Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 46

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 46 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 46 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 46 - страница

ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ Тогда в группах я, (И,(2"+')) следующие элементы реализуются вполне геодезическимй буферами: (1) 2Рен У„если з ьм5(пюй8), Р~О; (2) 2~ '~Е, если з ~1(пюб8), р)0; (3) 1 ыл,ь, если а~=(2я — 5)~3(шод8), тогда яинО(шоб4); (4) !АДЕ, если з,=(2й — 3)мь1(шос18), тогда ямь2(той 4). Лемма 22.2.8. Рассмотрим многообразие й,(2ь А) и выделим. в нем компоненту наибольшей размерности И.', (2ььь) = = БО(2ь-ь)/Б(0(2ь-ь)х 0(2ь-ь)).

Пусть й)8, з =2(й — р) — 6, — 1(р~й — 4, Тогда в группах л, (й„'(2А"')) следующие злементы реализуются вполне геодезическими сферами: (1) 2Реы У„если зььм4(пюй8), р)0; (2) 2~ ' ен Х, если з„~О(пюй 8), Р~ О„ (3) 1 енУФ, если зь=(2я — 6) ~2(той 8), тогда яьиО(пмх$4); 4) 1~3, если з, (2я — 4)ьььО(шой8), тогда яьи2(шой4).

ереходим к доказательству теоремы 22.1.1. Нам осталось доказать только единственность (с точностью до множителя) построенных выше реализаций для групп п,(Р')ЯР. Лемма 22.2.9. Пусть Бьь-вполне геодезическая сфера в произвольной компактной группе З. Рассмотрим подгруппу А(5'Р) (см. теорему 18.1), и пусть р) 4. Тогда группа А (Бье) изоморфна группе Бр!п(2р+ 1). Доказательство. Этот факт аналогичен уже использовавшемуся выше утверждению о том, что А(Б'Р-') изоморфна либо Бр!п(2р), либо Бр1п~(2р).

Лемма 22.2.10. Пусть р) 4 и р=[!Ойьп~. Предположим, что в группе БО(п) содержания вполне геодезическая сфера Б*Р. Тогда суи(ествует вложение Бр!п(2р+ 1)-ь БО(2Р). Этот факт доказывается аналогично доказательству леммы 21.7.4. Лемма 22.2.11, Пусть р) 4, р=[1+ !Он,л|, Предположим, что в группе Бр(2л) существует вполне геодезическая сфера БАР. Тогда существует вложение Бр!п(2р+ 1)-1-Бр(2Р). Лемма 22.2.12. Пусть р=[1ойьл) и р)4. Предположим, Р(Р- !) Р(Р+!) что Р Р нечетко, если р четно, и чпю Р нечетно, если р 2 2 нечетно.

Тогда в группе БО(п) не сущгствует вполне геодезической сферы БАР. Доказательство..Допустим противное: пусть в группе БО(п) содержится сфера БАР, тогда, согласно лемме 22.2.10, существует вложение Бр)п(2р+1)-ь-БО(2Р) с: Б()(2Р). Сквозное вложение Бр!и (2р+ 1)- БО (2Р) порождает неприводимое представление С' группы Бр!п(2р+1) размерности 2Р. Известно (см. [75!), что существует только одно точное представление группы Бр!п (2р+ 1) размерности 2», а именно спинорное представление Я. Итак, С' эквивалентно Ь". В [771 установлено', что представление Я имеет два билниейных инварианта С и Е' в зависимости !9Х ПОВЕРХНОСТИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ П'Л. 4 от четности р. Более точно, если р четно, то »Ге — П С (З(у))С(З()Г))г, у~Зр1п(2р+1), С" *( — 1) э С; если р нечетно, то Р(Р Ь П Е'=(3(р))Е'(8(У))г, Е'" ( — 1) ) Е'.

В силу предположений нашей леммы представление С' З сохраняет либо кососимметрический инвариант С (если р четно), либо кососимметрический инвариант Е' (если р нечетно). Итак, в обоих случаях подгруппа Зр1п(2р+1) содержится в подгруппе Зр(2») = ЗО(2») П Зр (2»; Ж), откуда Зр1п (2р+ 1)с ЗО(2») П Зр(2») = = У(2»-'), т.

е. мы получилиточноепредставление Зрш(2р+1) в У(2»п), что невозможно. Лемма доказана. Лемма 222.13. Пусть р=*~1+)ои,п~, ррах 4. Лргдполоясш » 1» — 11 Й~+ 1) что ~» 1 четно, если р четно, и что ~~~ ~~ ) черно, если . ' нечетко. Тогда в группе Зр (2п) не существует вполне геодези ской сферы Зг». Доказательство аналогично предыдущему, Доказательство теоремы 22.1.1 (А), (1). Нам осталось доказать, что нетривиальный элемент х енп,(у') ®(ч, не пропорциональный никакому х,„, 1 ч-ач-й, ие может быт~ реализован вполне геодезической сферой.

Допустим противное. пусть в У' содержится вполне геодезическая сфера Зэ», где р) й+ 1. Вложив пространство У' как вполне геодезическое подмиогообразие в группу З(3(2п)(картановская модель), получаем в группе З()(2п) вполне геодезическую сферу 3'Р. В силу леммы 22.2.9 возникает точное представление группы Зр)п (2р+1). С другой стороны, 2п~ 2» (см. (75]), т. е. 2"")2п~2»~2"'~, что невозможно, Доказательство теоремы 22.1.1 (А), (6). Рассмотрим многообразие Й1 (2"") и построим вложение й 12, (2"') -~ И, (2'" (-п'), где и' = 2е. Для этого нужно фиксировать в группе ЗО(п') комплексную структуру !; н положить 1(у) =дЯ1;, уе= 1),(2'"').

Так как 11,(2""+п')=ЗО(2п)/У(п), п=2'+е, то мы построили вложение ЗО (2"")/У (2") -~ ЗО (2п)/У (и), где 2'» п ..2""'. Вложение 01 (2А т)-~-Я,(2п) индуцирует изоморфизм гомотопических групп при (ч= 2'+' — 4. Итак, в пространстве 'У'=ЗО (2п)/У (п), где 2А-А ч= п ч- 2" (мы заменили й на й — 1), й ~ 4, вполне геодезическими сферами реализованы следующие элементы группы и (У')®Я (см. лемму 22.2.2): а) х„хм хм, ..., х,~ ~», ймчО(пюд4)1 б) хг, х„хщ, ..., х,~ ~~, йнн1(пюд 4); в) хм хм хм, ..., хы э, йнн2(шод4); г) хе, хг, х„, ..., хы), й — З(шод 41. 193 тсогямх кллссиэиклпии Рассмотрим картановскую модель пространства Р в группе БО(2п).

Тогда, если допустить существование в Р вполне геодезической сферы 5'», р ~ я+ 1, то она переходит во вполне геодезическую сферу в Ю(2п). Так как р=»А+1)Б, то в силу леммы 22.2.9 существует вложение Бр!и (2р -1- 1) — БО (2л), а тогда 2»'-'(2»(2п, что невозможно. В случаях а), в), г) теорема доказана, Осталось рассмотреть случай б). Здесь неясен вопрос с образующей х,„. Предположим, что в пространстве Р содержится вполне геодезическая сфера 5'"; тогда мы получаем вполне геодезнческую сферу 5'" в Ю(2л), что невозможно по лемме 22.2.12.

Доказательство теоремы 22.1.! (А), (б). Рассмотрим многообразие й» (2""') = У (2»)!Бр (2'), й ~ 5. Оно содержит вполне геодезическое подмногообразие Я„' (2"") = БС (2»)!Бр (2"), и все вполне геодезические сферы из леммы 22.2.3 при зр ! содержатся в этом подмногообразни. Легко строится вполне геодезическое вложение й 1)»'(2»")-«-й„'(4л)=Б()(2п))Бр(2а), где 4л ' = 2""+ л', и' = 4«. Фактическую реализацию мы осуществляем помощью леммы 22,2.3. Далее, из леммы 22.2,9 следует, что пространстве Р не существует вполне геодезической сферы 5»», где р=й+!. Тем самым, теорема доказана в случае, когда й цй 0 (той 4). В этом же последнем случае неясен вопрос с образующей х,»«о Предположим, что в пространстве Р=Б()(2л)/Бр(2л) содер,жится вполне геодезическая сфера 5'»+'. Рассмотрим картановскую .модель У ~ Б() (2п) и сдвинем сферу 5'"" так, чтобы она проходила через единицу е.

Обозначим через 5«» ~ 5'"" вполне геодезический экватор в 5"+', т. е. совокупность точек (у ~ — )~, 1эл' где у (0) = е, у (1) = л»', я, — точка, «диаметрально противоположная» точке е. Тогда для.любой точки а ~5»» имеем д»=л», и в силу леммы 19.3 все такие точки принадлежат одному классу смежности по подгруппе Бр(2п), т. е. мы получаем вполне геодезическую сферу 5»» в группе 5р(2л). В силу леммы 22.2.13 это невозможно. Доказательство пунктов (2), (3), (4), (7) теоремы 22.1.1 (А) во многом аналогично разобранным выше случаям (1), (б), (б), и мы не будем приводить его здесь во всех подробностях. Вторая часть (Б) теоремы 22.1.1 доказана применением такой же техники и приемов в 1591. Теорема 22.1.1 доказана. Интересно отметить, что функция )~(л), построенная нами выше н, как было показано, самым непосредственным образом связанная с максимальным числом линейно независимых векторных полей на сферах.

является «универсальной» для любого компактного неприводимого симметрического пространства, несмотря на большие алгебраические различия между пространствами типа 1 и прост ранствами типа П. я. г, Фо«е««о — мэ Глава д ЯАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Я НЕКОТОРЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Я 23. Периодичность Ботта с точки зрения многомерного функционала Днрихле 23,1.

Явное описание изоморфизма периодичности Ботта для унитарной группы. Особенный интерес представляет изучение многомерных функционалов (например, функционала Днрихле и функционала объема) на функциональных пространствах отображений гладких многообразий в компактные группы Ли и симметрические пространства, Так, например, в настоящем параграфе будет показано, что известная периодичность Ботта для групп У(п) (соответственно О(п), Ьр (и)) наиболее естественным образом возникает при рассмотрении стационарных (критических) точек функционала Дирихле на пространстве П(0', 0(п)).отображений двумерного диска 0' с фиксированной и достаточно симметричной границей (соответствеино П(0', 0(п)), П(0', 8р(п))) в группу, что позволяет получать соответствующий изоморфизм периодичности не в несколько приемов, как это обычно делается, а в чодин шага.

При этом оказывается, что периодичность Ботта' «оседает» иа многообразие абсолютных минимумов многомерного функционала Дирихле. Сначала мы опишем периодичность Ботта в удобном для нас виде. Рассмотрим унитарную группу Я/(2т) и через П (Я)(2пг); Е,, — Е, ) (где Е ~Я.)(2т) †тождественн преобразование) обозначим пространство кусочно-гладких путей, идущих из точки Е,„ в точку — Е,; через П' (Я/(2т); Еэ, — Е, ) обозначим полное пространство всех непрерывных путей из точки Е, в точку — Е~ , 'тогда вложение П-эй' является гомотопической эквивалентностью (см.

((1). В пространстве И'(Я)(2гп); Е,, — Е, ) рассмотрим подпро. странство Й, образованное всеми минимальными геодезическими, идущими из Е, в — Е,„; хорошо известно (см. 33 21, 22), что Й гомеоморфно многообразию 6$, (комплексное многообразие Грассмана). Кроме того, естественное вложение 6гг, -«Я (Я) (2т); Е,, — Е, ) -~- Я~ (Я) (2т); Е,, — Е, ) индуцирует изоморфизм гомотопических групп в размерностях„не превосходящих 2т (см. (Ц). С другой стороны, из стандартного расслоения У (гп) -~ У,„,„,-ь.

— 6~~„, следует, что граничный оператор д: п~(6~~„, )-~-п~,(У(т)) является изоморфизмом при всех (~2гп. Окончательно, комбннн- пеРиОдичнОсть еоттА руя эти два изоморфизма, мы и получаем изоморфизм периодичности: л~ 1(У(т))~ф л~[бэс„,„) —,л~[ИР(ЯЗ(2т); Е,, — Еэ,)]~м ~ л„, (Я) (2т)). Выпишем в явном виде эту цепочку изоморфнзмов.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее