Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 47

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 47 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 47 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 47 - страница

Пусть [»,. У-'-»У(т) — непрерывное отображение, представляющее класс Щыл 1(У(т)); построим по этому отображению ~м1. У+'-»Я)(2т). Представим группу Я)(2) как группу матриц ',р), где р ~ Р 1, ~а)'+)~," 1, и выделим в группе Я)(2) двумерный диск '1)' следующим условием: рея'0', [) ~Я, й)0. Вложим этот диск 'А1' в группу Я)(2т) следующим образом: ~'-ВЕ. нЕ.1' затем на диске '0' рассмотрим кривую 'у(й) (р(а, р)(а (т, т ен "м, т ~ О); положим у (р) '(['у (й)).

Точки пространства бай, будем изображать инвариантнымн плоскостями, отвечающими собственному значению Х 1 операторов йт $'"-» ч;э", денЯ)(2т), и' — Е, . Тогда для точки уеду(й) мы имеем у'* — Е1, т. е. у([)) ябэ',„„„сЯЗ(2т) при 0<[)<1. Рассмотрим в многообразии баса,„множество элементов д следующего вида: у д(п, (т, Я=[Е Я~Т-'~(п)) [р((т, Я<3 Е 1 [Е 97~1(ОД, где и ен У-', ~~ 1(п) я У (т), При [) 1 мы получаем отображение сферы 5'-', задаваемое формулой и а при О ~р ( 1 множество (д(п, (т, ())) представляется в виде образа сферы У, причем (д(п, (т, ())) с()[,„„д5' 5'-' (где д: лр[бс2,ь „)-»л»,(У(т))).

Теперь рассмотрим множество точен (д(п, а, р)), где у(п, а, р) [Е Я~~' ~(о))[р(а, ())®Е„)х х [Е (Й)~»,(п)1. Тогда (н(п, а, р)) можно представить как образ сферы 5'" при некотором отображении 1м1. 5'+'-»(Е(о, а, р)) С: сЯ)(2т). Итак, если [Рт(п) енУ(т), то ~и,(5а') с%(2т) и иэ описанной выше конструкции, очевидно, следует, что соответствие ~~ 1-» и+1 и порождает искомый изоморфизм периодичности. Отметим, что аЕ,„Щ~, (а) 1 ~ — Р(1' ~ (() Е Волн т 2, то за исходное отображение 5: 5э- ЯЗ(2) можно взять тождественное отображение Гэ(о)=~ э[~', )л('+(у(' 1; уэ 196 вхэихциоииыа матоды в топологичвских злдичхх ~гл, « тогда 11»]=! ~п»(Я)(2)). Переходя теперь к и= 2', 2*, 2', ..., получаем отображения )«»„.

5»»+» -«'- Я) (2'), где (/»»„Д = 1 ен евп»»„(Я.)(2»)), 1~1, 23.2, Унитарная периодичность и одномерные функционалы. Заметим, что при описанном выше обычном подходе изоморфизм унитарной периодичности распадается в композицию двух изо. морфизмов, каждый из которых повышает размерность сферы (и, следовательно, гомотопической группы) на единицу. Тот факт, что требуемое повышение размерности сферы на 2 получается в результате выполнения этих двух шагов, соответствует методике обычного доказательства теоремы периодичности, при котором используется одномерный функционал действия и одномерный функционал длины, определенные на функциональном пространстве отображений отрезка (одномерного диска) О'.

Рассмотрим этот процесс более подробно. Пусть фиксирован диск 0', где дР' = 5' (нульмерная сфера, двоеточие); тогда П'(Я)(2лт); Е,, — Е» ) = П, есть пространство непрерывных отображений 1 диска 0' в группу Я) (2гл), и ри которых 1 ~з. ~ 1« ~з., где 1«(Б') = (Еэ, — Е«). Функционал действия на пространстве П; = й (Я)(2т); Е,, — Е«) й» 1» определяется так: Е,'(ы)= т 1 — 1 б(, где ы(())=Е», ы(1)= — Е, . С этим функционалом естественно связан функционал длины ! 1» (а) = г,~ — „) й.

Известно, что критические (стационарные) точки функционала длины 1 могут быть обнаружены при помощи функционала Е. Множество точек, иа которых функционал действия Е (и следовательно, функционал длины !) достигает абсолютного минимума, является подпространством в П,', гомеоморфным многообразию Грассмана 6»Ы, а потому (как это следует из теории Морса) 2л»-мерный остов пространства П, гомотопически эквивалентен 2т-мерному остову пространства 61', „. Иными словами, можно сказать, что «аналитическая часты изоморфизма периодичности заключена в изоморфизме и;(б»г»ч ) ~ и, (П,') ж =ы п,(П,)»: лич (Я3 (2т)), поскольку следующий (второй) шаг: п,(б»с„,„) п,,(0(т)) — является следствием чисто гомотопического утверждения, не имеющего какого-либо отношения к функ.

ционалу Е и его критическим точкам. Оказывается, изоморфизм периодичности можно получить не в «два шага», а в «один шаг», если использовать не одномерный функционал, а подходящий двумерный функционал 23.3. Теорема периодичности для унитарной группы основана на двумерных экстремалях функционала Дирихле. Мы получим нзоморфизм периодичности, рассматривая двумерные функционалы на специально подобранном пространстве отображений. Рассмот- ПеРиОдичнОсть аоттх 197 рим в унитарной группе Я)(2т) окружность 5„'=~~~ )ае„, о (а(=1, являющуюся однопараметрической подгруппой, и зафиксируем ее (здесь мы поступаем по аналогии с одномерным случаем, когда в группе Яl(2т) фиксировалась нульмерная сфера 5'= (Е,„, — Е,„)). Пусть, далее, 0' есть двумерный диск с границей 5' в своей стандартной евклидовой метрике.

Фиксируем отображение )Р. 'Я- 51)(2т), переводящее окружность Я изометрично в окружность 5„' в группе. Пусть 1": О'-Р'0' есть гладкое отображение, сохраняющее полярную систему координат на диске и такое, что (Ч" (е) =)Р(з) для е ен 5'. Через П, обозначим топологическое пространство всех непрерывных отображений 1: Р'- Я3(2т) таких, что 1(з =),; пространство П, имеет гомотопический тип СЖ"-комплекса (клеточного комплекса). Рассмотрим подпространство П,'~П„образованное всеми отображениями ~ такими, что они принадлежат соболевскому пространству Н',(О'). Напомним определение этого функционального пространства. Пусть 6 — область в Р(х', ..., х"). Мы скажем, что функция Рл 6-~Р принадлежит классу Н" (6) тогда и только тогда, когда: !) и я Ер(6); 2) существуют функции г,„ей Ер(6), а = (а„..., а,), О~(а(~т, такие, что ~й(х)г„(х)дх=( — 1)'"'~ 10 д(х)) и (х) дх о о при любом й'ен С, (6). Здесь (а(=а,+ ...

+а„, 0'"и а'" (е) Если т=1, то и=и,. Если г: 0'-~БЫ(т), (дх1), 1 ... (дх~) " то )' ы Н',(О') в том и только в том случае, когда все координатные функции, задающие это отображение, принадлежат функциональному пространству Н,'(О'). Этим требованием принадлежности отображения ( к классу Н((Р') мы заменяем требование кусочной гладкости отображения 1 в одномерном случае, Определим теперь на пространстве П', функционал Дирихле 0: П;- м, сопоставляющий каждому отображению ) ~ П,' значение интеграла Дирихле 0[Я на отображении 1. Напомним определение интеграла Дирихле. Пусть и ~ Н" (6); тогда функции г„(х), а= (ам ..., а )„ определенные, вообще говоря, неоднозначно, но с несущественной для нас степенью произвола, называются производными функции и и обозначаются 0"(и) или и „; если а =О, то и,„= и.

Пусть теперь М и У вЂ” римановы многообразия с метрическими тензорами дц(х), хяМ, й„з(о), о я У. С каждым отображением (: У- М, где ген Н, '1У, М1, связываются тензоры смешанного типа. Так, например, х„' х'„, где х' — локальные криволинейные координаты точки х=)(о) ы М, а дифференцирование понимается в указанном выше смысле. Через 7„будем обозначать полную ковариантную произ- 1ЗЗ ВАРИАЦИОНИЫЕ МЕТОДЫ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ИГЛ. Э водную от смешанного тензора.

Определим скаляри:е произведе- ние двух тек»оров х,', н ф, положив (х~, ф)=й'"ай~их,',ф. Пусть теперь /~Н",[У, М1, положим 0[л [ — "„[ до, где ~Ь— ~ [('„з) $"~ элемент объема на римановом многообразии У, а п б(шУ. Отображение 1ы Н",[У, М) называется гармоническим, если 60[1; п)=0 для любого векторного поля ПЩ класса Н"„опре- деленного на образе Г (У). Соответствующее уравнение Эйлера для фуНКцИОНаЛа ДнрИХЛЕ РИ НМЕЕт Внд 7"Ч„хи=О, В НаШЕМ СЛу- чае в качестве многообразия У мы возьмем двумерный диск 0', тогда й ~(о)=6иа н функционал Дирихле РЩ принимает сле- дующий внд: Р [)) — [(х'„х[)+(х,', хц1 сйп — " дп(х[х(+ х[хц бп.

1 г ! г Первая вариация 6Р имеет вид 60[(; »))= ~(х„', узч')до. Если диск 0' параметризован с помощью евклидовых координат и, О, то Р٠— [(х„х,)+(х„х,))ди ИО, х (х', ..., х»), р=д(шМ, юг; „]-)~ф, и)~-ф, *.))а ю. и~в,. На пространстве П,' рассмотрим также функционал площади то1»г, сопоставляющий каждому отображению ~~П,' значение интеграла ~У'бе( 11 бпдп, где И [(«и «и) 1«ие «)[ 1(«и, «) («„«„)1' Как мы уже видели выше, имеет место неравенство чо1»~~сРЯ и равенство достигается в том и только в том случае, когда отображение ) обобщенно-коиформное (см.

[16)). Отметим, что здесь также соблюдается аналогия с одномерным случаем (пространство путей с фиксированными концами), а именно функционалы действия Е„' и длины 1 связаны аналогичным неравенством: [(й(а))» ( - Е,'(в) — и равенство достигается тогда и только тогда, когда е †минимальн геодезическая из точки ы (О) в точку в (1). Как и функционал действия, функционал Дирихле позволяет отбросить «лишние» стационарные точки функционала объема, т. е.

все те отображения, которые отличаются от гармонического непрерывной заменой параметров в двумерном диске, что, конечно, не меняет значение функционала площади (но меняет функционал Дирихле). явоноднчность вотта 199 Отметим для дальнейшего, что имеет место нзоморфнзм Ц: л,(П,) е» л,+, (БУ(2т)) н что пространство Пе гомотопнческн эквивалентно пространству Й, всех непрерывных отображений Вч-». -+ БУ(2т) с фиксированной точкой. Тео рема 23.3.1. Рассмотрим группу БУ(2т) и пространства Пэ и П;.

В лространсп»ве П; рассмотрим множество Ф' всех точек ~, на которых функционал Дирихяе О Щ достигает абсолютного минимума. Тогда: а) множество Ф' гомеоморфно группе У(т); б) вложение 1: (Р'-» П;-».П, индуцирует изоморфизм гоматопических групп (1 ),: п,(У(т))-»-л,(П,) при зч~2т, поэтому 2т-мерный остов пространства П, гомотопически зквивалентен 2т-мерному остову группы У (т) и композиция ~е (1 ),: п,(У(т)) — ' =- и,+, (БУ (2т)) является изоморфизмом периодичности Бото»а при за.2т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее