Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 59

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 59 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 59 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 59 - страница

(10) П р е д л о ж е н н е 24.5. 1. При выполнении услоеий ( 10) сущест- вует решение урслнения (9) а(1) тсксе, что 0< а~и/2 и сущест- вуют пределы 1!ш а(Г)=0, 1пп ов(1)=н/2. Такое решение су- С вЂ” со +оэ ществует также в симметрическом случае, когда п=т, й,=кв. Перепишем уравнение (9) в виде сад = Р(1, а, а). Тогда сущест- вует некоторая постоянная Св такая, что ~Р! ~Св(!+~а!) н Р(Г, О, 0) Р(Г, п)2, 0)=0.

Можно проверить (см. [106]), что Е46 ЕА»иАциоиные методы В топологических ВАдАчАх !Гл. ь в этом случае для любого положительного Т существует решение аг уравнения (9), удовлетворяющее следующим условиям: аг( — Т) =О, аг(Т) =и/2, (11) О» аг(!)(и/2 и !иг!ч=С на ( — Т, +Т), где постоянная С зависит только от С». Рассмотрим некоторую последовательность Т„-+ОО при и-» ОО. Поскольку члены соответствующей последовательности аг„РавномеРно огРаничены вместе со своими пРоизводными до третьего порядка включительно, существует подпоследовательность а», которая в равномерной топологии С'(Р) сходится к решению а»(!) уравнения (9), определенному на всей прямой Р и удовлетворяющему неравенствам О~а»(!)~и/2.

Докажем, что решение аэ(!) нетривиально, т. е. не равно тождественно нулю или и/2. Допустим, что а,(!) за О. Перепишем уравнение (9) в виде а (!) = й (!) а (!) — а (!) з )п а (!) соз а (!). (12) Решения агни (!) равномерно на каждом отрезке сходятся к нулю. 6 силу условий теоремы 4Ц > (и» вЂ” 1)', кроме того 1!т д(!) = Х„ с-» отсюда следует существование таких чисел 1, 0 и й», что ~ () ,»$па(!)со»а(0 ) ! ! !(т — !)» ) ! На некотором отрезке 1!», !»1 для а=а» при й) й» это неравенство выполнено, Выберем теперь число Ц, исходя из следующих двух условий: (А) ! — Ц ~ ~ — )- 4 — Х,~, что означает, что на отрезке 18», !»1 выполнено неравенство Ц(й'(!) з!па(!) соза(!) (а(!))-». (Б) 4Ц)(т — 1)* и Ц настолько близко к 4, что период уравнения !) =(л — 1) р — Ц() меньше (,— !», т, е.

решение этого уравнения имеет на отрезке [г„ !»! хотя бы один корень. Пусть р(!) — решение уравнения р = (т — 1))1 — Ц!), удовлетворяющее начальным условиям 5 (!») = а(!») ) О, () (!») = а (!») Рассмотрим функцию в=ар — ар, Для этой функции имеем в(!»)=О, а(!»)(О, поскольку !»((т — 1). До тех пор, пока выполняются два неравенства: е ~ О, т.

е. — ( — ) и р- О, будет а з1 выполнено неравенство й(0. Первое неравенство не может на. рушиться раньше второго, а р имеет иа отрезке 11„!»1 корин, 247 4 Ья ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗЛДЛЧИ Пусть 1,— первый из них. В этой точке, очевидно, Гв(0, т. е. аб)О, что невозможно, поскольку а) 0 и (э((,) м=О. Совершенно аналогично, с использованием условия 4ХГ) )(п — 1)', доказывается невозможность ситуации аь(Г) мвп/2.

В симметрическом случае из теоремы работы 1106] следует, что решения аг(Г) удовлетворяют равенству аг( — 1)+аг(Г) =и/2 иа (О, Т). Поэтому эти решения не могут сходиться к нулю или п~2. Из проведенных рассуждений и теоремы о единственности решения дифференциального уравнения следует выполнение строгих неравенств 0(а,(Г)~п!2 для предельного решения а,(1) уравнения (9), Доказательство предложения 24.5.1 будет закончено, если мы докажем следующую лемму. Л е м м а 24.5.6. Если а(Г) — нетривиальное решены уравнения (9) такое, что 0<а(()<п(2 и ,'а(1)! ( С, то а(1))0 при достаточно больших по модулю зниченилх( и суи(ествуют пределы а( — со) О, а(+ос)=п/2.

Доказательство. Мы рассмотрим случай (-ь со. Если г достаточно велико и т — 1)0, то из (12) видно, что й(Г)(0, т. е. если а(1) ~0, то а(Г) достигнет нулевого значения, что невозможно. Следовательно, а(Г))0. Пусть т — 1=0 и аг(гь)(0 (здесь 14 велико). Учитывая, что в этой ситуации й(Г)~0 и близко к нулю при больших Г, из анализа уравнения (12) мы получаем, что при ( 1ь значение а начнет уменьшаться, если )а((ь) ( достаточно мал, или увеличиваться, но не достигнет нуля и начнет уменьшаться.

В результате будут происходить колебания а(Г) в отрицательной области, которые приведут к тому, что, начиная с некоторого (,)14, значение а(() будет сколь угодно мало. Рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве нетривиальности, приводят к противоречию. Следовательно, й ((ь) ) О. Монотонность а(1) при достаточно больших по модулю значениях Г' обуславливает существование пределов а( — со) !Чп а(1) и а(оо) = 1цп а(().

Докажем, что эти пределы с Г са равны 0 и и/2 соответственно. Рассмотрим а(-о). Пусть т= 1 и а(оо)(п!2; тогда из (12) следует, что при больших 1 й(1)(О и значения отделены от нуля, что невозможно. Пусть теперь т — 1)О. Предположим, что а(оо) =.и!4. Функция у(() растет, й(Г) ~т — 1 и функция зшасоза монотонна на отрезке 10, и!4]. Следовательнот для достаточно большого значения Г, и Г- Гь имеем й (Г) ~(т — 1)а(1)— — у (84) з|п а (сь) сова(14) Следовательно, а (()- (Гп — 1)-'(у((,) Х хе(па(1,)соза((ь)+а (г)), т. е. й(8) отделено от нуля (так какй-+О), что невозможно.

Предположение и/4 ( а(оо) ( п(2 приводит к противоречию по тем же соображениям. Следовательно, а(со) = и/2. Равенство а( — оо) 0 доказывается аналогично. З4В вхгихциоииыв матоды в топологичаских злдлчьх !гл. в В силу предложения 24.5.1 мы имеем непрерывное в Р+""'~(0) отображение (6) Ф(х, у), которое принадлежит классу С на множестве М=Р". "",((х 0)()(у=О)) и гармонично на множестве М !) 5"" ". Нашей целью является доказательство гладкости отображения Ф(х, у) на всей сфере 5"+"+'. Предложен ие 24.5.2.

Пусть )ь — произвольнсе число из интервала (О, 1) и и(1) — решение уравнения (9), описанное в предложении 24.5.1; тогда: (1) существуют такие постоянные Ь,, Ь,- О, что при достаточно больших по модулю отрицательных ! (1-» — оо) выполняются неравенства (й, — О (е")) з)п а(1) соз а(г) ~ а(г):и; (й1+ О (е")) з!и и(1); Ь,еь ' < з !и и (1) ( Ь,еьь ', (2) существуют такие постоянные См С,-» О, что при достаточно больших полоасительных 1 (1- +со) выполнены неравенства (Й, — 0 (е-")) в!и а (1) соз а (г) ~ сс (1) ( (й, + 0 (е-и)) соз а (1), С,е-ь'ч= сов а(1) =. Сье В леммах 24.5.7, 24,5.8 мы докажем неравенства из предложения 24.5.2. Доказательство остальных проводится аналогично.

Лемма 24.5.7. При г-»оо имеем с1(1) ((й,+0(е")) сова(1). Доказательство. Рассмотримфункцнюй+(!), являющуюся решением уравнения Х, й'(1)'+й'(!) й (1). При фиксированном большом ! рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка р(в)**А+(Г)совр(в), ()(1)=а(1), в~(. Эта задача имеет решение )! (в) =2 агс!д(еь'<')*) — и!2, которое стремится при в-»оо к п~2, монотонно возрастая. Далее, при в~! имеем р (в) = й+ (г) й (г) з1п )) (в) соз (1 (в) — Х~ з1п !) (в) сов р (я) < < й (в) р (в) — у (е) з!и 8 (в) соз р (в) < О, поскольку й(1) ~й(в), Х,>у(в) и 0<к(п р<1.

Следовательно, скорость убывания р(в) больше, чем скорость убывания а(в), Поэтому, если с1(!) р(1), то разность и(з) — р(з))0 не уменьшится прн в~О и а(в) останется отделенной от нуля, что невозможно. Следовательно й(1)~~(1)=й'(1)сова(1), Нам осталось доказать, что й+(!) й,+0(е-"). Для итого рассмотрим уравнение Х,=й+(г)'+Ф+(1)й(г) и положим й+(1) й,+в, И(1) (т — 1) — у.

Тогда, учитывая, что Х,=й.',+й,(т — 1), мы получаем следующее равенство: 0=(2йь+т — 1)а — й,у+а' — еу. Вопервых, е~-0 при 1-»со, поскольку й(1)-»(т — 1). Во-вторых, поскольку й(1)<т — 1, мы получаем, что е)0. Возьмем некоторую постоянную С такую, что — (2й,л-т — 1)<С<0. Тогда при больших 1 имеем С<а — у, т. е.

е — у- О, и, следовательно, ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗЛДЛЧИ 949 (2йл+т — 1(-С)е(йку, т. е, з<С».у, где С»)0. Тот факт, что у О(е-~), устанавливается теперь непосредственно. Демма 24.5.8. !1ри (-~сю имеем сова(() -С,е-чье. Док аз а тельство. Рассмотрим функцию )(1) сова(1); тогда 1(1) = — з!п а (1) а (1) ( — яп а (1) [йл — О (е-")1 яп а (1) соз а (1), т. е. — )-~ [й, — О(е-")) з!п'а(1)) О. Следовательно, при достаточно больших 1 имеем — 111 ) Р [йк — О (е-")) ) О.

ИнтегРиРУЯ это неравенство, мы получаем, что — !пав)»й,( — С', где С') О. Следовательно, ((1) (С,е — "м», где С,=ее'. Предложение 24.5.3. Первые и вторые частные производные отображения Ф(х, у) (6) являются непрерывными функциями в 1к"'"+'~ (0). Следст в и е 24.5 2.

Отображение Ф ~в,+„+» являеп»ся аналитическим и гармоническим. Док азат'ельство. Из предложения 24.5.3 следует, что Ф яСЛ(Р"' "',(0)). Из непрерывности функции Н(Ф) и того, что Н(Ф) =0 иа множестве БПМ =[Р+'"+'',((х=О) () (у=О))] П 5, следует, что Н(Ф)=0 всюду на сфере, т. е, Ф),. + является гармоническим отображением класса С', откуда следует, что зто отображение аналитическое, так как 5"+"+» является аналитическим многообразием. Следствие 24.5.2 полностью завершает доказательство теоремы о джойне. Перейдем к доказательству предложения 24,5,3. Как уже отмечалось выше, иам достаточно установить непрерывность первых и вторых частных производиых функции Ф(х, у) при х- 0 (параметр у отделен от нуля) и при у-»-0 (параметр х отделен от нуля).

Мы проведем доказательство в следующем частном д»Н случае: рассмотрим производные —, (1= 1, 2, ..., л+1) отобрадк» жения Н(х, у)=япа(1) 1»( — ) при х- 0 (у отделен от нуля). /к» (~ ~) Доказательства непрерывности производных в других случаях проводятся аналогично. В силу однородности отображения 1, имеем Н(х, у)=1»(х)х ва» а (») д[Н д»1» х»р(х, у), где»р(х, у) — ~ —. В силу того, что —, = — ',ф+ )к! ~ дк»' дк»' + дкгд» +1» р и 1» — полином степени Однородности й») 1, нам достаточно доказать, что при х-~0 (у отделен от нуля) функции -„-г и ) х ~ — непрерывны.

Это будет доказано ниже д»р дл»9 д дк" (см. леммы 24.5.9, 24.5.10). звв в«зи«ционныв мвтоды в топологичнских з«д«ч«х <гл з Лемма 24.5.9. Функция вр(х, у) имеет продолжение класса С' на множество (х=О, учь О). Доказательство. Непосредственные вычисления показывают, что ~-~ —— «+, . Случай х-«.О, у~О соответдф (а сов а — «, вМ а) х' х !х!в,+в ствует 1-о — оо. Из предложения 24.5,2 следует, что сов — й, з!и а 0 (ем+о«д') = 0 (! х !в«~+в), Кроме того, поскольку 1 — сова=О(з(пва), мы получаем, что й — асоза 0(!х(~к«>).

При я, ) 1 Зя« ~ йв+ 2, следовательно, й соз а — я«з!и а = 0 (~ х!в(« '"). Поэтому, если мы выберем р так, что (1-)в) )с х(к«+2) «-1, то выполняется равенство 1пп — ! = О, что и дф о дк в.зо требовалось. Лемма 24.5. 10. Выполнено равенство Н гп ~ х ! — „= О. д~ф к о дхо вас До к а з а тел ь с т во. Непосредственный подсчет приводит к следующему выражению: д'ф д»' !к!«+в ( — (1й соз а — й, гбп а)(1 — ! х,'-в (я«+ 2) (х')') + (к')' , (х~)«1 +(а — акт) соз а — — й' гдп а — ~. ~х" )к)в)' Для первого и третьего слагаемых равенство предела нулю следует из леммы 24.5.9.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее