Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 22

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 22 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 22 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 22 - страница

Если бы функция Ч' была /Ч' 1' (,Л), дифференцируемой, отсюда уже следовало бы доказательство тео- ремы. Однако функция Ч', вообще говоря, разрывна, поэтому монотонность функции — требует дополнительного доказательства. Л Лемма 12.8. функция — (и функция — ) не убывает ло г, ЧГ / Ч' з Л о) Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим непрерывную функцию г Ч'(!)дг=т,(г) и положим м=Ч/ — Х; тогда Ч' у+в, где м— сингулярная часть функции Ч/; ясно, что а,' 0 почти всюду на интервале (О, 1). Применяя, далее, рассуждения, использованные в [321 при доказательстве леммы 10.2 (см.

также главу б), полу- чаем дм(г)мО, откуда и следует утверждение теоремы 11.2.2. 3 13. Некоторые геометрические следствия 13.1. 0 наименьшем обьеме глобально минимальных поверхностей, проходящих через центр шара в евклидовом пространстве.

Оценка, полученнац в теореме 11.2.1, имеет вид Ч'»с(Мз, Х) Ь(г), где постоянная с(М,, Х) определяется ГМ-поверхностью Х и краем М,. Во многих случаях с(МО Х) может быть, в свою очередь, оценена снизу другой, более простой постоянной, уже не зависящей от Х, В качестве простоИ иллюстрации рассмотрим минимальные поверхности произвольной коразмерности в Р'. В качестве области возьмем шар с центром в начале координат и рассмотрим ГМ-поверхности, проходящие' череа центр шара. Напомню, что функция сферической плотности Чг» на ГМ-поверхностях не меньше единицы в каждой точке. Следствие 13.1.1. Пусть Х" с О," с=У,' — ГМ-поверхность, проходящая через точку 0-центр шара О," радиуса г.

Тогда Ч'(Х, г) чо(з(Х П О",)",м Ч'ь(0, Х) чьгьъ: Чьг чо)ь Гль, где уь — А-мерньа$ однем стандартного й-мерною и/ара радиуса 1; Ч', (О, Х) ~ 1 — сферическая фун«ция плотное/пи минимальной поверхности Х в точке О, и Чгь(0, Х) 1 тогда и только тогда, когда точка 0 — регулярная /почка поверхности Х. Так «ак ч«НАИМЕНЬШИЕ ОВЪЕМЫ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ !ГЛ. Э шар О» — стандартное я-мерное плоское сечение области 0"„то для шара верна гипотеза А (см.

$9), т. е, объем любой минимальной поверхности, проходяшей через центр шара и имеющей границу на границе шара, не меньше, чем объем стзндартного центрального плоского сечения шара (той же размерности). Доказательство. Положим М=Р,"; тогда М» — — 5, М, ф; в качестве 1 возьмем 1 !х!; эта функция на 2У",0 не имеет критических точек. Положим о нгад)'; тогда ! о , '1 на 2Г'~,0; в силу примера 1 иа $10 имеем н»(о, х) ггк, где г !х!. Применяя следствие 11.2.1, получаем чо1» (Х П О,") ~ (! 1»п — '~~' Я д (г) у», где ьг вг хме, г так как !угад)!~1. Итак, д(г) ехр —, г', отсюда Г»гг » ( —; — 1-» ( — -~-!-«.!о, хх Ч (Х, А,) .

(«Р1,(ХПО:)1 Следовательно, чо!»(ХПР,")~Ч»(0, Х)У»ч(г) Чх»(0, Х)У»г». Чг»(0, Х).чо!» О,")чо!»О» что и требовалось доказать. Следствие 13.1.2. Пусть Х» с О," с9,' — ГМ-поверхность, проходящая через начало координат, 0 — центр шара О,". Тогда чо!» »5» '(чо!»»(Х Пд0,"), где 5» ' 1«~ПдР", -стандарп»ный (и — 1)-мерный эквапюр в сфере 5," '=дР,". Пусть, в час!Пности, задано комплексно-алгебраическая поверхноапь стпепени р, т. е. Х с-Р,", где п=2т, 0' с:.К' ы(3")е. Рассмотрим яересеченив Х П5~ Д У» — ', где (в случае общего положения) число ! ! компонент конечно, А! ( ОО, У»- ! — (й — 1)-мерные связные глад- кие компакпи«ые замкнутые подмногообразия в сфере 5» -'.

Тогда среди компонент У!»-! найдется компонента У»-», объем которой «велик», а именно: существует поспшянная си(я, р, и), не зависящая от радиуса г и от поверхности Х'~!(;, такая, что для некоторого номера !» выполняется неравенство с(!«, р, п)г»-!«! «чо1»»х'»-!, 8 некоторых частных случаях нера!!снство прс»ра- щонтся в равенство. Ф кя некотоРые ГеометРические следствия Доказательство. Рассмотрим функцию Чг(Х, Г, г), Г'= ( х ~; пусть А, Х П 5„"-11 тогда, в силу леммы 12 2, Ч'(Х, /, г) ч«чо1»СА„где СА,— конус над А, с вершиной в О, составленный из радиусов.

Так как о йгаб1, то (см. 310) н» -'-, г 1х(, т, е. г чо1»СА, — „чо1»,А,. В силу следствия !3.1.1 получаем чо1,(Х П Р",) »чо1»Г»';, ясно, что — ° чо1»» 5",— '=чо1» Р», т. е. имеем чо),В»-'~ чав»А„, что и доказывает первую половину следствия 13.1,2. Второе утверждение следует из того, что, как известно, число й) связных компонент У,'-' пересечения ХП П 5, '-' (в случае общего положения) ограничено сверху (при фиксированной степени р) постоянной с,(я, р, и) (независимо от выбора радиуса г и поверхности Х данной степени).

Гипотеза В. Пусть В" ~И" — выпуклая ограниченная область в Р' с кусочно-гладкой границей и Оеи В". Тогда существует постоянная с(В", я), зависящая только от В" и от й(п, такая, что для любой ГМ-поверхности Х'~Р" без границы проходящей через точку 0(Ч«»(0, Х)км1, дев Х' и Х" глобально минимально в 1««относительно своей границы А"-' Х" ()дВ"), существует хотя бы одна «достаточно большая» связная компонента У",-' границы А, т. е. среди компонент У",-', где А ь ( ) У»-', сУществУет компонента Уьл длЯ котоРой чо)»;Уь) м»с(В", й). «1 13,2, О наименьшем обьеме глобально мини- „,Ц» мальных поверхностей, проходящих череа фнкси- Ф м» рованную точну в многообразии. Следствие 13.2.1 Пусть четверка (М", 7", и, Х) удовлетворяет всем условиям теоремы 11.2.1; пусть М, = ф и х» ~ М вЂ” фиксированная точка (рис.37).ПустьфункцияМорсагнеимеетнаМ",х, нес ЗТ. точек минимума и максимума (седловые точки допускаются), а в точке х» функция г' достигает абсолютного минимума на М, г*(х,) = О.

Предположим, что в некоторых локальных координагпах в окрестности точки х, функция / имеет вид Г'(х) = = ~х(, где )х~ — длина вектора х»х в метрике М. Предположим, что интегральные траектории поля о в окрестности точки х» совпадают с интегральными траекториями поля ягаб / (например, вто имеет место для поля о=цгаб) на М). Пусть Х" с: М— любая глобально минимальная поверхность в М, проходяшря через точку х, (см. условия теоремы 11.2,1). Тогда имеем следующую оценку снизу функции обвема Ч'(Х, г, г) (на поверхности Х): Чо)» (Х () Д ~ г)) Ч" (Х, ~, г) ~ Чг» (хр, Х) у» д (г) ~ у» д (г), зе нАименьшие ОБъемы минимАльных повеРхностеи и'л. 3 где у„— 'я-мерный обвем евклидова я-мерного шара радиуса 1, Ч'»(ха, Х) — функция плотности Х в точке ха, « д(г) ехр ) ! юпах (и» (и, х) ~ нгаб г (х) !)~-'йг, »1«аг До к а з а те л ь с та о.

Из следствия 11.2.1 получаем Ч'(Х, ~, г)~~!пи ' ' ) д(г) ум Осталось доказать, что Ч'(Х, /, а)1 т»в (а) с 11ш ( ' !' ) = Ч',(ха, Х). Рассмотрим достаточно малую окреа ь т»д (а) стность У точки х,; тогда, в силу предположений и поведения и и ) в У = У(ха), можно считать, что подсчет постоянной с про- изводится в окрестности О в !ч", Осе Х', причем Г(х) ~1х1 Так как при малых а имеем Е, ~ Я«, ', то поле и ортогонально а к Е„следовательно, и»(о, х) —, а ~х~ н в силу следствия 13.1.1 имеем «е (х, й а) 1. чо1 (х О ( ~ х 1 ак а)) 11ш,м,) ап Утверждение доказано. 13.3.

0 наименьшем объеме глобально минимальных поверх- ностей, образованных интегральнымн траекториями поля о. Рас- смотрим важный случай, когда ГМ-поверхность Х" с=М« состав- лена из интегральных траекторий у„(Г) поля и, проходящих через все точки хеи А=д»Х с= М,. Следствие 13.3.!. Лусть Х= ()' уа(!). Тогда (в условиях «мл теоремы 11.2.!) имеет место соотношение Ч'(Х, ), г) ~11ш~ —.„Ч" (Х, /, а)))»(г), а ь(А(а) « еде й(г) = ехр ~ (гпах (и» ~ огай !, 'соза)1-'йг. Если о=йгад1, то О1«мг, со» а 1. Доказательство.

Так как Х ()у(1), то Т,Х»=р» т=!. Рассмотрим в плоскости Т„Ма декартовы координаты хи ..., х„, в которых нормаль и (1, О, ..., О). Пусть а,, ... ..., а, » — ортобазис в (н-й)-мерной плоскости (ча-»(а), ортого. нальной к Т„Х'. Тогда (о, ае) О, (т, ае) О, 1(дм- п-й; в частности, !ча-»(а) ортогонально к У,' '. Отсюда следует, что все векторы аи ..., а„ы л, т содержатся в одной (и-А+1)- мерной плоскости )ча-»+»(а, т), ортогональной плоскости У,'-'1 1ча-»" (а, т)~~У»» Т !г!». В случае общего положения можно считать, что л Чй Р-»(а), т. е.

что плоскость Т„Х" трансверсально $1Ч! ДЕФЕКТ МНОГООБРАЗНЯ Н ОБЪЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ 97 пересекает плоскость Т„Р„'-'. Тогда имеет место соотношение л-А ич=Ьи+~ испат. Условие ортогональности ич и а„1~змЧ 1 м И вЂ” й, даЕт Ь(И, а,)+~ИЧЧбд, О, т.

Е. Ьа,' «-ИЧ'=О. ОтСЮда Ч чилл Ь~а,'ач+Ь„. ПУсть г и/~о(. Тогда соз ф * (г, — у = ' ° соза= ~г, и); соз() * ~ — , и), l I т е « ~) ~ ( 1 В ° < 1т~ф э так как (г, ~ а,'а) О. Итак, 1 совф (т) г, Ьп) т, т — Ьп) т, Етчо ) соей сова (т, п) (т1(г, и) (т~ т, и) !т/(т, и) Утверждение доказано. Примеры ГМ-поверхностей вида Х = () т (!), для которых оценка превращается в точное равенство (выражая, тем самым, объем поверхности), см. в следующих параграфах. Пусть МА — — ф, хоеи М" — фиксированная точка, поверхность Х" проходит через х, и ((а)=~а!, где точка а принадлежит некоторой достаточно малой окрестности (7 (хч), и о = игад 7' на У(хч)",хо.

Тогда, соединяя вместе следствия 13.3.1 и 13.2,1, получаем Ч'(Х, 7, г)~ЧЧ(хо, Х) уп Ь(г), где Ь(г) яид(г), если о йгас(7 на всем М".. $14. Дефект риманова компактного замкнутого многообразия, геодезический дефект и наименьшие объемы глобально минимальных поверхностей реализующего типа 14.!. Определение дефекта многообразия.

Пусть М вЂ” замкнутое связное компактное риманово многообразие, хч — произвольная точка на М. Тогда многообразие М можно представить в виде клеточного разбиения, содержащего только одну и-мерную клетку (максимальной размерности) Вл, гомеоморфную и-мерному диску, граница которой приклеена к некоторому клеточному комплексу С размерности, не превосходящей и — 1, Мл = Рл ц С, где д0" -~ С. Подкомплекс С определен неоднозначно. Тогда М, (хч() С) гомеоморфно диску 0л с выброшенной точкой хо, Рассмотрим, далее, на М непрерывную функцию Г, гладкую на Мл',(хчЦС), имеющую ровно один минимум в точке хч, 7 (хч) = О, принимающую максимальное значение, равное 1, на С н не имеющую критиче- СКИХ ТОЧЕК Иа ДОПОЛНЕНИИ К ХОО С, т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее