Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 44

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 44 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 44 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 44 - страница

Так как группа и»,, стабильна; то, если сфера 5»Р-' реализует нетривиальный элемент Н' (80(л); Н), это означает, что 2р — 1~(4в — 1)+4=4е+3. Получаем неравенство 4в+3»-1+2!о~и, й+1(!+!од»я, что противоречит»в« выбору числа й. Для нечетного й пункт (2) теоремы доказан. б) Пусть Е 80 (и), н предположим, что я четно„й=(1+ !од»л1, й 2»«. В этом случае р)4 н в группе 80(л) содержится подгруппа А(8»~ '), нзоморфная либо 8р(п (2р), либо 8р!п«(2р), что снова дает оценку рч--1+!оя» и. Из предложення 21.3.2 следует, что вполне геодезическими сферами уже реализованы элементы х», х<, ..., х,»». Допустим, что 2р — 1~2й+1; тогда й+!».- ( 1+ 1он«я, что противоречит выбору числа й.

Осталось выяснить, можно лн реализовать вполне геодезической сферой образую!цую х»» „где й= 2е. Лемма 21.7.2. Пуск»ь й четко и й»4; аюгда, если— » !» — 1) четко, то существует вложение $: 8р!п«(2й)-~80(2»-') такое, что вполие геодезическая сфера $Я» «(Ю»»-') реализ«!ет образующую х,»»~ Н'(80(2»-»); Я), а если 2 — кечетяо, то существует вло»!»- !) жение тр 8р!п«(2й) -» 8р (2'-') такое, что вполяе геодезическая сфера ту»» ! (5»»-') реализует образующую х»»-» ен Н» (8р (2" '); Р) 183 ' КОЦИКЛЫ, РЕАЛИЗУЮШИЕСЯ СФЕРАМИ 5 »П Доказательство, Рассмотрим спкнорное представление Л: Бр(п(2й)-Я-Я)(2»).

Так как й четно, то определена проекция р~'. Вр1п(2й) -Бр(ЦЯ(2Й). Рассмотрим в алгебре С»» операцию транспоиирования агрегатов, при которой базисный поливектор е1 1 „ ~ заменяется на ЕЯ .,1,1,, транспонировапный агрегат обозначим через А. Рассмотрим автоморфизм (Е(А))г-Ро (А) полной матричной алгебры в пространстве Я»», изоморфной СЯ». здесь через (Е(А))г обозначена обычная операция траиспонирования в пространстве Я»».

Известно (см. [751, [771), что любой автоморфнзм алгебры С»» внутренний, а потому Л(А)=С(Е(А))гС-1, где С вЂ” некоторая невырожденная постоянная матрица. Транспанирование агрегата У ~ 'РУ» означает переходк обратному элемен- 81 и) ту: У У- .Отсюдаполучаем,что р «Яв ' -1 С = (Е (У)) С (Е (У))г, У ев ))У». егко показать что танзер С оп ека» 12 ее(е»-~2 ределен однозначно с точностью до числового множителя с4=0. ее(Р»2 зе(яя) Итак, подгруппа Вр(п (2й) с= ~ Я) (2») сохраняет билинейную форму С, которая всегда является либо симметрической, либо косо- Рис.

48. симметрической, а именно: с"' »1»- И =( — 1) ' ЕРА (см. [771). Выделим в ЯЛ(2») две подгруппы: 80(2») и Ьр(2»), где $0(2») Я)(2») ПЮ(2»; ч,), Ьр(2») Я)(2»)П ПВр(2»; $). Тогда, если р= четко, то представление Е » (» — 1) является вложением группы Бр(п (2й) в группу ЯО(2»), а если р нечетно, то — вложением в группу Ьр (2').

Для полуспинорных представлений Е, картина усложняется. Пространство представления Е»» разлагается в сумму двух инвариантиых подпростраиств: Е»»=Х1®Х» (см. пункт 21.4); позтому необходимо выяснить, когда тензор С допускает разложение в прямую сумму С СЯ ®С», где тензоры СЯ суть ограничения тензора С на плоскости ХЯ и поэтому имеют тот же тип симметрии, что и С. Рассмотрим в пространстве Е»» ортобазис (е„..., е», е»,1, ...

„., Е»Я), и пусть Л вЂ” спннорное представление; обозначим операторы Е(е2) через Е11 тогда (см. [77]) тензор С для четного й имеет вид С Е»+~ Е»+»...ЕЯ, а для нечетного й имеет вид С= Е,'Е;... Е». Так как операторы Е; переставляют подпространства Х, и Х, между собой, то тензор С допускает сужение на Х, и Х, в том и только в том случае, когда й четно. Мы можем подвести итог в виде следукицей диаграммы (рис. 48). Так как отображение 7»» 1. Е»»-1~-Я2(2" ') порождает полуспинорное представление ЕЯ (см.

лемму 21.7.1), то отображение К» !84 ПОВЕРХНОСТИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ [ГЛ. ° реализует образующую группы и,», (БО(2»-')), а отображение т!5А 1 — образующую группы и,»,(Бр(2»-')). Лемма доказана. Рассмотрим группу Е=БО(л). Пусть я=4э, тогда р четно. Из леммы 21.7.2 получаем, что в группе БО(2'-') при й~4 существует вполне геодезическая сфера Я'"-', реализующая образующую х,„,. Так как й — 1 с:1ои,п, то существует вложение 1: БО (2»-') ~БО (и), индуцирующее мономорфнзм гомотопических групп И,А,(БО(2'-т))-» И,А А(БО(и)) при й.:~5. Отсюда вытекает, что при й~5 вполне геодезическая сфера /АТЬ 1(Б'"-') реализует образующую хьг-т Пусть теперь й 4, тогда гомоморфизм /»: ит (БО (8)) -Р -Р и, (БО(9)) не является мономорфизмом.

Хорошо известно (см. [891), что ядром гомоморфизма 1»: г, ~+3 У,-»-л. (см. пункт 21.5) является подгруппа, порожденная элементом у, где у — характеристический класс. Отсюда в силу следствия 21.5.1 получаем, что 1»(у)- 1»(а) — !»()3), т. е. !»(а) !»(()); но так как элементы а и () не йропорциональны у, то !» (а) ФО и вполне геодезическая сфера 7и(Б,') (точно так же, как и сфера )н(Б,')) реализует образующую х,ен Н»(БО(9); И).

Так как группа я,(БО(9)) уже стабильна, то при вложении БО(9)-РБО(п) указанная сфера по-прежнему реализует образующую х,. Тем самым, доказана следующая Л е м м а 21.7.3. Пусть й = [1+! Ои, Л1, й ~ О (птоб 4), к ~ 4. Тогда образующая х»» т еи Н» (БО(п); й) реализуется вполне геодезической сферой. Докажем одно вспомогательное утверждение. Лемма 21.7.4. Пусть я=[! +!ой»л), причем й четно и й~б. Предположим, что в группе БО(п) содержится вполне геодезическак сфера Б'"-т.

Тогда существует вложение Бр!п~(2й)-РБО(2»-'). Доказательство. Рассмотрим группу А(Б"-'); как уже было доказано выше, она изоморфна либо Бр1п(2й), либо какой- нибудь из групп Бр(п~(2й) при й) 4, Разложим точное представление С группы А (Б'" ') в прямую сумму неприводимых представлений; С Я С,. Тогда среди представлений С, найдется по крайней мере одно такое С„, которое является неприводимым двузначным представлением группы БО (2й). Значит, его размерность кратна 2' ' (см.

[75!), а так как число й было выбрано максимальным, то бцп С„2"-'. Так как единственными двузначными неприводимыми представлениями размерности 2»-' группы БО(2я) являются полуспинорныв представления Юь то С„=Ю, для некоторого 1, что и доказывает лемму. Пусть теперь й~ 2(шоб 4), р нечетно. Докажем, что образующая х,ь, не может быть реализована вполне геодезической сферой.

Лемма 21.7.5. Пусть й~2(шоб4), й [1+!ой»л), й)6. Тогда в группе БО (л) не существует вполне геодезичеаий сферы Бвь-т. Доказательство. Допустим противное; пусть в группе БО(п) содержится вполне геодезическая сфера Б»А-'. В силу леммы 21.7.4 существует вложение ь: Бр!п~(2й)-».БО(Эь4), причем воз- ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ 185 й 22. Теорема классификации, описывающая элементы гомотопическнх групп симметрических пространств типа 1, реализующиеся вполне геодезическими сферами 22.1. Формулировка теоремы классификации. Результаты 3 21 описывают вполне геодезические сферы в компактных неприводимых симметрических пространствах типа 11.

Поскольку изучение вполне геодезических сфер в компактном односвязном симметрическом пространстве сводится к рассмотрению неприводимых пространств типа 1 и типа П (см. выше), то для выяснения общей картины нам осталось изучить неприводимые пространства типа 1, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все эти пространства перечислены в таблице 1; объединяя в ней некоторые серии, получаем следующий список (не содержащий особые серии); 31) (р+ д)/3 ((/(р) х (/(с)), 3О(р+ д)/3 (О (р) х О (с)), Бр (2 (р+ д))/Бр (2р) х 3р (2д), 31) (и)/50 (и), Я/ (2п)/Зр (2п), 30 (2п)/(/ (и), Ьр (2п)/(/(и). Обозначим через (х„у„...) образующие группы п,(У)®!К! тогда и,/У)®(к ®Р(х„у„...), где через к(х„у,) обозначена группа п,(У)$)Ч.

Через Дп(У) будем обозначать подгруппу в группе п„(У)ЯЯ, составленную из всех таких элементов х, что б(шх(й/. Пусть й=й(п)=(1+1ойьп). Определим следую. щую функцию: если йэпО(тоб4), если й = 1 (пюб 4), если у~2(тод4), если й ~ 3 (шоб 4). 2й — ! — 1, 2й — 1 — 3, 2й — ! — 5, 2й — ! — 3, /г(п) =Л(2А ')- никающее прэдставление неприводимо. Рассмотрим сквозное отображение х~: Бр1п,(2п)- Я)(2"-'), где ес 30(2" ')- ЯЗ(2А ')— стандартное вложение.

Получаем точное представление группы 5р!п~ (2й) размерности 2' ', которое, очевидно, пеприводимо, а потому эквивалентно одному из полуспннорных представлений Юь Так как р нечетно, то представление хь имеет кососимметрический билинейный инвариант С (см. лемму 21.7.2), а потому иь(Бр!п~(2Й)) с= с$р(2А-'), т. е. И~(3р!п,(2й))с:30(2"-')Д3р(2А-'), т. е. мы получили точное неприводимое представление группы 5р(п~(2й) в группу (/(2А-'), что невозможно, так как наименьшая размерность такого представления равна 2"-'.

Лемма доказана. Леммы 21.7.3 и 21.7.5 завершают доказательство теоремы 21.1.1(2). Мы не будем останавливаться на доказательстве теоремы 21.1.1(3), поскольку это доказательство в своих основных чертах воспроизводит приведенные выше рассуждения. Доказательство пунктов (4) — (8) теоремы 21.1.1 проводится по той же самой схеме и выполнено в (59].

Теорема 21.1.! доказана полностью. !За повегхности, ькклизтющиз нзтьивилльиыз циклы (гл.е Те о р е м а 22.1.1 (А). Пусть У вЂ” компактное нвпривсдимсе симметрическое пространство типа 1, группа движений которого не является особой группой Ли. Тогда единапвенными элементами группы п„(У) ® Р, реализующимися вполне геодезическими сфераии, являются следующие элеменп(ы (здесь й й(я)): (1) если У Я) (2пУЕ (У (и) х У (и)), й'~3, (1ее(У) Р(хе„), то (хе„), где 1~а(й; («е<е (2) .если У 50 (2п)!Е (О (и) хО (п)), й ) б, Цы (У) = Я(х,„), то (хи,), где 4ч--4а~/,(1бп): («кюе (3) если У=бр(2п)/(Ьр(п)хбр(п)), и 2з, й)8, (гее(У) = (+) (к(х,„), то (хе„), где 4:е-4а(/е(4п)' (~и~еге (4) если У Я)(п)/БО(п), й)5,(гее е(У)= Я Р(х, „,), (<и<(ь-(пз то (х,„е), где 5 ~ 4а+ 1 ~ (е (8п); (5) если У =Я)(2п)/бр (2п), й=''е 5, Юеене(У) = В Й(хеаы) («е ке/е то (лье+(), где 5~4а+1~1е(4п)' (б) если У 50(2п)/У(п), й~5, ()ее(У)= (-"( Р(х,„„), <а ~ (» — и/е то (х, „), где 2~ 4а+2 =.1((2п); (7) если У=бр(2пУН(л), й- 5, Ды(У)= 63 Р(х~„„), то (хи,(е), где 2~4а+2ч--(е(бп).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее