Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 121

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 121 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 121 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 121 - страница

Непосредственным дифференцированием проверяется, что функция (х-ьят!Э вЂ” Ч1' и= — е (37) где А, 9 и т) — постоянные, уловлетворяст уравнению (36). Очевидно, что Прн !-о 0 В ЛЮбОй ТОЧКЕ З = Х+ 1у, ОтЛИЧНОй От Ь = й+ Ий фуНКцИя И вЂ” ой, а в точке ь эта функция -о оо.

Можно поэтому говорить, что (37) физически означает температуру, возникающую в точке г от действия мгвовенного точечного нсточника тепла, помещенного в момент г = 0 в точке ь. Если мембрана закреплена аа концах, то прн г = го, где го — радиус мембраны, должно быть 7 ~ — ) = О, откуда в = в = — аа, где аа — й-й 1 вго ) 1и1 и 1л1 гл! л~ и ) го нуль функции Уо(х). Эйлер замечает также, что существует бесчисленное множество возможных колебаний мембраны. Прн л = 0 функция и не зависит от ф; ГЛ УИ. СПЕЦИАЛЫ!ЫЕ ФУНКЦИИ (ээ 680 Вычислим суммарную температуру, возникающую н точке з от действия мгновенных точечных источников тепла, при ! = О равномерно разме!пенных вдоль окружности ~Д = р.

Мы будем считать, что эффект от источников, размещенных на л!алой дуге рг(О этой окружности, равен эффекту от одного точечного источника. Тогда температура от действия этих источников определится по формуле (ОУ) '): !е — ср г'+Ф-гаг ° э а А с!О 4а'! А г(О !(и = — е — е Ф где мы считаем г = ге ", и = ре ~э~ (рпс, 214). Интегрируя это выраже- на ! !я+Ф! ние по О от — и до и, найдем нсиомую суммарную тел!пературу ~2!!я я яг -и Функнню соаб здесь можно заменить на з)пб, нбо эта замена свох:пся г! лишь к замене переменного О иа Π— —; вместо пределов интегрирован:и 2 ' Зл л 2 ' 2 — —, — можно снова взять — и, и, то не меняет величкяы и!пеграла. Вспоминая тогда интегральное представление бесселя (!1) п.

95 для фупкнпи ге(з), мы получаем выражения для и в виде г!+а! Для выиснения физического смысла константы А подсчитаем суммарное количество тспРне. 214. ла, которое нужно для того, чтобы получить в плоскости а наше распределение теглператур. Если обозначить через с удельную теплоемкость н через о — поверхиостичю плотность вещества, то количество тепла на элементе площади г !(г!(!р будет Щ = санг г)г Иф, а на всей плоскости тя 2лАсп Я=со ~ и!р ) нгдг= — е 2я ! е )е! — ~г!(г.

( 2нт! ) о е Учитывая интеграл Вебера (13) этого пункта (в вем и, а и Ьх в нашем слу- р( 1 чае равны соответственно О, — и — ~, находим: 2ат( 4атт у ' сю г! Ф 1 '()-' ° га*! / рг 1, зам е Уе ~ — ! г г(г = 2ат!е ( 2ат! ) е *) Мы пишем с(и н А Ю вместо и и А, чтобы подчеркнуть, что наши величины относятся лишь к малой дуге р г(О.

99' 63! 9 3. ЦгИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Следовательно, () = 8п'Асин' и выражение для и примет окончательный вид г'~-!я (39) Переходя от плоского теплового поля к пространственному плоско.парзллельночу, можно считать, что формула (39) дает выражение для темперашры, возникающей от действия мгновенных источников тепла, в !!очепт ! = 0 равно!!ерно разнеженных на иекотороч цилиндре (цилиндрический исто !них телла). Прп этом Гг означает сутгт!арапе количество тепла, заключенное в полосе шириной 1 и перпендикулярной к оси цилиндра. 9) Задача на теплопрозодность в круглом цилиндре. Пусть яа поверхности круглого цилиндра радиуса р поддерживается течперат)ра, разная ио совы!.

Найден распределение тетшератур прч услоз!и!, ио начальная температура внутри цилиндра равна вулю. Поскольку задача обладает осевой симметрией, естественно перейти к цплиядрпческвм коордииатач г, гр, з. Но так как здесь я не будет ззвпсеть от з и от гр, то уравнение теплопроводностн примет внд: (40) прнчея иачальнь!мн и краевыми условиями будут я(! 9=0, и(, =посев!а! Задачу будем решать операторным методом. Переходя к преобразованию Л!и!таси по переменной Г, получим операторное уравнение би ! ((г — + — — — — сг = О, г(го г г(г а' которое надо решить при условии Ряо г=о .т.( ! о' Об:цнм решением операторного уравнения согласно формулам (32) п.

9о и (20) п, 96 будет: (! = АУо ( — ! г )+ Вуо ~ — гг) у нас Л= О, а= — !), причем, так как () должно быть ограничевным ( г р а прп г-ьО, то В=О и и=А!,~ — Р.). Подставляя граничное условие, найдем А(,( — р) =... и следова()' а ) р+ы телы!о, операторное решение имеет внд! ,~,9 ) '~ — ')' " Функция сг (р) имеет бесчисленное множество полюсов, из которых два чисто / ааа '(з мнимые: р= -!- йо, а остальные отрицательные: )зл — ( — ) . па — нули р Гл. уп.

специллъные Функции 682 !!ОО ге(х) (а=а!, ...). Согласно первой теореме разложения п. 82 оригинал найдетси как сумма вычетов функпнн СГ(р) ен' во всех ее полюсах, т. е. )г лз О 4 (' г )зг — е ! чк~ ~о( аа) йе )Г-„! 4) ~ г («з) 1е р — е ь=о н(г, !)=не о а +р'ыг где перный член дают полюсы р=Л )м, а сумма относится к полюсач /на )з р = — '( — / .

Если заменить согласно формуле 134) п. 96 (р/ 1е(хе " ) = 1, (х ) ! ) = Ьег х + ! Ье1 х )'е а, и для простоты записи обозначить — = Л, — Р, то последняя формула а ' р перепишется в следующем окончательном виде: й 4. Эллиптические функции В этом параграфе мы рассмотрим свойства эллиптических интегралов и эллиптических функций. С одним эллиптическим интегралом и обраша!ошей его функцией эп мы уже встречались в п.

39, когда рассматривалп задачу о конформном отображении прямоугольника на полуплоскость. Эллиптические функции встречаются во многих задачах динамики твердого тела, аэродинамики, электротехники, теории упругости и др. Эллиптические интегралы изучались еще Лежандром в конце-ХЛ!1! ! столетия, теория эллиптических функций создана, в основном, в Х!Х столетии совместными усилиями крупнейших математиков (Абель, Якоби, Лиувилль, Вейерштрасс), Мы начинаем с изложения общих свойств мероморфных периодических функций, в совокупность которых входит, в частности, и класс эллиптических функций. !00. Периодические функции.

Функция 1(г) называется периодической, если для всех значений г из области своего определения она удовлетворяет функциональному уравнению 1(а+ Т) =1(г), (1) Ьег Лг Ьег Лр + Ье! Л» Ье! Лр О Ьегз Лр + Ье!г Лр Ьег Лг ЬМ ЛР— Ье1 Лг Ьег ЛР 2а кч -азаьг го (гаь) Рь + ь Ьег Лр+ Ье1 Лр р уе(ррз) а рь+ го (42) чоо! 683 5 4 эллиптичес!!ив Функции где Т Ф О вЂ” некоторая постоянная, называемая периодом функции *).

Периодическая функция непременно обладает бесчисленным множеством периодов. Действительно, имеет место Теорема 1 Если Ть Та, ..., Та (й ) 1) являются периодами функции 1(г), то и любая ик линейная кол!бинация с целыми (отрицательно!ми, нулевыми или положительными) коэффициентами Т=п,Т, + паТа+ ... + и Та также является периодом этой функции. В самом деле, для неотрицательных и, утверждение очевидно, ибо многократное прибавление периода к аргументу не изменяет значения функции.

Чтобы доказать его для отрицательных пч, достаточно показать, что наряду с Т, периодом !(г) служит и — Т,. Но, действительно, для любого г, в силу уравнения (1), [ (г — Т,) = )' [(г — Т,) + Т,[ = [(г), а это и означает, что — Т, является периодом 1(г). Во всем дальнейшем изложении мы будем считать функцию 1(г) однозначной и мероморфной — мы особо выделяем условие однозначности, чтобы подчеркнуть, что для многозначных анап>ггических функций излагаемая теория не имеет места.

Ради наглядности формулировок мы будем изображать периоды !'(г) точками плоскости г. Перейдем к выяснению структуры множества периодов. Докажем прежде всего одну лемму. Л е и и а. Множество периодов мера,норфной функции ! (г) чь ~ соп81 не может содержать никакой последовательности, сходящейся к конечной точке плоскости. Действительно, пусть существует последовательность периодов Т„ сходяшаяся к конечной точке Т, и пусть г, — произвольная правильная точка )(г).

Сходяшаяся к нулю последовательность Т, = Т,ч! — Т, по теореме 1 снова будет последовательностью периодов 1(г). Таким образом, для любого е = 1, 2, . ! (го + Тч) = — ! (го). Но последовательность точек г„= г, -)- Т„сходится к го и в точках этой последовательности )(г) принимает одно и то же значение; по теореме единственности отсюда следует, что )(г) = — соп81, а это противоречит условиям теоремы.

Полную характеристику множества периодов дает следующая *) Область определенна периодической функции должна, следовательно, внесте с любой точкой а содержать и точку а+ т, 684 гл.тп. спгцнлльныа «епкции Те о р е м а 2 (А б ел ь). Мероморфная функция /(г) может иметь самое большее два линейно независимых периода. Иными словами, существуют два периода т и т' таких, что любой период Т функции /(г) имеет вид: Т=пт+ п'т', (2) где и и и' — целые числа.

Доказательство разобьем на две части: 1) Пусть на некоторой прямой Е, проходящей через начало, лежит хотя бы один период Т' функции /(г); покажем, что тогда множество всех периодов /(г), лежащих на Е, имеет вид: Т=пт (3) где и = О, -~1, -~2, ... и т — некоторое комплексное число. Действительно, на отрезке ОТ' прямой Ь по лемме может лежать лишь конечное число периодов /(г) (в противном случае на й существовала бы последовательность периодов, сходящаяся к конечной точке). Поэтому на ОТ" существует иапс' Т меньший по модулю период ь ! /(г). Обозначим этот пезпод )( л через т и покажем, что любой =;,т'- т / г~л период /(г), лежащий на 1., имеет вид (3). Предполагая — — — — противное, допустим, что иа Е существует период Т, лежащий между какими-либо двумя точками пт и (и + 1) г.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее