Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 53

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 53 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 53 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 53 - страница

Сначала дадим качественное объяснение этой картины (аналитическое доказательство будет дано ниже). В самом деле, рассмотрим лнннн уровня л(х, у) сопз1; тогда, поскольку коэффнцнент преломлення убывает прн приближении к границе дК, световой пучок деформируется в соответствии с прннцнпом Ферма (рис. 55) н дает картину, Изображенную качественно на рнс. 57.

Минимальные геодезические О4) н 9'4) прогибаются по направлению к точке О. Световой луч, отличный от 94) н Я'д, не может выйти на границу области, нбо прн взаимодействии его с линиями уровня коэффнцнента преломления п(х, у), очевидно, всегда наступает момент перегиба луча, меняется знак второй З1З ВАРиАционные метОды ь топологнческих 3АдАчАх ~гл. В производной, вследствие чего луч меняет направление н начинает двигаться обратно внутрь области к биссектрисе координатного угла, встречаясь с ней в сопряженной с д точке (точные вычисления см.

ниже). При ш)0 возникает четырехугольник О(1'Щ внутри которого поведение световых лучей — геодезических — отличается от поведения лучей вне четырехугольника. Легко усматривается, что с ростом ш точки (1 и ~' перемещаются к вершине конуса О н четырехугольник ОД'дЯ начинает сжиматься, схлопываться на биссектрису Од. Прямые выЧ числения показывают что это событие — окончательное сплющивание четырехугольника — происходит при т шс .2,5+)/ 2м3,9 (рис. 58), и прн т)тс качественная картина распределения 0 световых лучей, исходящих из точки д, остается неизменной.

Рис. 68. Следовательно, при ш~4 су- ществует единственная геодезическая, соединяющая точку д с границей дК, это отрезок Од, следовательно, она минимальна, а поэтому при ш)4 конусы С, 1=С(Я"-'х5' ')=и-'(Од) являются О-инвариантными минимальными поверхностями. В силу единственности геодезической Од, т. е. единственности О-инвариантного решения, где О =80(т)х30(т), из теоремы 24.2.1 вытекает, что конус С1„~ (т~4) является глобально минимальной поверхностью (а в терминологии [171 — минимальным целочисленным потоком) с границей 5"-'х5"-', имеющей одну сингулярную точку Π— вершину конуса. Геодезическая Яд изображает минимальную пленку и-'фд) с границей 5"-'хЗ"-', при т= 1 зта пленка состоит из двух отрезков, с ростом ш пленка начинает прогибаться (провисать по направлению к началу координат) и ее горловина (см.

катеноид) начинает постепенно приближаться к точке О, и, наконец, при ш ы 3,9 происходит схлопывание горловины в точку (исчезающий цикл аннулируется) и при т~4 возникают минимальные конусы С,„м Тем самым полностью решается вопрос о глобальной минимальности конусов С~ Мы подробно рассмотрели случай г з, однако при г ~ з качественная картина поведения пучка геодезических существенно не изменяется, только теперь точка д лежит на прямой, задаваемой уравнением 1па г/з. Перейдем к задаче полной классификации минимальных конусов коразмерности один в евклидовом пространстве, являющихся О-иивариантнымн, где группа 6 действует в Р с коразмерностью «м1 ТРи Гномет»ичаскик зАДАчи дэа.

Ббльшая часть этой задачи решена в [97], [98]. Однако доказанная в этих работах теорема не дает полной классификации конусов, поскольку оставались неизученными некоторые важные частные случаи, среди которых, как оказалось, имеются глобально минимальные, ранее неизвестные конусы. Полное решение этой задачи и окончательная теорема классификации будут получены на основе описанной выше и предложенной нами схемы, т. е. на основе изучения сопряженных точек и качественного поведения пучка геодезических, выпущенных из точки, являющейся критической для функции объема орбит (см. выше), см. также [32]. На основе этой иден мы полностью решим вопрос о глобальной минимальности конусов, возникающих из классификационного списка, полученного в [97]. При этом для каждого конуса либо будет доказана его глобальная минимальность, либо будет построена вариация, уменьшающая объем конуса.

При этом оказывается, что качественная картина распределения пучка геодезических и связанный с ней механизм перестройки минимальных поверхностей с ростом размерности (см. также [32]) являются универсальными и «обслуживают» все остальные минимальные конусы коразмерности один из списка [97]. Соответствующие вычисления и полный анализ уравнения Якоби проведены студентом А.

В. Тыриным. Предложение 24.2.4 (см. [97], [98]). Пусть Ос=.$0(л)— связная компактная подгруппа, главныв орбиты действия которой на Р имеют коразмерность два. Тогда группа О являетея одной из групп, перечисленных в таблице 2 (см. с, 220). Главные орбиты, определяемые главным орбит-типом (см. выше), являются орбитами «общего положения» максимальной размерности. Факторпространство Р/О во всех случаях действия группы с соразмерностью два является конусом на двумерной плоскости, т. е.

имеет вид С(а) ](х, у) яви: 0~18(~) ~а, х~0~. Пусть ги Р-» Р'/ОжС(а) — стандартная проекция на пространство орбит (см. выше). Введем функцию объема орбит (см. [97], [98]) ш Я»/ОжС(а)-~Р с помощью следующей формулы: о(д)=уо1„»п '(д), где д ~Р'/О. Обозначим через й/»= =о(х, у)(йх»+йу») конформную метрику на конусе С(«») Я"/О (см. выше). Очевидно, что на границе конуса С(а) эта метрика вырождается, поскольку из границы двумерного конуса «вырастают» орбиты меньшей размерности (по сравнению с орбитамн общего положения). Если у — кривая на конусе С(а), то длина у в метрике й/ задает объем орбиты, т.

е. чо1„»п-»(у)=!(7), Если кривая 7 является геодезической, то ее прообраз и-'(7) является локально минимальной поверхностью в Я". Напомним, что если многообразие М"-' реализуется как некоторая главная орбита в Р', то проекция и устанавливает биективное соответ- 22О вхрилЦИонНЫа матоДы В тоноЛОГиЧасхих злллилх (Гл, Ь Таблиаа 2 а а алов ° 50(а — 1) х х 50( — 1) 50(а) Х 50(в) кав-а уаа а а+5 Ев х 50((а — 2) 2 50(2) Х 50((а) 2(а (ку)в» в (ка — ув)а (ку)аа-в (ка уа)в 4 3 5Ц2) Х Я/((а) 44 4 5р(2) х 5р(Ф) ! 3Ф (ку)ва - аа (к уа)в а (5р(1))в Х 5р((а — 2) я 4 50 (2) х 50 (2) х Т' (ку)а1гп ((к +(у)в)в 20 У (3) 50 (3) 3 1па ((к+ау а)а 50 (3) Тв 1па ((к+ 1у)в)в 3 5р (3) (5р (1))' )ш ((к к(у)в)а ! па ((к+ (у)в)а 5р (2) 1О ствие между б-инвариантными поверхностями с границей Ма-а и геодезическими метрики а((, идушими из точки а)=п(Мв-а) на границу конуса С(св) (см.

[981). Единственность такой геодезической (при фиксированной начальной точке в области С(п)) влечет за собой единственность решения задачи на абсолютный минимум в классе всех пленок, уже не обязательно инвариантных при действии группы, т. е. данное инвариантное решение является и глобально минимальным. % и! ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ На глобальную минимальность достаточно проверять только локально минимальные конусы. Нетрудно видеть, что в нашем случае такими конусами будут в точности конусы над орбитами ~!аксимального объема в сфере 5"-'.

Эти орбиты определяют точ- ки максимума для функции объема иа пространстве орбит, При проекции и конус над орбитой переходит в отрезок на факторе С(а), идущий из точки д=-п(М"-') в вершину О фактора С(44). Пояснения к таблице 2. (См. [97), [93).) Через д(шя Гр обозначена размерность линейного представления !р; О- 50(п) с: ОА(п); через а обозначен угол раствора двумер. ного фактора С(а)= х'ГО.

Далее, о' — квадрат функции объема о; Н вЂ” главная стационарная подгруппа данного действия, т. е. под- группа, отвечающая главному орбит-типу. Таким образом, много- образие М"-' диффеоморфно однородному пространству О)Н. Более детальная информация о представлении ~р приведена в [97), [98). Т ео р ем а 24.2.2 (теорема классификации минимальных кону. сов коразмерности два).

Единственными глобально минимальными поверхностями с границей М, где М вЂ” орбиты, представленные в таблице 2, являются конусы над следующими многообразиями О/Н=М: а) 5'-'х5*-'= ' ' ' в !х +' для г+в--8; 50 (г) х 50 (4) 50 (г — ! ) Х 50 (4 — Ц 5 !У (2) х 50 (») в) тч 50(» 2) в К для Й~4; 52 (2)х52 (") ьь Г) (5 (!)), 5 (» 2) в К для 4~2! О (5) 50 (2) х 50 (2) х Т' е) Ьр(3)/(Ьр(1))ь в Рь! ж) Е,/Зр!п(8) в Р', 5рю (!О) х О (!) 5!) (4)хТ' Для всех остальных многообразий О)Н, указанных в таблице 2, соответствующие конусы над ними не являются минимальными, т.

е. существует вариация, уменьшающая их объем, Перечислен- ные выше глобально минимальные конусы являются О-инвариант- ными относительно соответствующих групп, указанных в таблице 2. Замечание. По сравнению с [98) новыми здесь являются результаты о глобальной минимальности конусов над многообра- зиями 5' х 5' и 5' х 5' в )~ь, 5' х 5' в Р, (50 (2) х 50 (8))/(Еь х 50 (6)) в Р' (30(2) х50(9))1(Е»х50(7)) в Р' (Я)(2) хЯ)(4))7(Т'хЯ)(2)) в [ч™, а также результаты о неминимальности конусов для групп из серии 2 в таблице 2 при 4.а:»=-7, из серии 3 при »=2, 3 и для случаев 8, 7, 9, !О в таблице 2.

Тем самым, теорема 24.2.2 зхй влоихциоиныа мктоды в топологических злдлчьх 1гл. в дополняет результаты [981 и дает полную классификацию инва. риантиых конусов коразмерности два. Перейдем к до к а з а тел ьств у теоремы 24.2.2. Пусть Π— одна из групп классификационного списка (см. таблицу 2).

Рассмотрим локально минимальный конус СМ над орбитой максимального объема М"-' в сфере В'-!. Как было показано выше, ему соответствует геодезическая Од иа факторе С(а), а точнее, тот ее отрезок, который выходит на границу фактора. Выясним, когда отрезок Од является геодезической наименьшей длины, идущей из точки д на границу фактора С (и). Для этого опишем качественную картину поведения пучка всех геодезических, исходящих из точки д. Найдем все точки, сопряженные с точкой д вдоль отрезка геодезической Оп.

Л е м м а 24 2.1. Пусть в плоскости Р="кь (х, у) задана область (У с конформной метрикой йв' Х(х, у)(йхч+йу'), дуб, у(1) — ееодеэическая, у(0) д. Точки, сопряженные с точкой д вдоль геодезической у, отвечают в точности тем значениям параметра 1, при которых функция !в(1), определенная как решение уравнения !в — Кы=0, !в(0)=0, (1) обращается в куль (здесь К вЂ” скалярная кривизна). В конформных координапи!х выполнено тозсдество ' Р9пь ! 1 (2) еде К',,!ь — компонента тензора Римана. Доказательство. Функция !в(1) задает длину вектора якобиева поля вдоль геодезической. В нашей ситуации тензор кривизны полностью определяется одной своей компонентой Я,!,. Если У (У'„ У'), йг (Ч7ь, Ф"), О (У!, У') — векторные поля вдоль геодезической у, то (Т', Т') Т )т(У, И) Иг — векторное поле вдоль у, задаваемое формулами Т =Ц,м(Уиь — Уи!)УР!, Т = В,.„( — УЧ + У (Р) УРь.

(3) Если поле У=(У', У') параллельно вдоль геодезической у, то поле О (У', — У') также параллельно вдоль у. Так как у — геодезическая, то У=У!=у(() параллельно вдоль у. Положим У= (У', У'), О=(У', — У'). Тогда уравнение Якоби примет вид — ",' — г(У, ~)У-0, (4) Существуют функции а(1) и !ь(1) такие, что Х!* а(т)Уе+!в(1))а!!.

Подставляя в (4), получаем фУ+фи — П(У, и)У-0. (8) 22З три геометрическиэ эхдхчи Из (3) легко следует, что Т= — ру, где р=-"-'!х. Теперь(5) рас- ~'$1 падается в систему уравнений =О, —,+рм=О. ~Ра Фе (8) 2к ( Ь' + д ' ) + 23~' 1! дх ) + ~ д ) ) ' В нашем случае Х о'. Заметим, что во всех случаях функция о' является однородным многочленом степени 2п — 4 (см. таблицу 2). Пусть у=э(х) — функция, определяющая геодезическую на плоскости в декартовых координатах. Тогда на траектории у координата х зависит от параметра (, а функции Я,'и и 1=о' зависят от х.

Из (7) видно, что на траектории у выполнено равенство С Ц.м — — — „,, где с' — некоторый числовой коэффициент; поэтому — К +' ° ()х-'"-'"', где р — некоторый числовой коэффициент. Изучим зависимость координаты х от параметра г на траектории у. Имеем 1 /У!' Х(х'+у')=х"х'Х(1, 6)(1+6'). Отсюда, / 6.+эУ если обозначить размерность 2п — 4 через р, получим !х э ) $ я+э р+2 / ! ! !6 — ° р+ э ° т((! 6)) . Итак, х ' А!+В, где А 2 ~ГНУ Х(Т, э) / (8) а В определяется иэ условия у(0) д. Поэтому — К (,! д>,. С (А!-(-В)~ ' Таким образом, уравнение (1) принимает вид С й+-ру+В> м О (9) где А и С определяются из (8). 'Уравнение (9) сводится к урав- 0 нению й — „в очевидной подстановкой и А!+В Для 0 полу— С чаем 0= — „,—. Выпишем в явном виде решения атого последнего Напомним, что точки у(О) и у(гэ) сопряжены вдоль траектории тогда и только тогда, когда существует якобиево поле У такое, что У(0)=0, У(1,) 0 и УНИО.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее