Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 105

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 105 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 105 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 105 - страница

Это объяс- няется тем, что формулы (5) †(6) аналогичны формулам раз- ложения функции д(!) в ряд Фурье: г д (!) ~ О еглч! Г,' д (!) е- !ча! с(! >" и о (Т вЂ” период функции д(!); ср. формулы (20) — (21) п. 70), В самом деле, формулу (5) можно рассматривать как разложе- ние функции йг(!) в непрерывный спектр простых гармоническим колебаний >х(о)е>о>, частоты которых меняются не скачками, как в случае рядов Фурье, а сплошным образом. Функцию б(о), определяемую формулой (6), можно рассматривать кан аналог коэффициентов Фурье с>„т.

е. как комплексную ампли- туду колебания с частотой о. Величина (6(о) ) показывает, ка- кова доля этого колебания в спектре колебания д(1), поэтому функцию (>(о) называют спект(>а,тьмой функцией, На основании сказанного легко понять, что применение пре- образования Фурье во многом аналогично применению преоб- разования Лапласа. В качестве примерз рзссмотрпч в общих чертах задачу о безвихревых дви>ксянях идеальной неожи»земой жидкости, происходящих под действием силы тяжести. Для простоты огрвнпчнмся случаем плоских волн в жидкости бесконечной глубины, 1!зпрзвич ась х горизонтально и перпендикулярно гребням волн, а ось у — вертвкальпо вверх и предположим, что равновесное положение свободной поверхности жидкости совпадает с плоскостью у = О, з тзк>ке, что в начальный момент свободизя поверхность занимает рзвио.

весное поло>кение. Квк известно из гидродинзтп>ки **), потенциал и = п(х, у, !) скорости движения жилкостн в этой задаче уловлетворяет урзвнеюпо Лапласа Дзи д'и —. + — = О дхк дут (7) и слсдуюпшч грзничныч и пячзльпыч условиям: дк 1 Д'и — — — — при у=о, (8) ду у д!2 и=>р(х), — О при у О н (=О ди д! (9) ') Заметим, что в теории преобразования Фурье обычно не предполвгвют, что у(!) равна нулю длн отрицательных 1 н поэтому в формуле (6) нижним пределом интеграла берут — сч, а не нуль.

В теории преобрззоввння Лапласа иногда также отказываются от этого предположении и тогда приводят к тзп яззывземому двухстороннему преобразованию Лапласа (см., нэпример, В а н дер Поль и Бремер. Операционное исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1968). *') См., например, К о ч и н, К н б е д ь и Р о з е, Теоретическая гндромехаянкз, Гостехиздэт, !948, т. 1, стр. 399. $2. ПРИЛОЖГНИЯ 677 (второе условие (9) определяется нашим предположением, что при 1 = 0 свободвая поверхность занимает положение у = 0). Введем изображение по Фурье потенциала скоростей ") ЕУ (о, у, () = ~ и (х, у, 1) е 'о" дх; )' 2м дл тогда, в предположении что —. и и стремятся к нулю при (х(-»со, мы дх д'н получим, что изображением —.

служит — оэ(У ч"], и следовательно, вместо дх (8) получим уравнение ддт(7 — — и=о. дуэ решение этого уравнения, стремяшееся к нулю при у-» — еа, имеет вяд и =- С (о, Г) э( о1у, (10) где с(о, г) = (7(э=е с другой стороны, умножая уравнение (8) на ! = с-гох и интегрируя по х от — со до +со, мы получим: )72 —,, ' 1 д'С )о)С= —— у дН' откуда с (о, 1) = с1 (о) ег т я1е1 г + сэ (о) е г1 "1о' г. Но при у = 0 и ( = 0 лбы имеем: д(г дс г1 к(о)(с~(о)сэ(о)) дГ дт и поэтому на осцонании второго условия (9) получаем. что сг(о) = сз(о) = =с(о).

Но тогда на основании первого условия (9) при у = 0 и Г =- 0 мы будем иметь: У = С (а, О) = 2с (о) = Ф (о), где Ф(о) — иэображение по Фурье функцин гр(х). Таким образом, из (11) мы получаем, что С =Ф(о) соэ Уу ! о ~1, и по (10) окончательно находим изображение решения (7=-Ф(о) соэ)' у)о~ (е1 *) См. сноску *) на стр. 676. **) В самом деле, интегрируя по частям, мы найдем, что в пашем предположении изображение первой производной имеет вид ( дгз - гсх 1 гак) = — е с(х= ие ~ + ~ ие дх= (о(7, уо )' 2 )'2Л ~ )'2л аналогично вторая производная — вид (го) э(7. 578 гл. и!.

операционным метод н его ппиложення !за чтобы найти само решение, достаточно воспользоваться формулой обращения Фурье (5) и (х, у. !) = = Ф (о) сов 'ггд 1 о 1 Ге! ! з+ 'ех по. Узп (12) В общем случае вычисление этого интеграла затруднительно. Предположим для упрощения, что ф(х) = Аб(х), где 6 — импульсная функция (физически это означает, что волны возникают под действием импульса, приложенного в начале координат). Тогда по свойствам интеграла от импульсной 1 функции мы находим, что Ф(а) = — А и из формулы (12) получаем )г 2п при у=о: ьь ьэ и (х, О, !) = — а! соз Уд 1 о 1 !е ох с(о = — а! соз 1' од ! соз ох нп 2п и (мы отделили действительную часть и воспользовались четностью соз ох).

После некоторых преобразований (мы на них не останавлинаемся) этот интеграл выражается через интегралы Френеля (см. п, 73 пример 6) в (х, О, !) = — ~~ — (соз тС (с) + и!и тб (т)); А Г2с (13) х)' и дгг здесь т = —. 4х 2) Преобразование Мелл и на. Заменим в формулах двухстороннего преобразования Лапласа* ) (1) н (2) переменные р на — р и ! на т = е'! эти формулы примут вид з+! Г ( — р) = ~ ! (1п т) ея !от — 1 (!п т) — ~ г ( — р) е Р !» т с(р дт 1 т ' 2ги о з-! ~ Если еще положить ((1пт) = д(т) и Р( — р) = сг(р), то мы придем к так называемым формулам обращения Меллина*з): О $+ !00 П(р)=~ а(!)1' 'б!! 0(р) й б(!) = —.

! 2л! (14) (мы снова пишем ! вместо т). *) Двухстороннее преобразование Лапласа отличается от обычного тем, что в формуле (1) интегрирование ведется от — со до оо, а ие от О до ео; сч. сноску на стр. 576. "') Для применимости этих формул достаточна аналитичность 6(р) в полосе з~ ( з ~ зь абсолютная сходимость интеграла ) 0(з+ (о) пп ьэ для всех з из этой полосы к равномервая сходимость б(з+!а) к нулю при (о)- оь в любой более узкой полосе з~ — 6 (з ( за+6, 6) О; прямая интегрирования во второй формуле должна принадлежать этой полосе (см., ез) й 2. ПРИЛОЖЕНИЯ (17) например, К ур а и т н Гил ьбер т [2[ нз литературы к гл.

ЧИ, т. 1, стр. 95). Можно формулнронать условия применимости и в терминах функции п(Г): достаточна потребовать, чтобы зта функция была кусочно-непрерывной и имела ограниченное изменение на каждом отрезке полуоси Г ) О и существовали бы две постоянные зг и зз, зг < зм тание, что интегралы Е (Г) Г ' ' ч) и ~ я (Г) Г * г)Г абсолютно сходятся; прямая интегриро. о ванна во второй фориуле также должна принадлежать полосе зг < з < зз (см., например, Т н т ч и а р ш [9), стр. 65). Иногда комбинируют зги типы условий н выбирают, например, з, из условия сходимости первого из написанных выше интегралов, а зг — как абсциссу ближайшей справа к прямой з = зг особой точки функции 0(р).

') Доказательство получается сразу интегрированием по частям иь а (бее ~ а'(() ( 'г(г=я(г) г '~ — (р — ц ~ и(цг ш = о о о =-(р- ц а(р- ц. Элементарно доказывается, что преобразование Меллииа обладает рядом свойств, аналогичных свойствам преобразования Лапласа, например: д (и[) ы — р, 1 д([) =.' а(р+ а), (18) 1([)йФ-.' ) р(9)а(р-Ф [[ и др. Особо отметим теорему об изображении производной: если предел д([)гр-г при Ф вЂ” 0 и г'- +оо равен нулю, тое) д ([)=.-(р — ца(р- ц; (16) повторно применяя эту теорему, получим формулу для изображения старших производных. Простые изображения имеют произведения [ьйг(ь)(1); интегрированием по частям мы получаем: если д([) [~ ~,„о = О, то гд'(г) и — ра (р); если, кроме того, д'([)г~ [о =О, то гада(У) =.а(р+ Ц ра(р) (18) и т.

д, Последнее свойство можно использовать для решения дифференциальньгх уравнений, содержащих члены вида г'— о г(зх н)з ' В качестве примера применения преобразования Меллина рассмотрим задачу о стационарном тепловом поле в секторе [ага г[ = а, на сторонах которого в точках, где [х[ < а, поддерживается постоянная температура иь 580 ГЛ. Ут. ОПЕРЛЦИОННЫН МЕТОЦ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !ва а в точках, где )а)) о,— температура, равная нулю. Задача сводится к решению уравнення д'н дп д'ц ггЛн = гг — + г — + — = О, ( 1.9) дгг дг. д,„г где Ь вЂ” оператор Лапласа в полярных координатах г, аг, при граничных условиях ~ иа прн г(а (20) ,,„- (, Совершим преобразованне Меллнна по переменной г; на основании формул (!8) и (17) мы получаем, что уравнение (19) переходит в обыкновенное дифференциальное уравненне дги р и+ —., -о, дгрг общее решение которого имеет внд и = А (р) соз ргр + В (р) з! и !Рр.

Грани шые условия (20) после перехода к изображениям дадут; Р и( =до ~ цзг г(с=на —, р ! а о следовательно, мы должны иметь: оа А (р) соз ра .~ В (р) з!п ра = из —. Р ар Отсюда находим А (р) = и, , В (р) = 0 и получаем изображение рерсоз ра ' щения ор соз ргр и=ц, р соз ра Само решение найдем по формуле обращения Меллипа Подынтегральная функпня аналитична в полосе 0 ( Ве р < 1, нбо блии жайшай к Р=О полюс подынтегральной функции лежит в точке р= — >1, 2а ц если а< —, что мы н предположим.

Следовательно, в последней формула 2' в качестве з можно взять любое число, 0 ( з ( 1 *). Перейдя к пределу ири з-г0, мы можем брать интеграл но мнимой оси плоскости р с обходом то гкп р = 0 по малой полуокружности против часовой стрелки. При этом обходе приращение интеграла будет равно вычету подынтегральной функции *) Относительно выбора з см.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее