Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 30

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 30 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 30 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 30 - страница

Пусть Хь — минимальная поверхность а б такая, что чо1,(Х„) 01. Тогда, в силу теоремы 15.5.1, поверхность Хь является подмногообразием, диффеоморфным од- ному из следующих пространств: У', СР"и, ЯРы', г,(8р1п(9), причем Х, вырастает из некоторого в-корня аь наименьшей дли- ны в б. Отсюда следует, что кратность точки ехр(ав), как сопря- женной точки, равна двум. В самом деле, кратность произволь- ного корня а равна ч(й) ~ч~б(шУй, где р(а')~0(шов!) и р(и')чь0 (см, предложение 15.2.1).

Поскольку б!ша(У„-) 2 и в указанную сумму заведомо входит слагаемое б(ш У„- (так как сс(а') 1), то ч(й)~2. Так как аь — наименьший э-корень, то нв существует другого корня р чь Йь такого, что р (аь) ию 0(шод 1), НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧРСКНЕ СЛЕДСТВИЯ 4 !ь1 ибо в противном случае мы получили бы, что ~(1'~(~шь~, а это невозможно. Итак, в группе ы имеем равенство т(а~) 2. Поскольку й ~ 3, то пучок ~„, соответствующий коэффициенту ни(е, и), обязан (см.

лемму 15.2.1) содержать два сопряженных направления. Так как эти направления уже содержатся в подг уппе Я и по лемме 15.3.1 и теореме 15.5.1 вся, 'поверхность ь обслуживается ни(е, и) и является вполне геодезическим подмногообразием, то Хь й Я. Известно, что Я реализует свободную Образующую в Нь"'(ы, Е), откуда следует, что какое-то из перечисленных выше симметрических пространств ранга 1 (совпадающее с Х,) должно содержать в своей трехмерной группе (ко)гомологий элемент бесконечного порядка, что возможно, только если й 3 и Хь 3ь. Минимальность подмногообразия 5ь следует из теоремы 15.5.1.

Предложение полностью доказано. На некоторых симметрических пространствах числа Щ не достигаются ни при каком значении й. Например, рассмотрим симметрическое пространство М" Я)(2иь)/5р(т) ранга т — 1; известно (см. 156]), что Н (Л(; У) — Л(хь, хь, ..., ха -в) Пусть т~ 2 и Х, еи О((.') — глобально минимальная поверхность.

Тогда выполнено строгое неравенство то!п (Хь) ~ Щ (М). Еще один пример. Пусть М"=51)(2рп+1)/50(2т+1) и Хь~Ю(ь'); тогда всегда имеем то!и(Хь) ) 01. Доказательства получаются по схеме, изложенной при доказательстве предложения 15.6.1. й,тат+! ИЧЧ И-/ 3 Т+I И-4-1 И-! й и-г а) ЬГ й Ф) ПГ Рй а) рр=Ы-ашишшра«ата праашршашаа раааа 1 Рис, 44. Теорема 15.5.1 позволяет получить полное описание й-мерных геодезических дефектов Щ для любого компактного симметрического пространства (можно, например, опирвться при этом на список этих пространств; см., например, 191). Мы ограничимся приведенными выше примерами.

Исследование значительного числа конкретных симметрических пространсгв позволило следующим образом описать качественное поведение функции ьп1. На рис. 44 по горизонтальной оси отложены значения размерности й, 2 ~й = и — 1, а по вертикальной оси — значения !за наименьшие овъемы минимальных повеехностеи [гл. э объемов замкнутых поверхностей реализующего типа, т. е. Х ен ыЮ(Е'), Учь0, Ус=.Н~">(М). Оказывается, выделяются три случая: а) группы Ли; б) симметрические пространства, отличные от групп Ли и от симметрических пространств ранга 1; в) симметрические пространства ранга 1, В случаях а) и б) поведение функции Щ характеризуется наличием двух точек изломк й, ч+ 1, кч = и — ! — 1, где т (см.

выше) — кратность корня сс, максимальной длины, а 1 — ранг М. В случае а) функ. ция 111 только з одной точке (при й 3) соприкасается с объемами замкнутых топологически нетривиальных поверхностей; в случае б) число таких соприкосновений увеличивается, т. е. имеется достаточно много минимальных поверхностей, объем которых совпадает с Йь, а в случае в) функция Й7, полностью описывает все минимальные поверхности наименьшего объема. Дальнейшие примеры глобально минимальных поверхностей, реализующих нетривиальные (ко)циклы в симметрических пространствах, были получены Дао Чанг Тхи (см. [57], [58]).

Приведем здесь некоторые из этих примеров. Т е о р е м а 15.5.2. Перечисленные ниже вполне геодезические подмногообразия Хь в компактных симметрических пространствах М являются глобально минимальными поверхноопями реализующего типа в своем классе (ко)гомологий. (1) М=У(п)/(У(т)хУ(п-т)), п)2, 1кт([п(2]; Х, У(р)НУ(о)х У(р-о)), реп, а -т, где У (р), У (д), У (р — Я вЂ” подгруппы, стандартно вложенные в соответствующие группы Ли У(п), У(р), У(т).

(2) М=Ю(п)!(Ю(2)х80(п — 2)), п)3; Х,=80(р)7(80(2)х80(р-2)), 3 ~р~п, где 80(р) 'и 80(р — 2) спшндартно вложены соопмыпспменно в Ю(п) и 80(п — 2). (3) М=8р(2п)/У(п), п~2; Хь 8р(2о)/У(о), 2а д«'и; вложения 8р (2о) ~ 8р (2п), У(о) ~ У(п) стандартны. (4) М==80(2п)/У(п), п~2; Х, 80(2о)/У(о), 2~о«'и; вложения 80(2о) с 80(2п), У(о) с У(п) стандартны.

(5) Пусть Хч — произвольное эамкнупюе кватернионное подмногообраэие вещественной размерности 4 в кэлеровом кватернионном симметрическом связном компактном пространстве М. Тогда Хч — глобально минимальная поверхность в своем классе (ко)гомологий. Эта теорема является следствием общего результата, полученного Дао Чанг Тхи для описания потоков минимальной массы (см. терминологию в [17]) в симметрических пространствах (см. [57]- [60]). Глава 4 'локлльно минимдльные злмкнУтые повеРхности, РВАлизующие нетРивилльные (ко)циклы и элементы ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 5 16. Постановка задачи.

Вполне геодезические подмногообразия в группах Ли В предыдущих параграфах мы изучали в основном глобально минимальные поверхности. При этом мы обнаружили, что поверхности наименьшего объема (например, среди всех поверхностей, реализующих нетривиальные (ко)циклы в данной размерности) часто оказываются вполне геодезическими подмногообразиями. С другой стороны, вполне геодезические подмногообразия всегда являются локально минимальными (см. 5 2),.т. е. экстремалями функционала объема (быть может, не абсолютными минимумами, а «седлами»). Поэтому самостоятельный интерес представляет задача об описании (например, в симметрических пространствах, кзк в одном из наиболее важных для приложений классов рима- новых многообразий) вполне геодезических подмногообразий, реализующих нетривиальные (ко)циклы.

Эту задачу мы полностью решим в настоящей главе. Затем мы дадим классификацию всех тех случаев, когда нетривиальные элементы гомотопнческих групп п~(М)ОхЯ (где М вЂ” симметрическое пространство, Я вЂ” рациональные числа) реализуются вполне геодезическими сферзмн, т. е. опишем все те гомотопические классы симметрических пространств, в которых существует представитель, изображаемый стандартной сферой, т. е. локально минимальной поверхностью максимально простого вила.

Оказывается, эта классификация вскрывает глубокие связи между свойствами компактных групп Ли и геометрией локально минимальных поверхностей. Как было доказано в З 2, каждое вполне геодезическое подмногообразие локально минимально. Оказывается, если объемлющее многообразие является группой Ли, то вполне геодезические подмногосбразия могут быть описаны (с локальной точки зрения) особенно просто. Обозначим через [Х, )'1 операцию коммутироваиия в алгебре Ли.

Поскольку нас будут интересовать компактные группы и алгебры Ли, то можно считать, что оии реализованы как группы матриц, а тогда коммутатор двух элементов Х и г имеет вид Х)' — )'Х, где ХК вЂ” произведение матриц. Определение 16.1. Пусть 0 — алгебра Ли над полем веще« стеенных чисел, и пусть  — надпространство в 6. Подпростронспмо В называется тройной системой Ли, если для любых ~прея элементов Х, г', 2, принадлежащих В, элемент [[Х, )'), Я) также прпнодлежит В. В А. т.

Фоменко !3О ПОВЕРХНОСТИ. РЕАЛИЗУЮШИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ (ГЛ. « Через ехр обозначим каноническое отображение алгебры 6 в группу 9. Пусть У вЂ” вполне геодезическое подмногообразие в Е; тогда можно считать, что оно проходит через единицу группы е; ясно, что Т,(У) ~0. Предложение 16,1 (см. [70]).

)7усть Š— связная компактная группа Ли и У вЂ” вполне геодезическое подмногообразие в группе. Тогда надпространство В= Т,(У) является тройной системой Ли и ехр(В) У. Обратно, если В«=Π— тройная система, то лодмногообразие У = ехр В яавяется вполне геодезическим подмногооброзием в группе 7и Э. Любая подгруппа Ли положительной размерности является вполне геодезическим подмногообразием в группе 9.

й 17, Сводка необходимых результатов о топологической структуре компактных групп Ли и симметрических пространств 17.1. Алгебры когомологнй компаитных групп Ли, Здесь мы собрали нужные нам для дальнейшего некоторые факты о гомо. логиях и когомологиях компаитных групп. Совокупность всех простых компактных групп Ли состоит из четырех больших серий и пяти особых классов групп. Классы лоиально изоморфных компактных связных простых групп Лн обычно обозначаются символами А„(л~1), В„(п)2), С„(п~З), Е>„(л ~ 4) — классические струитуры; О„Р„Е„Е„Е» — особые структуры. Классические серии определены для всех п~1, но указанные ограничения на ранги групп объясняются изоморфизмами групп малых размерностей из разных серий: А, В, С„ В,=С,, А»=)7„!7»=А,+Ам Через 2((й) обозначим центр группы Й.

Каждый класс локально изоморфных групп содержит единственную односвязную компактную группу Й; для классов А„, В„, С„эти односвязные группы суть следующие: ЗО(л+1), Зр!и (2л+ 1), Зр (и), где Е (З(3 (л+ 1)) Е„,н 2 (Зр1п (2п+ 1)) У,„ Я (Зр (и)) * г,».

Полными факторгруппами этих групп О)72 (Ю) являются группы Р13(л+1), ЗО(2л+1), РЗР(л) проективных преобразований. Односвязной группой Й класса Р„ является группа Зр!и (2л), 2(Зр!П(2п)) г,„если л 2а+ 1, 2(Зр!П(2п)) = е»Я г,„ если п=2««.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее