Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 48

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 48 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 48 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 48 - страница

Доказательство. Рассмотрим в группе Я)(2т) двумерную сферу Б,=1 „„, ~, [1~~, ~а,*+~й~-1. Одна нз полусфер, а именно полусфера'[) ) О, совпадает с диском О,', вложение которого в группу Я1(2т) было осуществлено выше. Экватором [) =0 сферы Б,' является окружность Б»». Поскольку вложение сферы Б»-~ Я1(2т) продолжается до мономорфнзма ЯЗ(2)- Б1.1(2т), то очевидно, что сфера Б1 является геодезическим подмногообразием в группе Я1(2т) и тем более локально мнннмальным. Следовательно, и диск О,' является вполне геодезическим подмногообразием в БУ(2т).

Рассмотрим множество %" вполне геодезических дисков 0' (х) с: ЯЗ (2т), имеющих внд О'(х) хО,'рг', где х~Б()(2т) н хзх-'нчз прн любом зеиБ,'. Л е м м а 23.3:1. Множество %" гомеоморфно лространву У( ). Доказательство. Пусть 0'(х)~%7', тогда хе=ах для любого в~Б». Так как Б„' [аЕ ®нЕ„), то отсюда следует, что х=А®0, где А, Оеар(т), т.

е. х=(Е„ВОА-') (АВА) = = х, (А Я А), х,=Е Я)ОА-'. Поскольку (А Я А).й=й (А~А) прн любом й ~ 0„' н прн любом А ы У(т), то имеем О~(х)=0~(х1)=~ ~,, е ~, С=ОА ~. Так как [)~0, то этим условием матрица С определяется однозначно. Итак, каждому диску О'(х) мы сопоставили элемент Си енУ(т), С=С[0'(х)1. Пусть С[0'(х)1=С[0~(х')]; тогда очевидно, что х' х-' ~ (А»+) А), а потому диски 0'(х) н 0'(х') совпадают. Обратно, если СажУ(т), то С=С[0'(х)1, гдех=Е ®С, т.

е. построенное нами соответствие 0'(х)-»-С[0»(х)1 н является требуемым гомеоморфнзмом между множеством (Р" и просгран. ством У(т). Лемма доказана. з00 вхгияцнонные методы в топологичкских злдхчлх ил. з Построим вложение й У(т)-~.П;, Пусть у~ У(т); тогда по этому элементу однозначно строится диск причем если Е1Фдм то 0'(Е,„Яд1)ПР'(Е„Яйэ)=51. Пусть 1э: 0'- 0,', есть фиксированное выше отображение се=д ° 1", (е(з ме 1,: 5'-ь.5,',. Положим 1(п)(я)=(Е Яд) 1,($) (Е (х)д-'), где 3ен0'. Ясно, что Е я 1(п) есть искомое вложение У(т)-+П;, Из леммы 23.3.1 следует, что множество отображений ((Р(т)) с: с: П,' совпадает с множеством отображений вида (Ад„° (э), где элемент х пробегает всю группу б=(АД+А) с:()(2т), О~У(т), т.

е. множество 1(У(т)) является орбитой точки 1е~ П,' при присоединенном действии группы 6 на множестве отображений П,. Лемма 23.3.2. Гомоморфизм Ц (1„),: п,(Р(т))-~-п„в(Я)(2т)) совпадает с иззморфизмом периодичности. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ): 5' -~- У (т), 1 ев Щ ы и, (() (т)), о ~ 5'. Тогда ((Ц,)„(1,),1())(о)= () (О'1Е Я)(о)1)=~~ абаз~ Из пункта 23.1 и из теории Морса (см.

[1)) немедленно следует, что гомоморфизм р, ° (1,), есть в точности изоморфизм периодичности, если з ( 2т. Поскольку Ц является изоморфизмом в любой размерности, то отсюда следует, что гомоморфизм (1,),: и, (У (т)) -+. и, (Пэ) тоже является изоморфизмом при зч-2т, а потому 2т-мерный остов пространства П, гомотопически эквивалентен 2т-мерному остову пространства 1(У(т)). Лемма доказана. Итак, вложение Е У(т)-~П, удовлетворяет всем необходимым требованиям. Осталось показать, что ((У(т))=(Р'. Рассмотрим евклидово пространство )сэ"", отвечающее комплексному пространству 64 ' всех матриц (2тх2т) с формой ~р (А, В) = йе 5рпг (АВ"). Тогда группа 8(1 (2т) (как мы уже отмечали выше) изометрично вкладывается в сферу 5'"'-' радиуса 'К'2т как гладкое подмногообразие, на котором евклидова метрика индуцирует специальную биинвариантную риманову метрику на группе 5() (2т).

Поэтому многие метрические соотношения в группе 3()(2т) выгодно рассматривать с точки зрения объемлющей сферы 5з '-'. Извлечем первое следствие из этого замечания. Так, например, в группе Я)(2т) не существует бесконечно малых вариаций диска О,', оставляющих границу 5,' д0,' неподвижной и таких, чтобы возмущенный диск 0„* был бы минимальным диском в группе Я)(2т), но не вполне геодезическим. В самом деле, пусть такая вариация существует. Заметим, что окружность 5„'с5П(2т)с5а""-' является окружностью боль шого круга в сфере 5' ' ', а диск 0„* является центральным пвоиодичность аотта плоским сечением объемлющей сферы трехмерной плоскостью через начало координат в Р '. Так как диск 0„' не является вполне геодезическим в группе Я)(2т), то он не вполне геодезический и в сфере 5в * †', т.

е. он не получается нз диска О« путем поворота вокруг окружности 5,', а тогда очевидно, что его площадь строго больше площади диска 0„' (в линейном приближении), т. е. 6(чо!,) ) О и диск О,; "не является минимальным диском, что противоречит предположению. Итак, вариация любого диска 0'(х) ~ (У" (неподвижная на его граничной окружности) либо оставляет диск 0'(х) вполне геодезическим в группе, н тогда она сводится к повороту диска вокруг окружности 5,', либо разрушает его минимальность (и тем более полную геодезичность). Лемма 23.3.3.

Верно соотношение 1(У(пт)) с: Ф'. Доказательство. Поскольку каждое отображение 1ен ен1(У(пт)) имеет вид 1=Ай„(в, х ы б, то достаточно проверить, что точка 1, является точной абсолютного минимума для функционала Дирихле. Так как Я.1(2т) с= 5'""-' и О,'есть центральное плоское сечение сферы 5'""-', то 1, есть точка абсолютного минимума для функционала чо1„а так как любой минимальный вектор является и гармоническим, то 1« — критическая точка и для функционала Дирихле (впрочем, обобщенная гармоничность отображения 1в очевидна из конструкции 1«), Так как всегда чо1,[Я~0[1], то ясно, что 1, есть точка абсолютного минимума для функционала Дирихле.

Лемма доказана. Лемма 23.3,4. Верно соотношение 1(У(пт)):з(У', а поэтому 1(У(т))=%', где Ж' — множество точек абсолютного минимума для функционала Дирихле. Доказательство. Пусть т': Ое- Я)(2т), [~в яв1, есть точка абсолютного минимума функционала О. Из леммы 23.3.3 вытекает, что значение 0 в точках абсолютного минимума равно 0 [1«] и что это значение равно чо1, [1в]. Так как чо!,[Д ~ ОЩ = 0 [1,] г чо), [1в], то чо1, [1] = чо), [1«], но поскольку это соотношение можно рассматривать в метрике сферы 5в *-', то очевидно, что чо!,Щ=чо1,[1«], а тогда 1(0') с:5в"'*-' является плоским центральным сечением; кроме того, отображение 1 гармонично.

Продолжим вполне геодезический диск 1(0') до сферы 5в, являющейся вполне геодезической в сфере 5' *- ' (н подавно в группе Я)(2т)). Мы получили в Я)(2нт) две вполне геодезические сферы 5,* и 5е, причем 5,', П 5' ':з 51 ~ Е, . Минимальными подгруппами, содержащими сферы 51 и 5", являются подгруппы б, и б„изоморфные группе 5() (2).

Вложения а,: б, — Я) (2тп), а,: б,-~ -«-Я3(2пт) определяют два точных представления группы Я) (2) в группу Я)(2т). Так как ранг Я)(2)=1, то можно считать, что окружность 5„' является образом одномерного тора Т' 5' с.-, с: 5() (2), причем 5,', с: Т'" ', где Т™1 — максимальный тор в группе Я)(2т). Так как два представления 1т и 1, совпадают вой вл»иационныв мвтоды в топологичяских задачлк ~гл.з на торе Т', то они эквивалентны, т. е. существует элемент хек ыЗО(2т) такой, что 1«Ад, 1». Две сферы 5,' и х5'х-', вложенные в группу бы можно совместить еще одним внутренним автоморфизмом Аб„; тогда в сфере 5, 'мы получаем две геодезические 5,' и х,х5,'х-'х,'. Значит, существует элемент х, ~ 6~ такой, что 5«'жх»х«х5,'.г'х х~', и, следовательно, автоморфизм Ад„, где у х,х,х, переводит отображение 1 в отображение 1„оставляя на месте окружность 5,', т.

е. 1ен1(У(т)). Лемма доказана, Тем самым, доказательство теоремы 23.3.1 закончено. Отметим, что все точки множества вг являются не просто минимальными для функционалов площади и Дирихле, но даже «вполне геодезическими» точками. Это обстоятельство имело место и в одномерном случае, ио там минимальность какой-либо траектории автоматически влечет за собой ее геодезичность; в двумерном же случае из минимальности диска вовсе не следует его полная геодезичиость.

Более того, единственными вполне геодезическими дисками О» с границей 5,' являются диски множества У'. Иными словами, если ген П„' является критической точкой для функционала Днрихле и если, кроме того, 1(0») — вполне геодезический диск, то 1ен %'. 23.4. Теорема периодичности для ортогональной группы основана на восьмнмернык экстремаляя функционала Дирихле. Рассмотрим евклидово пространство вещественных матриц (р х р) — Р»', ф(А, В)=5рпг(А.Вг). Тогда группа 50(р) изометрично вкладывается в сферу 5»'-' радиуса к' р как гладкое подмногообразие, на котором объемлющая евклидова метрика у(А, В) индуцирует двусторонне инвариантную риманову метрику. Алгебра Ли зо(р) группы $0(р) вложена в Р" как линейное подпространство матриц Х, Хг= — Х, и пересечение во(р) ПЗО(р) является компактным симметрическим пространством 30(р)/У(р12), если р четно.

Обозначим зо(р)П50(р) через Я,(р); тогда очевидно, что»«,(р) состоит в точности из тех элементов йы80(р), для которых й« = — Е, т. е. й,(р) является множеством комплексных структур в группе 50(р) (см. Щ). Положим теперь р= )бг; тогда в группе существуют 8 анти- коммутирующих комплексных структур, которые мы обозначим через 1м 1», ..., 1«, 1)= — Е; 1,1»+1„1, О, АФз. Все векторы 1, () ~зч-8) лежат в плоскости зо(16г), и в силу условия антикоммутативиости все они попарно ортогоиальны.

Кроме того, каждый вектор 1, ортогонален вектору Еен30(16г), поэтому сфера 51= (хаю 50(16г) ~ х =п«Е+а'1,+...+а«1«; (а»)»+(а')»+... .„+(а»)»=1) является плоским сечением сферы 5«(где д =266㻠— 1), проходящим через начало координат, и, следовательно, вполне геодезична в сфере 5«и в 50(16г) с= 5«. Ясно, что 5«Пзо(16г)=5«() Й,()бг) =5,', где 5,' — вполне геодезический экватор а' О. Фиксируем в группе $0()бг) вполне геодеаичв- гея пкэнодичндсть зоттк скую сферу 5~о (х аеЕ+атух+ +ач[ч, (ач)з 1 1 (ач)е 1).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее