 75) а заметим, что верхняя половина парабольз 5 3 ПРИНИИП СИММЕТРИИ 169 отображается с помощью фуннции г~ — — )/г на полуполосу О< у, < 1/ р/2 Г2 0< х, < ео. С помощью функции гт соз ~ а/ — н!г, ) эта полуполоса ото- Р бражается иа верхнюю полуплоскость, причем разрезу Врб соответствует луч — 1 ( х ( оо.

Применяя принцип симметрии, а затем еще преобразование ю=-!У ! +гл, почучим искомое отображение внутренности параболы на верхшою полуплосность: — н!г, .г— ю ! у 2 соэ = = ! у 2 с)) п1, ) 2р т 2Р ' б] Гивер б о па, (1) Чтобы найти конформное отображение на верхнюю полуплоскость области, заключенной между ветвями гиперболы к' у' — — — =1 ае Ьз (рнс, 76), мы проведем разрез В0 по действительной оси и заметим, что функция г, = — (г+ У г' — с'), где с=фа'+Ь' отображает верхщою пол .ловипу заданной области иа сектор 0 ( агдг~ ( н — О, )г~) ~ 1, где Рис. 75, Рнс.

76. а 0 = агссоз — (см. и. 7). По принципу симметрии эта же фупнция осущес сгвляет конфорлщое отображение всей заданной области ва несь сектор 0 ( атй г~ ( н — О. Такил~ образом, функция )и/!и ээ) (г+'т~г~ л ' /1 — ) л 2 л лп/(и-20) ю=(е ' г, се' (12) ос)ществляет отображение области, заключенной между ветвями гиперболы, па верхнюло полуплоскость. (2) Чтобы получить отображение внутренности правой ветви гиперболы ! проведем разрез получу ()РО и заметим, что функция г, = — (г + ф г' — с') = с г асс)л- = е осуществляет конформное отображение верхней половины области на сектор 0 ( агй г~ ( О, (г! ) 1. Функция гт — — — (г) /э+ г) "/ ) 2 /н г! .= с)л~ — асс)) †) отображает этот сектор на верхнюю полуплоскость, причем !0 с/ Г7О ГЛ. П.

1<ОНФОРМНЪ|Е ОТОБРАЖЕНИЯ лу >у ОГО соответствует луч ( — 1, со) действитсльпой осп. Применяя принцип снмметр|ш и затем дополнительное отобрал<ение щ = > У! + г>, получим искомое отображение в»утренностн правой ветви гиперболы на верхпю>о полуплоскость: >и ш = > т 1+ сй( — агой — )' = > !' 2 ей< — агс)> — ~.

(!3) в) Э л л ни с. (1) Конформпое отображение внешности эллипса х' к> — + — =1 и' Ь' на внешность единичного круга осуществляет функция а+ )Гз" — с> ш = 1!.1) где с=~ ах — Ьа (см. п. 7). Внутри эллипса эта функция имеет топи ветвлеаня (рис. 77). (2) Чтобы получить отображение внутренности эл.щшса, мы сделаем раз.

рез вдоль бол> шой осн и воспользуемся функцией з, = — (з + ! аз — с') с Тогда получим отображение верхней половины эллипса на верхшо>о половпяу кольца л а+Ь ! < ~ а, ! <, (гпз> >О, причем разрез с переходит в отрезки АГ>, Г>С дейстэнтель- Ф ной оси и единичную полуокру>кность. Г Функция з> — — 1п а> отображает это солуг кольцо на прямоугольник О ( Ие г, ( |1, а+Ь О ( 1п>а> ( н, где г( = 1п . Прннпип с симметрии еще неприменим, нбо образом нашего разреза является трехзвепная ломаная А Г>1»В; требуется предварительно отобразить прямоугольник пя верхяюю по. луплоскость. чтобы эта ломаная перешла в один отрезок. Отображе>ше прямоуголы|пка на плоскость нельзя получить с помощью комбинации элементарных функций — его осущесталяет так называемая элл>штичсская функция (сн.

п. 39, пример 1). — поэтому и отображение впутреняости эллипса на полуплоскость не запнсьшашся через элснезтарные функц>ш 37. Отображение многоугольников. Прежде чем приступить к выводу формулы для отображения полуплоскости на много)тольникп ч), выясним вопрос о поведении конформного отображения в угловых точках областей. Предположим для простоты, что границы области А в окрестности угловой точки що состоит из прямолинейных отрезков; угол между этими отрезками мы обозначим через <хгс, считая 0 ( и «"'2 (рис. 78).

Пусть функция ш =1(г) реализует коиформнос отображение верхней полуплоскостн на область Л, причем угловой точке п>о соответствует точка го действительной оси. ч) Другой, более нонструктивный вывод этой формулы см. ниже в п. 44. зт! 5 х пРинцип симметРии 171 Для выяснения характера функции 1(г) в окрестности точки ,г, введем вспомогательное переменное св = (и! — и!с) !!'". Сложная функция =()(г) — ш.)ь =ы(г) (1) реализует копформное отображение части окрестности точки гс, принадлежащей верхней полуплоскости г, на часть окрестности точки с» = О, принадлежащую одной из полуплоскостсй, причем отрезку действительной оси плоскости г соответствует отрезок ,~ ф -о РЭ.~я~ "о Рис. 78.

прямой (рис, 78). По принципу симметрии функция ы(г) допускает аналитическое продолжение в полную окрестность точки г, и представима, следовательно, рядом Тейлора (г) = ~;(~ — гс)+ с;(г — г,)'+ В этом ряду отсутствует свободный член, ибо м(гс) = О, однако с', = !в'(г,) Ф О, так как функция осуществляет конформное отображение.

Возвращаясь с помощью соотношения (!) к функции 1(г), находим, что в окрестности точки гс функция 1(г) представнма в виде 1(г) =щ,+(г — г,)" (С, +с,'(г — г,)+ ...)'. Так как выражение в фигурной скобке отлично от нуля при г = г,, то в некоторой окрестности точки гс можно выделить од.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее