Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 29

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 29 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 29 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 29 - страница

Зададимся тачкой а верхней полуилоскости, переходящей в центр круга в = О (рис. 53). По свойству ГЛ. 11. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРА>КЕНИЯ [22 сохранения сопряженных точек точка а, симметричная точке а относительно действительной оси, должна перейти в точку в = Оэ, симметричную точке п1 = 0 относительно единичной окружности.

Поэтому искомое отображение должно иметь вид 2 а и=й = 2 — Д (7) Граничная производная Н., — — -„,.„,— ЯЭ ') Ых Ь Ь ам ~~,1Э ИВ З,, а — В ! — соэ ( — а) г (9) непрерывна всюду на окружности, кроме точки га = е'", кото- рая соответствует точке г = ОО (ср, теорему 1 п. 29), где й — постоянный множитель. Прн любом Й эта функция Отображает верхнюю полуплоскость иа некоторый круг с центром в п1 = О, ибо точка п1 = ОО должна быть симметричной точке ш = 0 относительно окружности этого круга. Подберем й так, чтобы круг был единичным.

Для этого достаточно потребовать, чтобы точка з= 0 перешла в точку единичной окружности: ! а= й й — ~ =| й ~ = 1. Таким образом, можно положить й = е1" н нашу задачу решает функция Ш=Е1а 2 а (6) 2 — а где а — любое действительное число (изменение а означает поворот круга относительно центра и = О). По свойствам дробно-линейных отображений пучку радиусов круга (ю((1 (т.

е. дуг окружностей, проходящих через точки н1 = 0 и га = ФО) соответствуют (принадлежащие верхней полуплоскости) дуги окружностей, проходящих через точки а и а. Семейству окружностей с центром в точке н1 = 0 соответствуют окружности, имеющие а н а своими симметричными точками (см.

рис. 53). Отметим еще обратное к (6) отображение единичного круга на верхнюю полуплоскость. Полагая для упрощения а = (й чисто мнимым, получим из формулы (6) е'+м а 1а е — м Полагая здесь п1 = еЭЭ н умножая числитель и знаменатель а+О на е ' находим соответствие между точками единичной окружности и оси х, которое устанавливает отображение (7): х — Ь с(п —. (8) а| $ д пРОстеии!Не кОнФОРмные Отоерлжения 139 2) Отображен н е един и ч ного к руга н а е д ин и ч н ы й к р у г. Зададимся точкой круга (г(( 1, переходя- 1 щей в центр круга )ш((1. Точка а'==, симметричная с а а ' относительно единичной окружности, должна переходить в точку ти = оо; следовательно, искомое отображение должно иметь вид а — а и и и=й —,= й| и — и 1 — йа где й и й, — некоторые постоянные. Подберем й| так, чтобы круг в плоскости ю был единичным. Для этого достаточно потребовать, чтобы точка г = 1 перешла в точку единичной окружности.

())! ! — ! Й|1 — 1 Следовательно, можно принять й, = е|", н нашу задачу решает функция а|а (10) и 1 — ая ' где сс — любое действительное число. Так как |Уш 1 и!а ча ]с=а 1 — 1а)т Рис. 54, и )а)< 1, то а геометрически-означает угол поворота отображения (!О) в точке сн а = ~агй' — ] (1 !) Заметим, что растяжение отображения (1О) в точке а (12) стремится к бесконечности, если точка а приближается к границе единичного круга. На рис.

54 указаны линни, соответствующие друг другу при этом отображении. Сетка в плоскости г является частью сетки на рис, 53, Отметим еще соотношение, связывающее аргументы соответствующих точек единичных окружностей г = е'т н ш = е|а (мы считаем для упрощения, что а = 0 и полагаем а =ге'о): 11 + г') соа 1|р — |рс) — 2г и) (13) — — — соя 1|р — |р ) + га ") Лля получения соотношения 113) достаточно подставить в формулу (10) выра|кения для г, ш н а, помножить оое части на е-|Р н отделить действительные части. ГЛ. Н.

КОНФОРМЫЫЕ ОТОВРЛЖГНИЯ 1зз Переходя к более общему случаю, заметим, что если радиус круга в плоскости г равен )т, то функция гс = !(г), Отображающая этот круг на круг ) и) ( 1 при условиях !(а) = О, агд/'(а) = а, имеет вид ,са и (г — а) )(г — аг (14) где а, Ь, с,с( — действительные числа. Наоборот, любая функция (!5) с действительными коэффициентами преобразует ось х в ось и и, следовательно, верхнюю полуплоскость г в одну из полуплоскостей и, верхнюю или нижнюю. Мы получим верхнюю дю полуплоскостгь если потребуем, чтобы производная — на дейс(г ствительной оси была положительной; 1 1 'д — ьс , >О, с)г )2=х (сх + н) откуда ас( — Ьс ) О.

Таким образом, формула (! 5) прн действительных коэффициентах, удовлетворяющих условию ас( — Ьс ) О, дает общий вид линейных отображений верхней полуплоскостн на верхнюю полуплоскость. 33. Примеры. Рассмотрим примеры конформных отображевий, которые осуществляются комбинациями элементарных функций, 1) Отображение полосы на единичный круг. Пусть в плон и скости г задана полоса Ри — — < нег< — которую'требуется конфориио 4 4' и отобразить иа круг (ю! <! с соответствием трех граничных точек: !(ш — ) = 4/ = ш 1, ! ((со) =1 (1се обозначает верхнюю бесконечно удаленную точку полосы). Прежде всего мы повернем на прямой угол и расширим вдвое нашу полосу: а|= 2)г, (1) затем воспользуемся тем, что показательная функция гг е*' (2) Эта формула получается нз формулы (!0) заменой г на г//! и соответственно а на а//с.

3) Отображение верхней пол уплоскости на верхнюю полуппо с кость. Найдем общий вид таких отображений. Всякую дробно-линейную функцию то = !(г), осуществляющую отображение верхней полуплоскости з на верхнюю полуплоскость тп, можно получить из формулы (2), задавая две тройки соответствующих точек г» = х», ш» = и» действительных осей х и и. Так как числа г» и и» действительны, то после преобразования формула (2) прилсет внд аг+ Ь се+а ' 4 э. пиостнишнн конеонмнын отоннлжнлптп !41 —,(1+л) = ю л гэ нли 1 гт — ! Ф= —— г,+1' (3) в (3), получим окончательное решение за- Подставляя выра>кения (2) и (!) лачн 1 Ю=— енг — г =!йг е"г+ ! (см. п. 9).

Выясним еще соответствие линий при этом отображении. Семейство нертикальных прямых )(е г = сопя! при отображении (1) переходит в семейство горизонтальных прямых, которое отображение (2) преобразует в семейство лучей агп ге — — сопя!, т. е. в семейство «окружностей», проходящих )и !3( в 1 в ,Ю( л) Рис. 55, через точки г, = О и г, = сс, Дробно. линейное отображение (3) преобразует эти точки в точни ю = ! и ш = — 1, следовательно, рассматриваемые нами лучи оно переводит в семейство окружностей, проходящих через точки ш = ~!.

Ортогональное семейство отрезков !юг = сопз1 переходит в семейство окружностей, имеющих ш = ~! своими симметричными точками (рнс, 55). Обратная функция 1 1+!г щ= ага!й г= —,. !п —. 2! 1 — ьа н н преобразует полосу — —,(1шгл( — на которую функция (1) отображает (у, 2 2' в правую полуплоскость Ке г, ) О (действительно, г, = еж ° е!"', следовательно, (гт) = е"' меняется от нуля до со, а агй гэ = у1 от — н/2 до н/2). Остается отобразить эту полуплоскость на единичный круг так, чтобы точки гз = л, — 1,0, соответствующие точкам г н/4, — н/4, ~ее, перешли в точки ш = 1, — 1, !. Такая задача решается с помощью формулы (2) предыдущего пункта (мы меняел~ принятые там обозначении): ГЛ. !!. КОЫФОРМНЫЕ ОТОБРАЖГНПЯ (зз 142 реализует обратное отображеаие круга на полосу.

Заменяя здесь (г на г, и (ш на — шь получим отображение круга (г(< ! на полосу ширины Н! и 2Н Н Н вЂ” — ( Ггп м < — —. Опо имеет вид 2 2 Н !+г 2Н ш = — (п — = — аг(й г (5) и ! — г и мы опускаем индексы у г и ш). Отображение (5) переводит точки г = ~ ! . Н в точки ш Ш оо и точку г=! в точку ш=! —. Его производная 2 ' Ыв 2Н ! «Гг от ! — г гл = )д(г — а)'+ Ио. (г,) Сдвигая слпс плоскость г, на отрезок а вправо, чтобы точка г = а -)- ГИ перешла в точку а, получим окончательно ш г~ (г — а)о+ И'+ а. (7) Производная отображения (7) Аа г — а гн:лг» л (8) обращается в пуль в точках В и ГЗ (где г = а) и в бесконечность в точке С (где г = а-)- гй).

Прямым е = со = сопз! соотнетствлют линии четвертого порядка И у=со Г+ (х — а) + е„ (9) симметричные относительно прямой х = а, на которой пх ордннаты достигают своего максимума. Прп больших о, кривые (9) мало отличаются от и я»1ых (рнс. 56). ри И = О отображение (?) обращается в тождественное преобразование ш = ж Найдем главную часть отображения (7) при малых И. Для этого мы преобразуелл формулу (7), пренебрегая степенями И выше второй, Применяя известную приблимсенную формулу для корпя, получим: Ио Ио ш=(г — и)1/ !+»+а=а+, (г — а)» 2 (г — а) обращается в бесконечность н точках г = ." !. 2) Отображение полуплоскости с выброшенным отр е з к о м н а п о л у п л о с к о с т ь.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее