Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 43

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 43 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 43 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 43 - страница

Итак, группа 5, реализована в группе Ац1 (зо(8)) как подгруппа, порожденная элементами й и ы. Хорошо кзвестно, что ь|(БО(8))*=ХО+У, (см. [74)). Выясним, какие элементы хенн,(БО(8)) допускают реализацию с помощью вполне геодезических подмногообразий типа Ч),ц. Обозначим через е, и ез образующие группы п~(Бр!п(8)), а через е — образующую группы пг(В'). Тогда можно считать, что в точной последовательности па(В')-~пт(Бр!п(7)) — "п,(Бр!п(8)) !'-п,(Г)-ь.О выполнены следующие соотношения: ), (е~) =е, !, (е') =вы где э <и КОЦИКЛЫ. РЕАЛИЭУЮЩИЕСЯ СФЕРАМИ !?З е' — образующая «руппы п,(8р!п(7)) Е. Так как пв(В') Я„то точная последовательность приобретает вид О-~ Е-~ЕЩЕ-»л,-~-О (то, что пь($р!п(7))<=О, см.

Или в 1?41, илн в !91!). Рассмотрим в группе Бр(п (8) тр!1 вполне геодезические сферы 3»', 5'„Я»! они определяют элементы у, а, 8 соответственно, принадлежащие п»(8р!п(8)). Ясно, что у — это характеристический класс стандартного расслоения Бр!п(8)-~.$р!п(9) » В». Обозначим через Н, автоморфизм группы У. О+ Е, порожденный автоморфизмом Н, Предложение 21.5.1. Любая вполне геодезическая сФера В'~Бр!п(8) может бьипь совмещена при помощи внутреннего овтоморфизма группы 8р!п(8) с одной из следующих трех сФер: о<, В(, В<.

Кроме того, Н, (а) = — !), Н, (!») у, Н, (у) = — а и у а в (1, причем никакие два элемента из элементов а, 8, у не пропорциональны. Доказательство. Пусть 1/ — произвольное вполне геодезическое подмногообразие в Вр!п(8) типа '0,11; тогда подпространство В=Т,()?) определяет ннзолютивный автоморфизм 6, а потому 3 сопряжен каноническому автоморфнзму З», соответствующему вложению плоскости В,.

Тогда Р днффеоморфно Б' и Вь=р(В), где ря Ап((зо(8)). Рассмотрим автоморфизм ь»(Х) = =( — Е»9Е») Х ( — Е»9Е»), Халес(8)! ясно, что )! и ь» порождают с помощью группы 1п!(Ео(8)) всю группу Ап((зо(8)). Так как ю не меняет ориентацию сферы В„', то <существенным» действием обладает только й, что и доказывает первое утверждение. Легко показать, далее, что Н„(а) = — (1, Н„(8) = у, Н, (у) = =-а. Если д~п,(8р!п(8)),той= ре,+фе»и („(4=~ре. Из явного' вида сфер В, 'и В» следует, что 1,(а) е, 1,((!)= — е, а так как у — характеристический класс, то 1„(у) 2е (см. 180!). Отсюда следует, что а е,+хе„()= — е,+ус„у=2е,+ге,; х, у, Е~Х.

Пусть автоморфизм Н, представляется в базисе (е», е») целочисленной матрицей ! ~'! тогда иэ условия Н„=?, Н„чь? слез !(и в ~,,' а»+и+1 дует, что и чь О, о = — (1+ т), р = — „. Так как Нч(е,+хе,) е,— уе,, Н„( — е,+уе») 2е,+ге,, Н„(2е,+ге,) = = — е,— хе», то отсюда следует, что х=у+г, т. е. у а — (3. Предположим теперь, что у=2а; тогда, применяя Н„получаем а = 28, что невозможно. Аналогично доказывается, что никакие два из элементов а, (1, у не пропорциональны.

Следствие 21.5.1. Любое вполне геодезическое подмногообразие типа Ч)<П в группе 80(8) может быть совмещено при помощи внутреннего автоморфизмо группы 30(8) либо с подмногооброзием 1!Р"=п(В»), либо со сферами п(В,'), п(В',), причем у а-р и никакие дга 'из трех элементов а, (1, у не пропорциональны. Так как п»(8О(8)) и»(8р!п(8)) при й)1, то соответствующие элементы группы пь(80(8)) мы обоэначилй теми же самыми буквами, !ав повн»хности, »валнзиощиа нет»ивиальныа циклы [гл, э 21,6., Описание вполне геодезических сфер, реализующих нетривиальные (ко)циклы в когомологиях простых' групп Ли. Случай группы 81) (и).

Рассмотрим группу 80(п), )(~2; тогда нз предложения 21.3.1 следует, что когомологические образующие х„х„хг, ..., хы, кольца Н'(Я)(п); !с) реализуются вполпе геодезическими сферами, где й [1+ !ой, п~. Осталось доказать, что указанные элементы являются единственными элементами, допускающими такую реализацию. Доказательство теоремы 21.1.1 (пункт (1)). Пусть 5'»-' — вполне геодезическая сфера в группе Я5(п); тогда (см. теорему 18.1) в группе Я5(п) содержится подгруппа А(У), локально изоморфная группе Бр!п(2р), если р)2.

Докажем, что группа А(У) не может быть изоморфна ни группе 80(2р), ни группе РБО(2р) при р)4, В самом деле, допустим, что А(У)м80(2р); тогда 5'»-' порождает тройную систему В = Т,(5»»-'), соответствующую инволютнвному автоморфнзму 9, 0(В)= — В. Существует такой автоморфнзм р: зо(2р)-+.зо(2р), что рвр-'=Ц, где 6» — стандартный инволютнвный автоморфизм, определяющийся тройной системой Вм Поскольку р)4, то любой автоморфизм алгебры зо(2р) однозначно продолжается до некоторого автоморфнзма группы 80(2р); пусть р — такое продолжение. Тогда р(5»»-') =ехр В» = = !сР'»-', что невозможно.

Случай р 4 вытекает нз следствия 21.5.1. Если р) 4, то группа А (У) не может быть нзоморфна группе РБО (2р), так как в противном случае мы получили бы вполне геодезическую сферу в группе 80(2р). Пусть р=4; докажем, что А(5') не изоморфна РБО(8) = 80(8)/Е„где подгруппа Уз состоит нз элементов (Ем — Е,). Предположим, что А(5')жРБО(8); тогда одна из компонент прообраза г'(5') с= 80(8) (т — проекция 80(8) иа РБО(8)) является вполне геодезической сферой, а поэтому при помощи внутреннего автоморфизма р может быть переведена либо в сферу п(5,'), либо в сферу н(5!). Поскольку автоморфизм внутренний„то он порождает автоморфизм тр: РБО(8)-»-РБО(8), дифференциал которого переводит Т,(Г) либо в Вз, либо в Вэ', но тогда тр(У) ехрВ~ (! — либо 1, либо 2), где ехр берется в группе РБО(8). Рассмотрим в группе 80(8) сферы н(5)), ! 1, 2; очевидно, что элемент центра — Е, принадлежит обеим этим сферам (см.

пункт 21.5), поэтому тн(5!)ыЯР' ехрВ~ в группе РБО(8). Так как трдолжен переводить 5» в ехр Вь получаем противоречие. Отсюда сле'дует, что группа А (5'~ ') при р» 4 изоморфна либо группе Бр!и (2р), либо какой-нибудь из полуспинорных групп Бр1п;(2р). Напомним, что группа 80(8) может рассматриваться как полуспинорная группа (см.

пункт 21.5). Рассмотрим груйпу 8()(п), п~4, и пусть 5'~ тс= 8()(п), где р~й, т. е. р:'э»4. Тогда вложение А(5з 1)-»-Я3(п) порождает точное линейное представление С либо группы Бр!п(2р), либо группы Бр!п~(2р), причемразмерность этого представленпя равна и. Хкоциклы, эе»лизующиеся сеег»ми !а! Представление С~распадаетая в прямую сумму неприводимых представлений: С фС,. Предположим сначала, что А(5'г-') = =$р1п~(2р), тогда К(А(у))=Е» Хотя бы одно нз представлений С, является точным представлением группы $р!п~(2р).

Если бы это было не так, то каждое из представлений С, было бы точным представлением группы Р$0(2р), а тогда и все представление С было бы точным представлением группы Р$0!2р), что противоречит исходному предположению. В то же время известно (см. 173), 1771), что размерность неприводимого точного линейного представления группы $р!п~(2р) не меньше чем 2»-', откуда следует, что 2»-"~б!тС„~и, т. е. й =р(1+!ой»и, что противоречит выбору числа й. Итак, А (5ч'-») при р ~ 4 ие изоморфна $р(п,(2р), 1=1, 2. Предположим теперь, что А (5»»-') $р!п (2р); тогда возникаег точное линейное представление С группы $р!и (2р) размерности и. Раскладывая С в прямую сумму неприводимых представлений С„ получаем, что по крайней мере одно из представлений С,должно быть точным представлением либо группы $р(п(2р), либо какой- нибудь из групп $р!п~ (2р).

Отсюда снова получаем оценку 2»-' ~ л, что противоречит выбору числа л. Так как тем самым исчерпан запас локально изоморфных простых компактных групп типа 0ю р~4, то группа Я5(и) при р~4 не может содержать вполне геодезическую сферу 5»~ ', где р)й, т. е. при л)4 утверждение 1) теоремы 21.1.1.доказано. Доказательство для группы Я)(3) проводится элементарнымн средствами. 2!.7. Случай групп $0(л) и $р(2л). Теперь мы переходим к группам $О(л) и $р(2и). В этих двух случаях имеются резкие отличия от группы Я)(л). Так, например, элементы кольца Н' (З; Р), вполне .

геодезическая реализация которых уже установлена в предложениях 21.3.2 и 21.3,3, не исчерпывают все множество элементов, допускающих подобную реализацию. Обратимся снова к анализу унитарной периодичности Ботта. Рассмотрим сферу !»»»(5»» ') в группе $О(2» ') и выделим подгруппу А(5'"-'). Лемма 2!.7.1. Группа А(5'»-') изоморфна одной из иолусиинорныл групп $р!п,(2й), й~4. Отметим, что если й нечетно, то мы считаем, что группа $р!п~(2й) изоморфна группе $р(п(2й) (см. пункт 21.4). Доказательство.

Как и при доказательстве теоремы 21.!.! (!), получаем, что А(5'"-') изоморфна либо $р(п(2й), либо $р!п~(2Й), причем вложение А(5»»-')-»-Я)(2»-') порождает точное представление, которое неприводимо. Если й четно, то $р!п(2л) Не имеет точных иеприводимых представлений размерности 2»-х (см. 1751), а потому А(5'"-')ам $р!п~(2й). Если йнечетно,то сразу получаем А (5»»-') =з $р1п (2й) $р!п~ (2й). Лемма доказана. Появление подалгебры зо(2й) ~ за(2'-'), порожденной тройной системой В Т, (5»»-»), можно усмотреть и непосредственно. В 2 21 был указан базис Ам ..., А»»» такой, что А~А~+А~А~. — 2буЕ. !ЗЯ ПОВЕРХНОСТИ, РЕ»ЛИЗУЮ«ЦИЕ НЕТРИВИ»ЛЬНЫВ' ЦИКЛЫ !ГЛ. « Коммутант плоскости В натянут на базисные элементы 1-- А«А<1, !1 !Ф).

Очевидно, что подалгебра 1В, В1 'нзоморфна алгебре зо(2й — 1). Рассмотрим клнффордову алгебру С»».с базисом ем ..., е,» в пространстве Я»», н пусть она представлена спинорным образом в пространстве Я». Поскольку Т<(Ю») натянуто на простые бнвекторы (еу«„то достаточно задать спннорное представление алгебры зо(2й) только на бивекторах (е»»»), так как еу — е»»»ех»». В то же время е«,»» = — 1; поэтому ясно, что элементы А«, ..., А»»» являются образами элементов е»»» (! = 1„..., 2Й вЂ” 1) при полуспннорном представлении алгебры С»».

Следствие 21.7.1. Вполне геодезическая сфера !»» «(5»» ') с= с= 8 р)п, (2й) реализует образующую х»» ! еи Н' (8 р!п«(2я); м). Доказательство следует нз того факта, что отображенне ~»««. 5»»-'-Р8р!п<(2й) с= 8(1 (2»-') представляет образующую группы Е=п»»-»(8()(2 ')). Доказательство теоремы 21.1.1 (пункт (2)).

В) Рассмотрим Е 80(п) н предположим, что я=11+!од»к1 нечетно. Из предложения 21.3.2 следует, что элементы х», хп ..., х,», реализованы вполне геодезическими сферами. Допустим, что в 80(п) содержится вполне геодезическая сфера Я»»-', где рР >й — 1, Так как л- 8, то р~ 4. Тогда подгруппа А (5»Р-') нзоморфна либо 8р)п (2р), либо 8р(п«(2р) и вложение А (5»Р-') -«-80(л) порождает точное представление, откуда следует, что 2»-'~п, т. е. 2р — 1~1+2!од» и.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее