Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 40

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 40 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 40 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 40 - страница

Ясно, что группа С является полупрямым произведением подгрупп эУ' и С. Рассмотрим присоединенное действие эг"' на подгруппе С. Поскольку каждый элемент л, действует на С как автоморфизм, то мы получаем гомоморфизм е группы Ф'" в группу Ап1(С) всех автоморфизмов группы С.

Легко показать, что если Аб(п ): С- С является внутренним автоморфизмом, то о = 1 (см. [651), откуда следует, что е является мономорфизмом. Хорошо известно, что группа Ап1(С) состоит нз шести связных компонент (см. [701, [681), поэтому в каждой компоненте связности группы Ап((С) содержится в точности по одному элементу подгруппы е(Ф'").

Поскольку 1Р™ изоморфна В„ то будем обозначать элементы из В'" так: (п(1), п(~р»), ..., п(~р»ф»)», а элементы из е(%'") так: (1, фм»р», ..., <р»ф[». Легко видеть, что элемент ф» сохраняет ориентацию группы С. Аналогично и автоморфизмы 1, »»»1 не меняют ориентацию группы С. Так как компонента связности группы 0(8), не содержащая единицы, при действии внутренним образом на 80(8) меняет ее ориентацию, то меняют ориентацию группы С и элементы ф», <р»ф», ф,ф». Итак, элементы 1, ф„ф, 'не меняют ориентацию группы С, а элементы <р„фД», ~,ф[ меняют ориентацию группы С. Рассмотрим теперь корни гм=(+, —, — ), 1«» —— ( —, +, — ), 1»»=( —, —, +), (+, +, +).

Корни 7»» и йм приводятся к «нормальному» виду тождестненной перестановкой, поэтому ог В (1«») = ог В (гь«)= огВ(г»). Корень'1»» приводится к «нормальному» виду пере становкой о,», поэтому ог(бр Е(г»)) — ог Е(Г») — ог Е(г«»). Пере. стаиовке о»» отвечает элемент п(~э,»р«), и поэтому ог(бр В(11)) = ог В (г»»).

Корню Фм отвечает перестановка о»» оць т. е ог (Я В[1»)) = от В(гь»). Лемма доказана. Следствие 20.7.1. Искомая степень отобраасения 7' У-» -«У, где У Е«(р„равна 4; следовательно, 1,„[У1чьО. Выберем образующие в Н'(Е„; 1«) точно так же, как мы это делали в пункте 20.6, воспользовавшись тем, что подгруппа Р4 вполне негомологична нулю в группе Е, для К=»«. У т в е р ж д е н и е 20.7.1. Пусть й У -«7«(У) = 4 (У) — описанное выше вложение лространспма У =Е»7Р«как вполне геодезическом подмногообразия в группу иэометрий 7»(У) Е,. Тогда лодмного. абразив Е(У) реализует нетривиаяьный коиикл в Н»(7»(У); 2!р), где р~7 и простое либо Р=О.

Рассмотрим вяемент Я=хь.х»гы еи Ц'(7»(У); Ее). Тогда [У1 1'~ — Я). !66 ИОВеРхности, РВАлизУющие нетРиВиАльные циклы !гл. 4 Доказательство вытекает из следствия 20.7,1, из выбора образующих, а также из того, что группы Е, и г4 не имеют р-круче. ния при рд=7 (см, выше). До к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 20.1.2. Если У = У', то утверждение следует из теоремы 20.! .1; если У = К х У', то необходимо применить предложение 17.2.1 к подгруппе К х ф и сослаться на следствие 19.1. Эта теорема имеет следующий геометрический смысл. П р е д л о ж е и и е 207.1.

Пусть У = У' и гр ~ А (У) — стационарная подгруппа многообразия У. Если чгрез (п4((х, у) обозначить индекс пересечения двух циклов х и у дополнительных размерностей, то !пй(1,(У], 1,(р'])=с1ейг, г: У вЂ” У, ((о)=о', где класс смежности .9' ровен !! $, !4~В(У). Доказательство легко следует из явного описания базисов В (!4)' (см.

выше). До сих пор мы, как правило, предполагали, что вполне геодезическое подмногообразие У односвязно, и это позволяло использовать разложение У К х У', В общем случае отказаться от этого предположения нельзя, однако в некоторых конкретных ситуациях, например в формулировке теоремы 20.2.1, предположение одно- связности можно опустить. Точно так же предположение одно- связности можно опустить и в формулировке теоремы 20.1.1. Извлечем еще одно следствие. Предложение 20.7.2, Пусть У вЂ” односвязное вполне геоде. зическое подмногооброзие в компактной связной группе м). Предлоложим, что У реализует когомологическую образующую в Н' (Ц); ]к).

Тогда подмногооброзие У диффеоморфно одному из следующих многообразий: Вь'-', !)2; Я>(3)!80(3) (тип 4А41),.причем каждое из мпих цногооброзий реализует нетривиальный коцикл в'своей группе изометрий, Д о к а за тел ь с т в о. Это утверждение следует из теорем 20.1.1, 18.! и утверждения !9.!.

Другое доказательство некоторых результатов настоящего параграфа было дано впоследствии в 193] на основе анализа К-функтора однородных пространств, й 21. Теорема классификации, описывающая коциклы в когомологиях компактных групп Ли, реализующиеся вполне геодезическими сферами 21.1.

формулировка теоремы классификации. В этом параграфе решается задача, з некотором смысле обратная той, решению которой был посвящен предыдущий параграф. До сих пор мы исходили из заданного вполне геодезического подмногообразия У в компактной группе Ли Е и выясняли, когда оно реализует нетривиальный цикл в группе Нч(й). Полное решение этого вопроса получено в $20. Я9 КОЦИКЛЫ, РЕАЛИЗУЮЩИЕСЯ СФЕРАМИ 9»П Фиксируем теперь некоторое многообразие У«, н пусть 9— некоторая группа Лн.

Вопрос: какие нетрнвнальные циклы хек ен Н, (9) могут быть реализованы в группе 9 с помощью вполне геодезических подмногообразий, днффеоморфных многообразию У«? Если группа 9 является группой нзометрнй !«('Р) пространства Р' (прн условии, что Р'«=Уе, см. теорему 18.1), то полный ответ на этот вопрос также содержится в $ 20. Если же группа 9 не является группой нзометрий, то требуется дополнительный новый анализ. В качестве «представляющего» многообразия Уь мы выберем сферу.

Этот выбор обусловлен не только тем, что сфера †наиболее простое нз пространств У, которые вообще могут реализовывать нетривиальные циклы в группах Ли (см. теоремы 20.1.1 н 20.1.2), но н в значительно большей степени тем, что реализация циклов с помощью сфер тесно связана с реализацией нетривиальных элементов гомотопическнх групп п,(9). Более того, в том случае, когда объемлющее многообразие является не группой, а симметрическим пространством типа 1, мы сразу будем решать важную задачу о реализации вполне геодезическими сферамн нетривиальных элементов гомотопическнх групп п,(М) 9Я. Поскольку вполне геодезическую сферу можно рассматривать как экстремаль для многомерного функционала Днрихле (квадратичного по производным), то, следовательно, мы решаем вопрос о нахождении стационарных (критических) точек функционала Днрихле, определенного на функциональном пространстве отображений сферы в группу Ли.

Задача эта имеет много самостоятельных приложений, описание которых выходит за рамки настоящей книги. Замечательным .образом описанная выше задача реализации вполне геодезическими сферами нетривиальных элементов гомотопнческнх групп оказывается связанной с задачей о нахождении максимального числа линейно независимых векторных полей на сферах. Эта связь будет подробно описана. (Ниже через 1У1 обозначается целан часть числа 1Ч.) Т е о р е м а 21. 1, 1.

Пусть 9 — компактная простая группа Ли, и пусть й = й (п) =11+ 1оул п1, Тогда единственными (с точностью до умнткения на вещественные числа и по модулю ядра гомоморфизма Н' (9) -» Н" (5), индуцированного влолсением сферы Я в группу Ли 9) элементами х «жН' (9, 1?), реализующимися в группе Ли 9 вполне геодезическими сферами, являются следующие элементы: (1) в Н'(Я3(п), Р), п~2, элементы (х», х», х„.. х»А-»); (2) в Н" (80(п), Я), п)8, элементы: а) (х„х„х„, ..., х,»»), если й ~ 0 (глод 4), б) (х», х», хм, ..., хм-»), если я~1(глоб 4), в) (х„х„х„, ..., х,„»), если 1~2 (шоб4), г) (х„х„хм, ..., х,«,), если й~З(пюб4); ~ТО ПОВЕРХНОСТИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ [ГЛ.

« (3) в Н' (Бр (л), Я), и ) 1, элементы: а) (х,, х„х„, ..., х»» «), если й ВНО(пюд 4), б) (х», х,, х„, ..., х,»+,), если йэн 1(шод 4), з) (х», х„х„, ..., х»» «), если й 2(шод4), г) (х„х„х„, ..., х,»,), если й 3(шод4); (4) в Н'(О«: 1«) элемент хв' (8) в НР(Е«, (к) элемент х,; (6) в Н«(Е«' Р) элементы (х»> х»)~ (7) в Н' (Е;, 1«) элементы (х„хм); (8) в Н'(Е«, Щ элемент х,. В 5 22 будет полностью решена аналогичная задача реализации нетривиальных элементов гомотопических групп и,'(М) 9 Р вполне геодезическими сферами для всех компактных неприво. димых симметрических пространств типа 1 (т. е.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее