Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 19

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 19 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 19 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 19 - страница

*) Понятие вьшета было введено О. К о ш и в «Мез!уаре об определенных интегралах» (!814); в своих «Упражнениях по математике» !1826 — 1829) он дал также многочисленные приложения этого понятия н анализу. В своих работах Коши указывает, что ои пришел к понятию вычета, развивая идеи Эйлера. 23. Теорема о вычетах. Принцип аргумента, Здесь мы вве- ' дем весьма важное для дальнейших приложений понятие вы- чета*) функции и докажем некоторые связанные с ним тео- ремы общего характера; примеры вычисления вычетов и раз- личные приложения мы рассмотрим ниже (главным образом в гл. т! и Ч!). Вьиегол! функции 1" (г) в изолированной особой точке а (обо- значение гез)(а)) называется число 2 (1) где у — достаточно малая окружность !г — а( = р, проходимая в положительном направлении.

Согласно п. 13 величина вычета- не зависит от величины р для достаточно малых р, Из формул (8) п. 21 для коэффициентов ряда Лорана при и = — 1 непосредственно вытекает, что гез)(а) 2 .~ 1(а)с(а=с т. е. что вычет функции 1(з) и особой точке а равен коэффи- циенту при минус первой степени в лорановском разложении !(г) в окрестности а, Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функ- ции всегда равен нулю.

Нахождение вычета в полюсе порядка п облегчает следующая формула: ,!л- ! геа !" (а) = !пп „, ((г — а)" 1(г)). (3) (л — 1)! »-»а с!з Если при этом в окрестности точки а функция 1'(г) определена как частное двух аналитических в этой точке функции; причем гр(а) Ф О, а ф(г) имеет в а нуль первого порядка (т е, зр(а) = О, а ф'(а) ч~ О), то формулу (4) можно заменить следу!ощей: геа) (а) = 1)гп (г — а) =1ип =, .

(5) «-аа ф ОО «.+а ф (г) ф (а) ф'(а) П р и мер. Мероморфная функции с!я г«имеет полюсы первого порядка в точках г = «1' ш!.'и (а =1, 2, 3, ...), н полюс второго порядка в точне г = 0 (в этом проше всего убедиться. рассматривая нули функции !и «'). Вычет в точке г = 0 по формуле (3) равен 4 — —,«7+ в г Мп 2г' — 2«' 3 Нш — (г'с!я г') = Нш,, = 1нп «.+о Вг «.+ о з'" г «.+ о =О*) (это видно также из того, что лорановское разложение с!и «' с центром в точке г = 0 может содержать лишь четные степени г).

Вычет в точке г = сс У~ lгл по формуле (3), где принято гр = соз г«, ф = мп г«, равен соз г' 1 1 2«соя г' 2г 2У сс йц Применение теории вычетов основывается главным образом на следующей важной теореме о вычетах: Теорем а 1 (О. Коши, 1825 г ). Пусть 4ункция ((г) не прерывно на границе *") С области Т) и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек а!, аг, ... ..., а„, Тогда, если С обходится в положительном направлении, то л ) у(г) Ыг=2И!'~ геа((аа). с Л=! (б) л) Мы заменили числитель и знаменатель первыми членами их тейлоровскнх ьоазложепий в окрестности точки г = О. ' ) Здесь и далее непрерывность 1(г) на границе областа понимается н смысле непрерывности по области, т, е.

в том смысле, что в любой точке г«границы сушествует )нп 1(г) =1(гс), причем г-«г«по точкам г««з области )). Если С имеет кратные точки, например содержит двубережный разрез, то условие можно ослабить, потребовав сушествовання предельных значении у(г) лишь при г — «га г каждой нз сторон разреза (пр!! этом пределы с одной и с другой стороны не обязаны совпадать). хз! а з. ИРадстлвлеииг лиллитг!часких Фхикцин Рядами 33 ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Доказательство вытекает из теоремы Коши для многосвязных областей (п. !3). Заключим каждую точку а» в кружок у«.

)2 — а„~ = р» столь малый, что все такие кружки лежат в области Р и не пересекаются друг с другом (рис. 26). Так как ,г(2) аналитична в области Р', ограниченной кривой С и совокупностью окружностей у», и непрерывна в Р", то по цитированной теореме ! (2) «(2+ «~~ ) ! (2) Т(2 =О, с » ! где все у- проходятся по часовой стрелке.

Меняя направление обхода окружностей у» и пользуясь определением вычета (!), согласно которому ~ г'(2) иг = 2лг' гез !'(а»), мы получаем нужный результат (6). Принципиальная важность теоремы о вычетах заключается в том, что она позволяет свести вычисление величины «в це- лом», какой является интеграл по замк- ;Ф.' ' , нутому контуру конечной величины„ к вычислению величин «в малом», диффе- Г . - р ренциальных величин, какими являются вычеты. Действительно, вычеты вычисг Я,У лаются с помощью интегралов по бес- Л ~»1 конечно малым контурам или даже с по«с««мощью простого предельного перехода (формулы (3), (4) и (5)).

Метод сведения вычисления величин «в целом» к РВС. 26. вычислению дифференциальных величин является обычным в ма Тематическом анализе (сравни вычисление интегралов с помощью первообразных, которые определяются на основании известных производных). Применение теории вычетов посвящена специальная глава Ч. Остановимся еще на понятии логарифмического вычета. Под логарифмическим вычетом аналитической функции )(2) в точке а понимают вычет ее логарифмической производной ()П ((2)) Ясно, что имеет смысл говорить о логарифмических выче- тах не только в особых точках, но и в нулях г(2).

Если точка а гз! а а пгвдстхвлвннв лнллитичвских чгнкцин гидами ат является нулем 1(г) порядка и, то в окрестности этой гочки )(г) =с„(г — а)" + с„.„(г — а) е + ..., с„~ О, следовательно, 1'(г) = пс„ (г — а)" + (и + 1) с„е, (г — а)" + и логарифмическая производная р(г) 1 пс„+(и+ !) сею (г — а)+ 1(г) г и са+слч-В(2 и)+ Здесь второй множитель является функцией, аналитической в точке а, ибо с„ ~ О, следовательно, он разлагается в ряд Тейлора с центром а (свободный член этого ряда равен п) и ( — — — (и+ д,(г — а)+ д, (г — а)'+ ...) = (г) ! = — + да+ д! (г — а) + ... (7) Мы получили лорановское разложение логарифмической производной (1п)(г))' в окрестности точки г = а, нз которого видно, что точка а является ее полюсом первого порядка с вычетом, равным и.

Пусть теперь а является полюсом 1(г) порядка и. Так как функция д(г)= 1(1(г) имеет в точке а нуль порядка п и так как (!п((г))' = — (1пд(г))', то по только что доказанному, для логарифмической производной (1п)(г))' точка а является полюсом первого порядка с вычетом, равным — п. Таким образом, доказана Теорем а 2. В нулях и полюсах функции ((г) ее логарифмическая производная 1'(г)/!"(г) имеет полюсы первого поРядка, причем в нуле функции логарифлтический вычет равен порядку нуля, а в полосе — порядку полюса со знаком минус. Теорема 2 и теорема о вычетах дают возможность применить логарифмические вычеты для подсчета числа нулей и полюсов аналитических функций в заданных областях.

Пусть функция 1(г) аналитична внутри ограниченной области 0 всюду, кроме конечного числа полюсов Ь!, Ьм ..., Ь кратностей, соответственно р!, рм ..., рьь непрерывна на границе С этой области и не обращается на С в О; пусть еще 1'(г) пепрерывяа на С. Тогда функция 1(г) имеет в Р лишь конечное число нулей, ибо в противном случае существовала бы бесконечная последовательность нулей, сходящаяся к внутренней или граничной точке области В, но эта последовательность не может сходиться ни к внутренней точке (по теореме единственности п.

20), ни к граничной точке (потому что ((г) чь О и непрерывна на С). Нули 1(г) в области 0 мы обозначим через гл. ь осповныг. понятия аь аь ..., аь а их кратности — соответственно через пь пт, ... ..., пь ПРименЯЯ к логаРифмической пРоизвоДной 7(г) теоРемУ о вычетах и теорему 2, мы получим: с = (и, + и, + ... + п~) — (р, + р, + ... + р ) = М вЂ” Р, (8) где й7 и Р обозначают соответственно полное число пулей и полюсов этой функции, причем каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок. Выясним геометрический смысл левой части последнего равенства. Имеем: —. ~ д (п1(г) = —.

) д!п(! (г) )+ —, ~ а агй !" (г), (9) где !п и ага обозначают какие-нибудь ветви этих функций, непрерывные вдоль С.. Так как при обходе замкнутого контура С функция!п))(г) ) с возвращается к своему Первоначальному значению, то первый интеграл в правой части (9) равен нулю. С другой стороны, если точка м ю = О лежит внутри контура, описываемого точкой ш = !(г), когда г обходит С, то конечное значение агд((г) может отличаться от начального (рис.

27) и тогда второе слагаемое будет отличным от нуля. Величина — ) д агп 1 (а) = — Лс агн ! (г) ! с Рис. 27 — полное изменение аргумента функции )(а) при обходе С, деленное на 2п,— геометрически представляет собой число оборотов вокруг начала ге = О вектора 1(г) при полном обходе С, или, что то же самое, вектора ге при обходе кривой Г, соответствуюгцей С при отображении ге =1(г) (на рис. 27 зто число равно 1).

Соотношения (8) и (9) выражают так называемый принцип аргумента: Теорема 3. Пусть функция 7(г) аналитична внутри области 0 всюду, кроле конечного числа полюсов, непрерывна на границе С этой области и не обращается на С в нуль; пусть еи1е Т'(г) непрерывна на С. Тогда разность между полным чис- 22! $ К ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ РЯДАМИ 39 лом нулей и полюсов этой функции внутри Р равна числу оборотов вектора !в Тьри обходе кривой Г, соответств)(!ощей С при отображении и = ((г), или, что то же самое, сумме логарифмических вычетов ((г) в области 0: (У вЂ” Р= — 'йсат~~(г)= —.'. ( — 'д .

! ( (2) 2к 2п! 3 р (2) с Дальнейшие результаты, относяшиеся к подсчету числа нулей и полюсов функций, н их важные применения мы изложим в п. 75. Здесь мы приведем лишь одно видоизменение формулы (8), учитываюшее не только число нулей и полюсов, но и их положение. Рассмотрим наряду с функцией ((г), удовлетворяющей условиям принципа аргумента, еше функцию !р(г), аналитическую в 0 и непрерывную в 0. Особыми точками функции д(г)=р(г) могут, очевидно, служить лишь нули и по- (2) люсы ((г), причем в окрестности каждой такой точки с она допускает разложение вида д(г)=(<р(с)+ ...)) -!- + ...

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее