Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 31

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 31 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 31 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 31 - страница

Полная факторгруппа Зр!П(4<с-)-2)/2 является проективной ортогональной группой РЗО(2п), и 2а+1. Кроме того, для п=2а+1 существует еще одна группа: Зр!П(2п)/я,», где У»~ 2',„; эта группа изоморфна ЗО(2п). Если л четно, то кроме ЗО(2п) существуют еще две «полуспинорные группы», гомеоморфные друг другу при любом л=2а; в частности, при п=8 эти две группы изоморфиы группе ЗО(8). Односвязными представителями в классах 6», Р4, Е„Е„Е, являются группы, имеющие циклические центры О, О, Е», г,„О соответственно. Ниже пере- $ Щ ТОПОЛОГНЧКСКАЯ СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ !3! числены кольца вещественных когомологий простых компактных групп Ли: Н' (Я) (и+ 1)) Л (х„х„х„..., хз„+1)! Н'(Бр!П(2п+1)) Л(х„х,, х,1, ..., Хь, 7)! Не (Бр (П)) Л(Х„ХЗ, Хем ..., Х,„,); Н (Бр!п(2п))=Л(хм х>, х11, ..., х4„-4, хзз-ь)> Н' (Оз) Л(хз, хм); Н'(Ее) Л(х„хем хем х„); (Ее) ~Л(ХЗ, Хе, Х11, Х1м Х17> ХЗЗ)> (Е7) Л (ХЗ> «11> «1Ь> «14> АЗЗ> «47> ХЗЬ) Н" (Ее) =Л(ХЬ, Х11, Хзз, Хз>, Хзь, Хез, Х47, Хьз).

Пусть /: Е ха Š— непрерывное отображение, определенное групповым умножением. Возникает гомоморфизм /": Н'(Е; й)-ь. -~ Н'(Еха; 1>) = Н*(Е)(>ОН'(Е). Элемент хан Н'(Е! Р) называется примитивным, если 74 (х) 1®х+х®1; известно, что образующие («Ь>>.1) в Н'(И; (к) можно выбрать так, чтобы они были примитивными. В дальнейшем будем считать, что образующие примитивны. Группы Я3(а) и Бр(л) не имеют кручения и Н'(ЯЗ(п); Е)= Л(х„х„..., х,„,), Н'(Бр(а); Е)=Л(х„х„..., х,„,). Группа Оз имеет только 2-кручение, и Нз (61! Е) имеет две образующие Ь, и Ько степеней 3 и 11, такие, что Ь,' Ь!1 О.

Группа Н*(ОЗ; Е) есть сумма бесконечных циклических групп, порожденных влементами 1, Ь„Ь11, Ь, Ь11, и групп Е„порожденных влементами Ь; и Ь,". Группа Ее имеет только 2-кручение, 3-кручение и 6-кручение; алгебра Не(Е4, Е) изоморфна тензорному произведению У'х Йе(ОЬ; Е)®Л(х), 7(ед(х) 16, где У вЂ” градуированная алгебра с единицей, определяемая так: У'=У'З=Е, У' У'У' У"=Е„У'=О во всех других размерностях. Группы Бр!П(п) при и а6 не имеют кручения; группы БО(а) (п~3) и Бр!П(п) (а~7) имеют 2-кручение, и все их ковффициенты кручения равны 2.

Напомним определение простой системы образующих в кольце Н" (Ц); Ер) Множество х>,, х>,, „., х>„ однородных элементов в Н'(Е; Е ) с положительными степенями называется простой системой образующих, если одночлены «1,«1,...«1 (!1(!Ь(...((,; зк; Ь) образуют вместе с единицей базис векторного пространства Н*(Е; Ер) над Е . Будем обозначать Ер-алгебру с простой системой образующих х>,, ..., «1„(беях> 1,) через Л(х>,, ..., х>,). Тогда Н' (304 (и); Ез) Л(х,, х,, х„..., х„1) и Н*(3р!и (а); Е,)= = Л ((х> ! 1 ен 5); у), где 4(ея х, = !. Š— множество всех целых чисел, меньших чем а и не являющихся степенями двойки, дену=2'ОЗ>-1, где целое число з(п) таково> что 2><з>-Ьс п~2>!з!.

бз 132 пОВеРхнОсти РВАлизуюшие нетРиВиальные циклы 1гл, 4 Алгебры Н'(64, л,4) и Н'(р4, лэ) также допускают простую систему образующих и НР(04; Е4)=Л(хе, х4, х,), НР(Р4, ЕА) Л(хе, х4, хе, хм, хе,). Ыы не будем подробно описывать структуру алгебр Н'(Ей л, ), 1=6, 7, 8; отметим только, что все группы, локально изоморфные Е, (соответственно Е„Е,), не имеют р-кручения для р)7 (соответственно для р~11) и группа Е, имеет 2-кручение. Умножение( в группе определяет гомоморфизм1,: Н, (9х9)- Нв(9); если в качестве группы коэффициентов взять поле, то получаем гомоморфизм 1,: Н,(9)ЗН,(9)- Н,(9).

Если элементы а и Ь принадлежат Н,(9; С), то элемент 1,(азЬ) ен ен Н, (9; С) называется их понтрягинским произведением, Итак, группа Н4(9; С) превращается в кольцо, умножение е котором ассоциативно, дистрибутивно, имеет единицу, но не обязательно антикоммутативно. Так, например, алгебра Н, (Зр(п (10); 74) обладает простой системой образующих х„х„х„х„х„х„с соотношениями: х7=0 (при всех 1), х4х1 хех, (1(1, (1, 1)~(6,9)), х,хе=х4х4+х44 (см. 1641). Однако если Н'(9; С) имеет простую систему примитивных образующих (х,) (1в-!(т), то Н (9; С)= =Л(у„у„..., у ), где беду,=йедхь 1 1, 2, ..., т; верно и обратное утверждение.

Возьмем в качестве кольца коэффициентов поле вещественных чисел, и пусть 9 — компактная группа; тогда Н'(9; Я) допускает простую систему примитивных образующих и имеет место двойственность групп Н, (9; 14) и Н4 (9; Р); гомоморфизмы 1* и 1„сопряжены друг другу, причем образующие у4 двойственны образующим хь и наоборот, т. е.

гомоморфиэм 1' и понгрягинское произведение 1, полностью определяют друг друга. 17.2. Подгруппы, вполне негомологнчные нулю. Рассмотрим связную компактную группу Ли 9, и пусть У-компактное, односвязное, вполне геодезическое подмногообразие в 9. Задача, которую мы решим в первой части настоящей главы, заключается в следующем: нужно выяснить, когда подмногообразие У реализует нетривиальный цикл гомологий в Н,(9; С), т. е. когда элемент 1,[У1 отличен от нуля, где через 1У1 обозначен фундаментальный класс многообразия У. Рассмотрим сначала частный случай, когда вполне геодезическое подмногообразие У является подгруппой.

Пусть 1: У = р- 9 в вложение, тогда возникает гомоморфиэм 14: Н'(9; С)- Н*(Р; С), Определение 17.2.1, Подгруппа .Р называется вполне негомологичной нулю в группе 9 для группы коэффициентов С, если еомоморфизм 14 является впиморфизмом. Предложение 17.2.1. Связная компактная подгруппа р в компактной группе ди 9 реализует нетривиальный цикл в Н4(9; Р) тогда и только тогда, когда она вполне негомологична нулю в группе 9 для веи(естеенных коэффициентов. $111 ТОПОЛОГИ~1ЕСКАЯ СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ 133 Доказательство. Пусть 1«[ЯчьО в Н«(9' Р) Труппу Н" (.Р; 1«) можно трактовать как пространство лийейных функционалов на Н, (Р; 1«). Так как(,Щ=1,(у, у,...у,)=1„(у1)1в(у,)...

"° 1«(у«) чь О, где у1, у« "., у, — мультипликативные образующие в Н«(4; 1«), то1, (у ) ФО при 1ч--а(Г. Рассмотрим в Н, (Р; 1~) линейное надпространство неразложимых элементов (они же — примитивные), которое обозначим через РЯ). Аддитивным базисом в этой подгруппе являются элементы у,, ум ..., у,. Легко видеть, что Р Я) при гомоморфнзме 1в отображается мономорфно. Поскольку 1, (Р (Р)) ~ Р (9), то образом алгебры Н, ($; (~) является внешняя йодалгебра в алгебре Нв(9; 1«), порожденная подпространством 1, (Р(Р)), откуда следует, что 1, — мономорфизм на Н (Р; Р), что и требовалось. Предложение 17.2.! сводит нашу задачу в том случае, когда Р гт, к исследованию подгруппы,ф на полную негомологичность нулю. Мы изложим сейчас известную конструкцию, позволяющую давать ответ на вопрос о полной негомологичности нулю подгруппы .1т в 9 в терминах алгебр Ли.

Пусть 9-+.Ее- Ве — универсальное расслоенное пространство для группы 9. Рассмотрим вложение подгруппы $ в группу 9; тогда возникает проекция р пространства ВА на пространство ВЕ, индуцирующая гомоморфизм р' ($, 9): Н*(Вгз)-~-Н*(ВО). П р ед ложен и е 17.2,2 (см. [91!). Пусть .ф — связная компактная подгруппа в 9. Подгруппа Р вполне негомологична нулю для вещеспменных когффициентов тогда и только тогда, когда гомоморфизм р' (Р, 9) является зпиморфизмом. В случае вещественных коэффициентов гомоморфизм р' ®, 9) можно эффективно вычислить. Рассмотрим группу 9 ранга Н, и пусть Тп — максимальный тор группы 9.

Касательное пространство Т, (Т") = (я (картановская подалгебра) является накрывающей группой тора Т". Пусть 1~ ТЯ и Н(1) — централизатор элемента1. В 1" выделим множество 5' всех таких элементов 1', что ехр 1' ~ Ю, где 8 — множество всех сингулярных элементов в Т". Множество 5' называется диаграммой группы 9. Диаграмма 5' содержит «единичную решеткуь — совокупность всех таких элементов 1'=!Я, что ехр1'=е. Ясно, что элементы группы Вейля йг(9)=Н(1)(Т переводят в себя и эту решетку, и диаграмму.

Отсюда следует, что группа Вейля получает точное представление как группа преобразований Н'(Тп; Е), а если в качестве кольца коэффициентов взять любое кольцо С', то, как группа преобразований, Н'(Т"; С') = Н'(Тп; У)®С", в последнем случае следует указывать кольцо коэффициентов и писать Ф'(9; С'). Выберем в группе Н'(Т; У) базис г1, ..., гя и рассмотрим градуированное кольцо полиномов от коммутирующих переменных гм ..., гя с коэффициентами из С', т. е.

С'[г„ ..., гя!. 134 пОВВРхности, РеАлизующие иетРиВиАлъиые циклы 1гл. А Тогда группа (р'(Э; С') получает точное представление как группа автоморфизмов кольца С'[г,, ..., гя); эту группу автоморфизмов мы обозначим Вг"' (С'). Пусть Iо (л.) — подалгебра полиномов в л.[г,, ..., гя), инвариантных относительно действия группы 1Р'* (л.). Ясно, что подалгебра 1а(Е) 8 С' в алгебре С'[г„..., гя) содержится в подалгебре 1о(С') и что 1о(Р)= !о(л.)$)Р. Пусть С'=к.

Тогда образующим г,, ..., гя группы Н'(Т; л,) можно взаимно однозначно сопоставить линейные формы на (Я, которые мы будем обозначать теми же буквами. Группа (Р'(Я) получает точное представление как группа автоморфизмов кольца полиномов над (я с вещественными коэффициентами. Предложение 17.2.3 (см. [9Ц). Если группа Е связно, то кольцо полиномов на картановской подалгебре, инвариантных относительно действия группы йт ь (Е; Р) (т. е. кольцо Iо (Я)), является свободной алгеброй с 17 (здесь Н вЂ” ранг группы Е) образующиии РА,, ..., Р„„, где йея Рь, = уь 1 ~ 1 ~ Н, Р (Э, 1) = (1+ йм — ')...

...(1+(мл ) (через Р((3, 1) обозначен полинам Пуанкаре), Рассмотрим вложение й ф- Э, и пусть Т,-максимальный тор группы $. Обозначим через г'„..., г,' образующие в Н'(Тг', Р). Предложение 17.2.4 (см. [9Ц). Можно канонически отождествить Н (Вг, 'Р) и Н (Вг,, 'й) с кольцами Р[г„..., гя) и Р[г'„..., г„') соответственно, причем таким образом, чтобы гомоморфизм р6(Т;, Т) перпиел в гомоморфизм кольца й [ем ..., Ея) в кольцо Р [г,', ..., г,'), индуцированный гомоморфиэмом вложения 1', Н'(Т; к) Н'(Т1', Р).

При этом отождествлении одномерным образующим ги ..., гя следует приписать новую степень 2. Известно, что гомоморфизмы ру(Т;, $) и ра(Т; (3) являются мономорфизмами н их образы суть кольца 1н(м) и 1а(Р) соответственно. Предложение 17.2.5 (см. [9Ц). Пусть $ — связная компактная подгруппа в Е. Если отождествить Нь (Ве', к) и Нь (ВА, 1~) с кольцами инвариантных полиномов 1о(Р) и 1н%) соответственно, то гомоморфизм рй($; З): IОЯ)- 1нЯ сопоставит каждому полиному Р ~1о(1х) индуцированный им полипом на 1; из 1н(й) при вложении 1',-~-1Я. Явный вид образующих полиномов РА, в кольце 1о указан в [67). Итак, мы получили утверждение: компактная связная подгруппа $ реализует нетривиальный коцикл в Нь ((3; й) тогда и только тогда, когда гомоморфиэм (ь: 1а-+ 1н является эпим арф измом.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее