Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 42

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 42 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 42 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 42 - страница

'И» (8() (8)) -~п» (8Р (16)) — соответствующий гомоморфизм. Так как 1, и 44„стабильны, то(4»(1)=2 и ((41,)» (1) = 2, откуда 4„(1) = 1. Аналогично рассматривается и случаи и =9. Теорема доказана. 21.4. Необходимые сведения О спинорйых н полуспинорных представлениях ортогональной группы. Для решения задачи о реализации циклов нам потребуются понятия, связанные со спннорными и полуспинорными представлениями ортогональной группы. Далее, общий прием, с помощью которого мы будем обнаруживать вполне геодезические сферы, реализующие нетривиальные элементы гомотопических групп п,((Э), не будет действовать в размерности 7, что поставит нас перед необходимостью исследовать специфику группы $0(8).

Рассмотрим комплексное евклидово пространство )т+, н обозначим через (ем ..., е„) ортобазис в й„'. Через ес,.„~ будем обо- $ м) КОЦИКЛЫ, РЕАЛИЗУЮШИГСЯ СФЕРАМИ 175 значать базисные полнвекторы, являющиеся косым произведением векторов е~, ..., е~ . Рассмотрим комплексное линейное пространство С„', элементами которого являются следующиеформальные суммы (так называемые агрегаты): А =а+~ч~ ~а'еь+ ~', агнеьи+...+а"- "ем„.„. ь<ь Умножение агрегатов А на комплексные числа и сложение агрегатов определены покомпонентно. В пространстве С," можно ввести ассоциативное умножение, обладающее следующими свойствами: 1) (А+В)С=АС+ВС, С(А+В)=СА+СВ; 2) (АВ) С = А (ВС); 3) АВ=ВА а'В, если А=(а', О, О, ..., 0), а'ен)01 4) аа =) а (', где а = (О, а, О, ..., 0); 5) а— ) [а,а,...аэ) Р[а„а„..., аэ), где слева стоит альтерни- 1 рованное произведение векторов ам ..., а„, рассматриваемых как элементы С„', а справа — внешнее произведение векторов а„...

..., аэ, рассматриваемое как элемент С„'. В частности, е~р,... е е~,~,...с„,' 1, ~...( 1е. Пространство С; с этой операцией умйоженйя (см. [77)) называется клиффордовой алгеброй. Рассмотрим в алгебре Са гладкое подмногообразие 27', составленное из агрегатов вида У аэ...а,а„ где а~ †люб неизотропные векторы, т.

е. )а~~' чьО. Такие агрегаты иногда называются версорами. Ясно, что У-' = ~ ... †-' . Подмногообразие Ф" несвязно и )а,) "' )аД состоит из двух связных компонент: подмногообразия четных версоров (й четно) и подмногообразия нечетных версоров (й печатно). Пусть теперь л=2У, случай нечетного и сводится к этому. Рассмотрим группу 0(2У, $); тогда любое ортогональное преобразование в пространстве )7,'У может быть представлено в виде у УхУ-', где х, уенй,"„, а У вЂ” некоторый версор, Уы)(У"'.Подмногообразие яГ является группой.

Если У=а,...а,а„положим У' ( — 1)'аа,...а„, 'тогда УУ'=( — 1)'~а,~'...)'а„~'. По определению отнесем к подмногообразню 27 те и только те версоры, для которых УУ' = 1. Подмногообразие 27 является группой (называемой спинорной группой); можно определить проекцию р: ))у-~ 0(2У; $), сопоставив каждому У ен ЯЯ вращение х-~УхУ-'.

Так как р(У) = р( — У), то группа Ф' является, очевидно, двулистиым накрытием над группой 0(2эч $). Компоненту единицы группы 27 будем обозначать через Ьр(п(2У; О, она состоит из четных версоров. Если рассмотреть в алгебре С;, яодалгебру четных агрегатов, то она изоморфна С„', (для любого п) (см. [77)). Прн нечетном и алгебра С„ распадается в прямую сумму двух !76 ПОВЕРХИОСТИ, РЕАЛИЗУ4ОЩИР НЕТРИВИАЛЬИЫЕ ИКЛЫ !ГЛ.

4 своих подалгебр, изоморфных С; 4. Алгебра Ц; допускает так называемое спинорное представление в 2'-мерном комплексном векторном прос4ранстве, более точно, клиффордова алгебра С,„ нзоморфна алгебре всех линейных однородных преобразований комплексного векторного пространства 5,,; этот изоморфизм единственный (с точностью до сопряженности) и называется спинорным представлением алгебры С;,. Так как группа Зр!п(2тл 4;) реализована в С4+, посредством подмногообразия %'4, то спинорное представление алгебры С„", индуцирует некоторое представление группы Зр(п(2тл $), которое называется спинорным представлением ортогональнои группы ЗО(2У; С).

Рассмотрим касательное пространство Т,(ур4) к подмногообразию йу4 в точке I и перенесем его параллельно самому себе в начало координат. Получаем подпространство 7 в алгебре С,"„, являющееся алгеброй Ли группы Ю„ натянутое на всевозмож! ные простые бивекторы ец=е~е~ = — (е~е~ — е~е4), а поэтому спинорное представление алгебры С4"„индуцирует спинорное представление алгебры Т.

Спинорное представление группы ЗО(2У,' С) вполне приводимо и распадается в прямую сумму двух неприводимых представлений размерности 2"-'. Если рассмотреть клиффордову алгебру С~ над полем ь;, то мономррфизм Зр!п(2У; $)-~ -4 Ж(2', $) заменяется на мономорфизм Зр)п(2У)-4-51) (2'), где Зр!п (2у) — компактная односвязная простая группа Ли при 2учь4. Итак, спинорное представление группы ЗО (2у) унитарно. Распадение спинорного представления в прямую сумму обусловлено разложением С," в прямую сумму двух подпространств: Х, О+ Х„ где Х, — четные агрегаты, а Х,— нечетные агрегаты; ясно, что Х, н Х,— инвариантные плоскости спинорного представления. На каждой из этих плоскостей представление группы Зр!п(2У) уже не является, вообще говоря, точным.

Так как центр 2(Зр!п(2У)) совпадает либо с 74, либо с УАЯ У,„то сужения представления на плоскости Х, и Х, являются точными представлениями двух полуспинорных групп: Зр!п,(2У) и Зр!пз(2У). Если У нечетно, то группы Зр!п,(2У), Зр!п4(2У), ЗО(2У) изоморфны; если У четно, то группы Зр)п,(2У) и Зр!п4(2У) гомеоморфны, но не изоморфны группе ЗО (2у). 21.8. Спинорное представление ортогональной группы ЗО(8) н группа автоморфизмов чисел Кали.

Обозначим через Ац!(6) и 1п! (6) соответственно группы всех автоморфизмов и внутренних автоморф измов простой алгебры Ли б. Тогда Ап! (Ео (2У))/1п! (Ео(2У)) =Ж„если У)4, и Ап!(Ео(8))/1п!(Ео(8)) 5,— группа подстановок третьей степени. Изучим группу Ац!(Ео(8)). Если У=4, то спииорное представление группы ЗО (8) распадается в сумму двух неприводимых восьмимерных представлений, причем на каждой из плоскостей Х, и Х, операторы полуспинорных представлений сохраняют симметричные билинейные формы, что приводит к изо- 4 и1 коциклы, гсхлизгюп|игся сфггхми морфнзмам 80 (81ы Бр(п, (8) — Бр(п, (8) (см.

[68]). Рассмотрим спинорное представление алгебры Лн зо(8); пусть Х ен зо(8), а В обозначает спи(юркое представление; тогда В (Х) ~ зо(16) с: ~зц(16) для любоГо Х н о(Х)=о,(Х)9Ь',(Х), где операторы Я~(Х), 1=1, 2, действуют на подпространствах Хо Определим гомоморфнзм И: зо(8)- зо(8), положив И(Х) =о,(Х); ясно, что И является автоморфизмом алгебры зо(8).

Оказывается, что И'=*В и Из(Х)=И(Я,(Х))=Я,(Х), И(Вэ(Х)) Х (см. [68]). Рассмотрим алгебру чисел Кэли (см. пункт 20.7) н выберем в ней ортонормированный базис (1, ем е„..., е,), е,е~+е;ес= — 28ц, 1 х=х 1 для любого х~К. Тогда умножение в алгебре К задается следующей аг таблицей (рнс. 46), где стрелки указывают знак произведения.

Например, е,е,г ва, е,е, = — с, и т. д. Автоморфизм И оставляет ах в. неподвижной 14-мерную подалгебру б„которая, как можно показать прямым вычисле- н~ нием, является алгеброй Ли особой группы б~ — группы автоморфизмов алгебры октав ва в в (чисел Кали). Рассмотрим теперь в алгебре зо(8) элементы А [аа, я], где д=(я„я„... ..., яе), а=(п,, ..., а,), аен К; А [па, я]= =[Ьц[,Ь„=па„2~р(8, Ь =я, и числа р, д, г определяются соотношейием е, = е е„2 ч- р ~ д. Иными словами, матрица А[аа, а] определяется таблицей умножения в алгебре октав.

Выделим в алгебре зо(8) три линейных подпространства: А [а, а], А [ — а, а], А [ — 2а, О]. Все эти три плоскости лежат в ортогональном дополнении к подалгебре 6,. Из свойств автоморфизма И вытекает, что имеет место следующая цепочка изоморфизмов: А[ — 2а, О] —" — А[ — а, а] — "А[а, а] — "А [ — 2а, 0].

Введем новые обозначения: В0 А[ — 2а, 0], В1 А[ — а, а], Вз А[а, а]. Подпространство В, совпадает с касательной плоскостью к подмногообразню Х, ~ 8О(8) (см. пункт 17.3), являющемуся картановской моделью симметрического пространства типа Ч7,11 в группе 80(8). Ясно, что Вэ — тройная система, а потому тройными системами являются и подпространства „„ так как В,=ИВ„В, ИэВ, ИВ„ИВ, В,. Рассмотрим группу ЯО(8) и подмногообразия Х~ ехр Вм ехр Вм ехр Вм Легко видеть, что ехр В, и ехр Вз диффеоморфны сфере 5'. Так как Хг йР', то автоморфизм И алгебры зо(8) не может быть продолжен до автоморфизма всей группы БО(8).

В группе Бр!и (8) мы получили три вполне геодезических подмногообразия: ехр В~ = В,', ехр В~ = В), 1 = 1, 2, диффеоморфных сфере В', если через Н обозначить автоморфизм группы 8р(п(8) такой, что ЫН=И, то В' Н'(5), В1 Н(В(). Если и — проекция ф!п(8) на 8О(8), то и(В[) КР", п(В]) ехрВ~~ЗО(8). !76 повегхности, гвллизгюшие нет~ивихльны~~ циклы !гл, ~ Обозначим череа рг и р, проекции Бр!п(8) на группы Бр!п~(8) и Бр!п,(8) соответственно. Тогда й порождает/три автоморфнзма: l Н;. БО(8)- Бр!п,(8), Н;. Бр!п~($)- Бр!пэ(8), Н;. Бр!п,(8)-~БО(8), причем автоморфизм Н,Н,Н, является тождественным. Ясно, что Н,п = р,Н, Н,р~ — — раН, Нара —— пН (рис.

47). Так как Я(Бр!п(8)) = =Е~ЯЕэ, то в группе Бр!п~(8) имеем ехрВэ=5', ехрВ,=РР', ехрВ,=З', а в группе Бр!п,(8) имеем ехрВа Я, ехрВ~=5', ( в х а г У рг ВР Ь ~ зрм,(а) зрмйб вр!пгЮ гг зз(з) Рас. 47. ехрВ,=ЯР'. Ясно, что каждое из подпространств В~ является тройной системой и порождает всю алгебру зо(8). Группа БО(8), если ее считать порожденной сферой 5'=ехрВ„должна рассматриваться как полуспинорная группа Бр!пэ(8); сама группа БО(8) порождается подмногообразием мР' ехрВ,. Автоморфизм й является внешним автоморфизмом и порождает подгруппу (1, Ь, й'). Легко подобрать такой автоморфизм ек зо(8)-~ -~зо(8), что оР 7 и )ней=а (мы не будем описывать явный впд этого автоморфизма).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее