Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 108

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 108 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 108 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 108 - страница

*') Постояииая Эйлера С встречается и в других вопросах. Полученное бесконечное произведение сходится для всех конечных г, для г ча — )г (й = 1, 2, 3, ...) это следует из доказанной стодимости ряда (9) и теоремы п. 72, а для г = — й непосредственно видно, что опо сходится к нулю, Перечислим основные свойства гамма-функции, которые мы получилп при ее определении: !) Г(г) аналити !на всюду, кроме целочисленных отрицательнык точек и точки г = О. 2) Г(г) удовлетворяет функционально ну уравнению 593 881 % Е ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 4) Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вы- ( 1)л чет Г(г) в полюсе г = — и равен, (и = О, 1, 2, ...). Из сходимости произведения (12) заключаем: 5) Функция — целая, следовательно, гал1ма-функция 1 Г (а) не обращается в нуль.

Свойства 3) — 5) выясняют общий характер графика функции Г(х) действительного аргумента х. Этот график изображен на рис. 192*) пунктиром на том же рисунке изображен график — На рис. 193 приведен также рельеф гамма-функции, т. е. 1 Г (х) поверхность с уравнением и = )Г(г) !. Ярко выраженные пики над точками г=О, — 1, — 2, ... соответствуют полюсам, Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля п равного аргумента, цифровые отлтетки на пих указы- вают значения модуля и аргумента (последние — в градусах).

Приведем еще несколько свойств гамма-функции. Наряду с соотношением (13) во многих вопросах полезно еще второе функциональное уравнение для гамма-функции; 6) Для всех кохтплексных г Рис. 192. Г(г) Г(1 — г)= и, (16) (при г = и, п = О, +-1, -1-2, ..., обе части равенства обращаются в бесконечность), ") Л(аксиз1ут1ы п минимумы Г(х) лля отрицательных х приближаются к нул1о прн х-и — оо, это связано с теы, что по свойству 4) вычет, т е. козффиппент при главной части разложения Г(х) в окрестности точки л = — и, сильно убывает с ростом и.

Г (х) = + са + с, (х + и) + ( — 1)" 1 и! х+и Гл. Уп. специлльные Функции Для вывода этого соотношения подставим сначала Г(г+ 1) = гГ(г) в формулу (12), получим: г =г ц г' П'1 +~)е е=! (17) затем заменим в той же формуле (12) г на — г: О =е с*Д(1 г)еМ А=! Перемножив полученные произведения (это законно в силу их абсолютной сходимости, см. п. 72), найдем: ! ТТ( г(е)г(! — Е1 ай'! а!)' Ф=, ' Рис. !93. Отметим некоторые следствия полученных формул. Полагая г = 1/2 в формуле (16), находим Г'~ д) =и, откуда з! ! ! г~-,') =17.. Остается воспользоваться разложением з1п иг в бесконечное произведение (см.

п. 72), и мы получим искомую формулу (16). вз! !. ГАММА-ФУНКЦНЯ ЭИЛЕРА 595 Применив теперь формулу (14), в которой положено г= — 1/2. найдем: ! ° 3 ° 5 ... (2н — 1) . г — (2п)! 1' й 2" гп= 4" 1 . (!8) Г( + 2) ( ) ! 3 2 — 1 )/ ( ) 12 / ' (1й) Остановимся на интегральных представлениях гамма-функции, которые также использовались в предыдунтнх главах. 7)Для всех г из правой полуплоскосги Г (г) = ) е У ! с/1, о (20) где интегрирование производится по !!оложигельной полуоси ! (Э йл ер).

Для доказательства прежде всего заметим, что интеграл (20) сходится для всех г, для которых х = Гхег ) О. В самом деле, ~е 1* ~)=е " ' " =е !", и мы видим, что при /- со сходимость интеграла (для любого х) обеспечивается множителем е-', а прн !- 0 подынтегральная функция имеет порядок !", так что для х) 0 интеграл будет сходиться. Далее, рассмотрим еще функцию /„(г) = ~ (1 — — ) !* 'д/; ч вводя здесь новое переменное интегрирования т = //и и при- меняя затем формулу интегрирования по частям, находим: /А (г) = и* ~ (1 — т)" т'-' дт = — и ~ (1 — т)" т' сИ г Полагая в (16) г=а+ —, будем имет!и 1 г(+ )г( + ) —, — ( !)" Мп н+ — и 2 откуда по (18) получим формулу, которой мы уже пользовались в п.

88: гл: ун. спенинльные Функ!сии (зе — — Г (г) пп )и (г) сгЦ((+ ) е-! С та С другой стороны, так как (1 — — ) - е-' при и-ь со, то естеи ственно ожидать, что и !Ип („(г)= !ип ~ (! — — ) !' 'с((= ~ е "т~ 'с!( (2Ц а-+г и г е н тогда формула (20) будет доказана. Для доказательства последнего соотношения мы воспользуемся неравенством е) С та сг 0 ( е-с — (1 — — ) ( — при 0 < ( ( и.

(22) и) 2и ") Непосредственным днфферевпироваввем по ! проверяется формула с ! — е ~! — — ) =) е (! — — ) — с(т, и) 3 1 а) а о сг е — с(т = е' —; с и 2и' е причем интеграл в правой части заключен между О н отсюда н вытекает неравенство (22), (проинтегрированная часть исчезает). Повторив этот прием. до тех пор, пока не исчезнет асножитель (1 — т), получим: ! г иги! тг+н-! с(т— а (а+!) ... (а+ и — !) е и'и! Е- сна а (в+ !) ...

(е+ п — !) (а+ и) П(' -'1 А=! Угтсивжнх! ЧПСЧитСЛЬ Н ЗиаЫЕНатЕтсЬ ПОЛУЧЕННОГО ВЫРажЕНИЯ На а мс н е '=' =Це а, тогда найдем; а=! !па- ~ г„ (г) = П('+-') "' е=! Перейдем теперь к пределу прн и — оо; на основании формул (11), (12) и (13) получим: ! Г Э ' Ь ' ГАММА.ФУНКННЯ ЭЙЛЕРА Оценим. разность между предполагаемым пределом и 1 (г): Л= ~ ~е-.! — (1 — — ) 1!' 'А(!+ ~ е '!' 'А(й Ц силу сходимости интеграла (20) для любого фиксированного е ) 0 найдется такой ноъ!ер ао, что при л ) пе ы ~е '1' 'й (~е 'Г" 'е(!< —,. л л (23) Фиксируем этот номер ло и для любого и ) ло представим Л в виде Л=~[е- — (1-Я"11-' (1+ о л + ) '(е-' — (1 — — ) 1! Ж+ ) е 1 о(!.

~ <Я""(1, откуда видно, что при достаточно больших п (и фиксированном л,) это первое слагаемое по модул!о не превосходит —. е 3' Для второго слагаемого имеем: л л л < ~ ~е-' — (1 — — ) !) !" ' г(( < ~ е '1" '!(1 <— лр л~ л, (мы отбросили вычитаемое и увеличили интервал интегрирования, а затем воспользовались неравенством (23) ). Модуль е третьего слагаемого при любом п)~ ае не превосходит — и, 3 следовательно, (Л!< е. Соотношение (21) доказано, а значит, доказана и формула (20).

Из интегрального представления Эйлера (20) вышел) были получены следующие «) См. п. 24 формулы (!2) и (!5). 'Для оценки первого слагаемого воспользуемся неравенством (22); получим: гл. нн. специальные еюткции 8) интегральные представления гамма-функции во всей плоскости (Хан кель): Г(г) =,.„, 1 е-С1'-'ж~, с — = —.и! е~ Ий. ! С-а Г(к) 2и( 3 с' (24) (25) Здесь С и С" — контуры, указанные на рис. 165 и 166.

Формула (24) представляет мероморфную функцию Г(г), как отношение двух целых функций (ср. п. 72); формула (25) прсд! ставляет целую функцию —, Г(к) ' 9) В заключение приведем полученную нами в п. 77 асимптотическую формулу для гамма-функции (Стирлинг): для больших положительнглх х Г (х + 1) = )I 2пх ( — ) ~ 1 + О ( — ) ~. (26) (интеграл (1) в наших предположениях, очевидно, сходится). Для вычисления интеграла (1) мы воспользуемся операционным методом.

Рассмотрим несколько более общий интеграл ~ *-'(( — т) 'дт=((* '*( '), в который является сверткой функций (* и г (см. п. 81) и при ( = 1 дает В(г, те). По теореме умножения (п. 81) изображением этой свертки является произведение изображений Р-' и ( -', т.

е. по формуле (6) п. 83 и 1) . Г(г) Г(м) Г(к) Г(м) ре ри ре+и ") Введен Л, Эйлером в статье, опубликованной в «Коммвнтариик Петербургской Ака темин наук», ) 772 г. 90. Примеры. Дополнения. В качестве первого применения гамма-функции мы приведем вычисление так называемого эйлерова интеграла первого рода "), или бета-функции, которая для Гсег ) О, !(е те ) О определяется соотношением 1 В(г, те) = ) т*-'(1 — т)" ' дт 991 4 !. ГАммА.Функция эйлерл й99 С другой стороны, так как Г(г)Г(ю) — постоянная, то оригинал правой части можно найти по той же формуле (6) п. 83: ГООГ( ) =Г()Г( ) /! Г (х+ 99) По теореме единственности изображений получаем, следовательно, ( а-! н — !) Г (х) Г (ю) ч+и-! Г (х+ !9) Полагая здесь / = 1, получаем искомое выражение В(г, го) через гамма-функцию: В(~,~)= „ (2) Между прочим, заметим, что формула (2) дает аналитическое продолжение бета-функции, определенной интегралом (1) лишь для )сел ) О, Гсего ) О, на всю комплексную плоскость значений г и га.

К зйлеровым интегралам сводятся различные, часто астречаюп!неся в анализе интегралы. Приведем несколько промеров: 1) Интеграл ! (1 — х)р(1+х)чих (р) — 1, ч.ь О подстановной х = 2! — 1 приводится к виду 29+99! В(р+ 1, 4+1) и по формуле (2) он равен; \ х)Р (1+ )ч кх 2Р+ч+! 1 (р+ О 1 (9+ 1) (3) Г (р+ 9+ 2) -! 2) Интеграл ха '(1 — х'")ч о (р, д, пг)9) о подстановкой х = ! приводится к — В ! — , 4). Следовательно, по форП3 1 /р лг (!и! ' муле (42) он равен хн-!(1-хю)9 'Нх= — ' (4)" ГЛ.

ЧН. СПЕИИЛЛЫгын ФУНКИИИ (ва 3) Интеграл л/3 э)п ф соз ф оф о подстановкой з!пф=х приводитсд к интегралу, вычисленному в примере 2) з!и' 'фсоз' 'файф= к"-'(1 — х')' г)х= — . (6) ,+- '(М" ® ~!6 файф — — Г( )Г~ ). о Но по второму функциональному уравнению для гамма-функции (формула (16) п. 89) Г( 2 )Г( — 2 — )=Г( 2 )Г'(! — 2 )= —, т. е. соз 2 лгз е !ь ф "ф= 2 соэ— 2 (6) 1 5) К гамма.функции сводится после подстановки !и — = ! интеграл х ! 1п" — г)х = ( е !а И! = Г (р+!). х 6) К эйлеровым интегралам сводятся также полные эллиптические инте- 1 аралы при значении модулей я = й'= = (см. и.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее