Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 106

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 106 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 106 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 106 - страница

сноску на стр. 578 — 579. $2. ПРИЛОЖЕНИЯ о точке р = О, умноженному на Л1, т. е. равно пг, и мы получим: > р'а где интеграл понимается в смысле главного значения. Подставляя ( — ) г а ра>п— г =е =сон(о>п — ~+> з>о~о>п — ~ и г/ г> пользуясь четностью и нечет- функций, найдем окончательно: мастью соответствуюгдих подынтегральных ив ив Г .

! а 1 сь впр в>о и = — + — ~ 21п '(о 1и — ! — —, 2 и,) >> г г' с»аа а о (21) 3) Преобразование Ханкеля. По аналогии с (1) можно написать двумерное преобразование Фурье Перейдем здесь к полярным координатам, положив х=гсоз ф, ,у = г з(п ф и о = р соз О, т = р з(п 0; будем иметь: а>р, в»= — ° р.) г>, в>.-п - — рв ~ 1 Г о о а(г, ф)= — ~ р>(р ~ а(р.

0)е>го-' о>с(0. Г 2п,) о о (22> Положим, в частности, д(г, ф)=е->под(г), где л — целое число, и заменим в первой формуле (22) ф — 0= — +й пользуясь известным свойством интеграла от периодической функции, получим тогда: в 2п сг(р 0) з '"к +'г' ~ й(г)г,(г ~ аг>гав>пг-аг>г(1 Р 2„ о о вв 2л 3 1 1 Д(х, Д)=2 й (Х, у) Е >>ах+та> ОР>С (р ав сг (,у т) е>(ах+та> Дг г>т ГЛ. НЬ ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !ав 552 По формуле (15) п.

70 внутренний интеграл равен 2ПХ„(гр), где Մ— цилиндрическая функция первого рода порядка и. ы (в+ — ") Поэтому, полагая 0(р, 8) е ' '~ = 6„(р), мы можем переписать последнюю формулу в виде 6„(р) = ) а (г) 1„(гр) г агг. о (28) В новых обозначениях вторая формула (22) принимает вид зи у(г)= — '~ 0 (р)рдр~ е'~"(' ' з1'"'"'" ")д8 после подстановки 8 — ~р = ! — — внутренний интеграл снова 2 приводится к формуле (15) и.

70, н мы получаем: ч а (г) = ~ 0„(р) 1„(гр) р г(р. о (24) д' (г) =.' ~ — „1„(гр) г г(г = гд (г) 1„(гр) ~ — ~ д (г) — (гУ„(гр)] г(г о о (мы воспользовались формулой интегрирования по частям). Предполагая, что внеинтегральный член равен 0 и пользуясь формулой (22) и. 95, по которой 1',(гр) =1„, (гр) — —.1„(гр), мы *) Для применимости формул обращения Ханкеля достаточно, например, чтобы функция д(г) была кусочно-непрерывной и имела ограниченное изменение на всяком конечном отрезке полуоси г ) 0 и чтобы натеграл Ю е (г) )гг ог абсолютно сходился (см., например, В а т с о н 17) из литерао туры к гл. тг!!, стр.

502 — 5!О). Формулы (23) и (24) называются формулами обраи(ения Ханкеля порядка и (или иначе — формулами Фурье — Бесселя) ). Выясним вид формул для изображения производных при рассматриваемых преобразованиях. По определению преобразования Ханкеля порядка п з а пРилОжения найдем: и — (гУ„(гр)! = У„(гр) + ргУ„'(гр) = — (и — 1) У„(гр) + ргУ„, (гр) ОО д'(г) =.'(и — 1) ~ д(г) У„(гр) дг — р ~ д(г) У„~ (гр) г с(г. о о Интеграл во втором члене равен изображению Ханкеля порядка и — 1 функции д(г), которое мы обозначим б„,(р).

Интеграл в первом члене равен изображению порядка и функции хг(г)/г, но нам удобнее выразить его через изображения самой функции. Для этого воспользуемся рекуррентной формулой (23) и. 95, по которой — ", = Р (У„,(гр)+ У„+,(гр)), н найдем окончательную формулу й" (г) =.' — р ~" — +,„' С'. (и) — — ",„' О.+1(р)1 (25) Полученная формула достаточно сложна; еще более сложный нид имеют формулы для изображения д" (г) и старших производных.

Не выписывая этих формул, найдем изображение некоторой комбинации функций д, д' и а". Предполагая, что гд'(г)У„(гр) (, =О, интегрируя по частям, получим; М вЂ” „, У„(гр)г дг = — ) — „— (гУ„(гр)1й, и йд нд и о о следовательно, ОО 12,'й. (яг" + г яг) а = — р ~! — гУ;(гр) дг = р ~! д(г) — „(гУ,'(грийг о 0 (мы еще раз проинтегрировали по частям и воспользовались тем, что гд(г) У„' (гр) ~, =0).

Но согласно уравнению (1) и. 95, которому удовлетворяет функция У„(гр), имеем: р — „", (гУ;(гр)) = — (р — —,",') У. (гр). следовательно, последнюю формулу можно переписать в виде — + — — „— —, хг ! У„(тр) т г(г = — р ) и (г) У„(тр) г. с(т. "). 7 дтя 1 де из а о о Таким образом, если гя'(г) У„(тр) (, = гд(г) У„' (г р) (," = О, то дм (г ) + — д' (г) — —, д (т) =.' — рост„(р). (2бг В частности, для преобразования Ханкеля нулевого порядка имеем: ьм (.)+ Ег(г) ° ртт*( ) (27) где а(р) = ао(р).

(28) Комбинация производных, участвующая в левой части формулы (27), встречается а выражении оператора Лапласа в цилиндрических или полярных координатах. Поэтотлу преобразование Ханкеля и применяется главным образом в задачах, содержащих такое выражение. В качестве примера рассмотрим классическую задачу о потенциале поля, созданного наэлектризованным плоским диском (Вебер). Задача сводится к интегрировавию уравнения Лапласа дти ! ди д'и — + — — + — =О, дт" т дт дк' где а — координата вдоль оси, перпендикулярной дисиу, при граничных условиях и) о — — ио для 0~(т(1, 1 ди ~ — =0 при т) ! да Ь=о (30) (и, — постоянная, второе условие выражает симметршо поля плоскости а = О). Воспользуемся преобразованием Ханксля тлевого порядка.

уравнение на основании формулы (27) записывается в виде относите.тьчо Операторное дЧ7 — рт(7+ — = О, дат где (7 — иэображение функция и, а его общее рещение — в виде (Г = А (р) е о« + В (р) еоа. В силу сямметрия достаточно рассмотреть поле при и ) 0; так кач чри а — ~ +со потенциал должен стремиться к нул!о, то В = 0 и по формуле ба( ГЛ. Ч!. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !аз.

4 з. понложгния 38] обращения Ханкеля (24) и (г, а) = ) А (р) е 1 Уо (гр) р Нр. о Граничные условия записываются в виде А(р)/о(гр) рс(р =ио лля 0(г(1, о Л (р) Уо(гр) роп1р = 0 для г>1. о Сравнивая их с нзвестшами соотношениями*) 51п9 и го (гр) — с(р= — лля 0<г<1, 2 о Хо (гР) Мп Р о(Р = 0 дла г> 1 мы видим, что обоим этим условиям удовлетворяет функция 2ио 81п р Л (р) = — —. я р Учитывая единственность решения задачи (она ясна из физических сообра- окепий), мь1 получаем окончательно: и (г, а) = — ) е а'Уо(гР) — 1(Р. 2ио ( ре 81п р н р о 4) Обращение одного контурного интеграла. З заключение приведем пример формулы обращения несколько иного типа. Такого рода формулы применяются при решении дифференциальных уравнений посредством контурных интегралов. Пусть функция д(г) аналитична в односвязной области О, содержащей начало координат, и )( ) 1 ~ 1'~л(0~К (32) с где С вЂ” граница области а), М вЂ” положительное число и 1.Н и — однозначная в области 0 с разрезом вдоль пути у, (ь — а) ') См.

формулы (9) и (!О) и. 99. 586 Гл. Е!, ОпеРАционныи метод и его пРилОжения яа соединяюшего точки 0 и г, ветвь аналитической функции. Тогда л(г) вполне определяется формулой ! а(г) =) (1 — Ь)" '1'(гЬ) (Ь. О (33) Так как интеграл в й-и члене формулы (34) равен этому вычету, умноженному на — 2Ы, то в разложении ((г) = ~ Ь„гь мы имеем; Г (А! + А + ! ) ЬА+! = Г(А+э)г(А! сь (а=О, 1, 2....). (35) С другой стороны, интеграл в правой части формулы (33) равен Ю 1 )~~(я+1)Ь„+,г ~ Ь (1 — Ь) (Ь= А=:3 0 1 Ь г , г(А+ Ог(А!) ~~ Ь г(А+э)г(АО (~+')ЬА+!г г(А!+А+О ~ЬА+' г(А!+А+О г'= А=О А=О = ~~~~ сьгь =у(г) (для вычисления интеграла — так называемой бета-функции Эйлера — мы воспользовались формулон (2) п. 90 и по формуле (35) заменили ЬА+~ через сА).

Таким образом, формула (33) доказана, в принятом выше дополнительном предположении. Чтобы доказать ее для всех г из области 1), достаточно воспользоваться аналитическим продолжением. Для доказательства предположим сначала, что точка г при- О надлежит кругу сходимости разложения Тейлора л(г) = ~ сьг", ь=а и деформируем контур С в контур с, также принадлежашии этому кругу и охватываюший разрез у. Подставляя это разложение в формулу (32) и интегрируя его почленно, мы найдем: ~(.) =~ — ", ~,',""",,'.

А=Я С Вычет подынтегральной функции в точке ь = Оо находится из разложения функции ьА~1 ††) и равен й) ч(А(+ В ... (и+А) ~,+! г(А+а+!),„+, (А + !)! Г (» + 2) Г (А!) ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ У! 587 Формулы обращения (32) — (33) были получены Макки «) и использованы им для решения уравнения Эйлера — Пуассона, которое находит важные применения в газовой динамике.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее