Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 20

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 20 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 20 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 20 - страница

Пример 2. Пусть М 0" ()т)'~0" (О), где 0'()г) — шар геодезического радиуса )т, вложенный в сферу о'"(д) радиуса д тогда )г д в», где ~р» — угол сферической зоны, определяющей М. Если г(х) г (длина меридиана от У до х), и йгаб/, то В", (шар радиуса г), г ~р д к 1м 1»$п»»ФЙ о и»(' х) Ч'-а г() ° Совершенно аналогично вычисляется коэффициент к» в РР", в пространстве постоянной отрицательной кривизны (тригонометрические функции заменяются здесь на гиперболические).

Явная формула для к» в СР" (снабженном стандартной ннвариаитной метрикой) легко получается из представления СР" в виде фактора и„„(и,хи„. Пример 3. Пусть о — г-монотонное поле на М такое, что б(т(и) О (поток несжимаемой жидкости); интересен предельный случай: й а. Рассмотрим Р,~М; тогда для почти всех хенг", траектория т„поля — о заканчивается при 1 Т; на крае М»', число Т, '(при условии у (О) х) определено одноаиачно и задает время, необходимое для того, чтобы вдоль траектории у, (т) пройти путь от точки х у (0) до точки у„(Т,') ~ Мь Прямое вычисление дает, что и„(о, х) Т;~ о(х)(. Если о дгаб/, то я„= Т, '~дгаб~(х) ~.

Легко вывести и общую формулу для коэффициента к„(о, х) беа предположения б(т (и) О; оказывается, к„выражается через интегралы вдоль траектории у от б(ч(о), Результат имеет вид гдэ р- конечная точка траектории, 1» н 1» †значен времени, отвечающие начальной и конечной точкам. Пример 4. Если в качества М взять внутренность эллипсовдв в й, заданную неравенством а»х1+...+а»х»'~г», где((х) $ п) ОсновнАя теОРемА О Функции овъем» ~ аЩ О бган, топрип 2имеемк» вЂ” — „,гдеМ, 0 ~аг»д)(») ( 1 1 2 (а»+а») -' начало координат).

Для произвольного и имеем п»~ и = ! яг»д)(у) 1 Р а 1 —— ! 2Ха йю 1 к-~ где х„,.„ х„ — координаты начальной точки, а у,, ..., у„ — конечной точки траектории поля О =вагаб~. Роль введенного нами козффициента н» заключается в том, что универсальная оценка снизу функции объема Ч'(Х», г) существенно зависит от к», Однако изучение н» представляет и самостоятельный интерес.

Функция исчерпания у из (501 обладает тем свойством, что области (у:~ г) псевдовыпуклы. Рассмотрим случай, когда функция А и»(О, л)~О~, О= йгад/, рассмотренная иа гнперповерхности Р, дВ„, не зависит от точки х ев Р,. Например, это имеет место для шара в Р'.

Есть основания считать, д» что условие,— =0 (для лтР„) аналогично условию псевдовы- а» пуклости волны В, в комплексном (кзлеровом) случае. й 11. Формулировка основной теоремы об оценке снизу функции объема 11.1. Функции взаимодействия глобально минимальной поверхности с фронтом волны. Пусть х ев Є҄Є— касательная плоскость к фронту Р„п(х)— единичная внешняя нормаль л к Т Р„ направленная в область ((» г). Если и(х) — знаФ~,~ » ЧЕННЕ (-МОНОТОННОГО ПОЛЯ и В и неособой точке х, то опреде- / » гх» лен угол а между нормалью и / и вектором о. Хотя угол а г л не определен в особых точках, зто не повлияет на дальнейшие рассуждения.

Рассмотрим в М ГМ-по- та"' вархность Х я ю (1,). Посколькуд,Хчь()), то для почти всех значений г ~ (О, 11 поверхности Х и Р, пересекаются Рнс, 34. трансверсально (в регулярных точках Х), в частности, чо1,,(ХОР,)(сс. Пусть хи ХПР,) положим У» ~ Т,ХПТ Р,. Так как У'» с=Т,Х,то определена аб ньимвньшив овъамы минимлльиых повеэхностен (гл.ь нормаль тен Т Х, т1 У, '~, т — внешняя нормаль поотношению к Р„(рис. 34). Пусть () — угол между и и т. Так как о-(-монотонное поле, то о ф У", ' и однозначно определена й-мерная плоскость Я'„ натянутая на плоскость У', и вектор о, Пусть 1- внешняя нормаль в плоскости й," к плоскости У, '' (рнс.

34). Нормаль ! расположена по ту же сторону от Т Р„ что и векторы о, и, т. Пусть ~р — угол между ( и о, Все три угла а, (), ~р являются (почти всюду) на Х гладкими функциями точки х ен Х. !1.2. Формулировка основной теоремы об оценке объема, Теорема 11.2.1. Пусть ( — функция Морса на М", 0~ а ( (х) ч= 1, дМ =М|() Мм 1!и, О, ~!и, 1, и — ~-монотонное поле на М; все критические точки функции ( являются особыми точками поля о, все особые.пючки х«поля невырождены и О(Х 1пдхь~й — 2, где й — целое число, й с.п. Пусть Хьс: М"— глобально минимальная поверхность Х ~ а (Ь), д1Х ~ 9, к, чь О, Тогда Ч'(Х, (, Р)~1(ш,'(„' И(Р), где постоянная Г Иш,'( ' не зависши от Р и определяется чк(х, И а) а ь только ГМ-поверхностью Х; функция Ь(г) имеет вид й Р ехр ег р г шах (иь(о, «) ,'ата («) )соь~р «сов «) ' кяР Таким образом, поведение функции Ч'(Х, Г, г) определяется ев поведением в момент времени а О, т. в.

на крае Мо и геометрией многообразия М. Зта оценка точна в том смысле, что сущеапвуют достаточно богатые серии четверок (М, Х, (, о), для которых неравенство превращается в равенство; в этим случаях мы получаем точное и явное (в терминах коэффициента деформации поля) выражение для функции объема Ч'(Х, ), Р) на ГМ-поверхности, что позволяет, в частности, точно вычислять объем втой ГМ-поверхности. функция И(г), задаваемая неопределенным интегралом, определена с точностью до постоянной, но зто не влияет на оценку, так как в формулу для Е' входит выражение 1И(а)]-', что и компенсирует неопределенность.

Следствие 11.2.1. В условиях теоремы 11,2.1 имеем Ч'(Х, (, Р)~1(ш '( ' д(Р), где о ч (а) ВР кмР Сущеалвуют достаточно богатые серии четверок (М, Х, (, о), $!Ф ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ОВ ОЦЕНКЕ ОБЪЕМА 67 для которыя впю неравенство превращается в равенспмо, что и дает явные формулы для объема тоник ГМ-поверхностей. Поскольку «(г) ) д (г) при всех г, то оценка в следствнн 11.2.1 более грубая, чем в теореме 11.2.1, однако, как показывают многочисленные приложения, она достаточна для получения нетривиальных утверждений о поведении функции плотности Ч'»(хь, Х). Теорема 11.2.1 является следствием следующего более глубокого утверждения о поведении функции Ч'(Х, 7, г).

Теорема 11.2.2. Луста чепверка (М, Х,(, о) удовлетворяет всем условиям теоремы 11.2.1. Тогда кусочно-непрерывная функция ЧР(Х, й р) %Р(Х, й р,) Ч'(Х, (, р») «( ) не убывает по г т' е' «( ) ~ «(р') при г с р р ~ р'»'р ~~и-'ь-р! ч (р ) ч (р») Теорема 11.2.1 н следствие 11.2.1 получаются из теоремы 11.2.2 при г»- О, г»- О. $ 12.

Доказательство основной теоремы об оценке объема Начнем с топологической части задачи. Отметим, что о ГМ-поверхности Х мы знаем немного: 1) Х ев гд (Ь), (, ~ 0; 2) Х вЂ” ГМ-поверхность, где д,Х~ф. Наша ближайшая цель — перестроить ГМ-поверхность, заменив ее на другую (вообще говоря, не минимальную), о которой мы будем знать значительно больше, чем об Х. В то же время, осуществляя перестройку, мы должны установить связь между объемом Х и объемом перестроенной поверхности Х', чтобы затем, изучив Х', сделать выводыофункции объема на Х.

Отметим одну из трудностей, стоящих на пути к доказательству. Мы вынуждены опираться на теорему существования ГМ-поверхности ХБЕЮ(А,), не являющейся, вообще говоря, подмногообразием ввиду возможного наличия сингулярных точек. Рассмотрим поверхность уровня Р, (7' г); в случае общего положения А", ' Р,П Х вЂ” (я — 1)-мерная поверхность (см. главу 6 и [29[ — [311) в Р,. Введем функцию $ (г) ~ чо1, » (Х П Рр) й(; тогда $(г) непрерывна по г (см. главу 6 н [3!1, [32!), в отличие от функции Ч'(Х, 7, г), которая, вообще говоря, разрывна.

В главе 6 будет доказано, что почти для всех г ев [О, 11 выполнены соотношения чо!» »А,(ОО, чо!А, $,' чо!»»(ХПР,). Рассмотрим й-мерную трубку СА, Ц у„(г) (где О~г==Т„'см. 5 10), р мл» являющуюся объеднненнем всех интегральных траекторий поля — о, выходящих из точек А,. В случае общего положения трубка СА, является й-мерной поверхностью (в смысле 5 7), расположенной в области [(ч--г). Построим новую поверхность Х'=[Х",(ХП () ((ч:; г))1 [) СА„т..е.

заменим часть поверхности Х, оказавшуюся в области (~~г), на трубку СЛ„ зв нАименьшие озъемы минимАльных повеРхностен ]гл. 3 Ле м м а 12.1. Новерхность Х' по-прежнему заклеивает Р в группе Н~":~п(А) при вложении А- Х'/Х'ПМ,=Х'(д,Х'. Другими словами, Х'~В(1.), 1.ФО. Это означает, что укаэанная перестройка поверхности Х не выводит нас эа пределы вариационного класси Ю (Р). Доказательство. Рассмотрим, для определенности, гомо- логический случай.

Докажем, что при вложении 1,: Л -~СА„ имеет место соотношение 0»Н„,(А,)=0 в Н»»(СА,). Предположим сначала, что й-мерная поверхность СЛ, не содержит ни одной особой точки поля о; тогда СЛ,~,(СА, П М,) гомеоморфно прямому произведению )'хА, (в силу /-монотонности поля о); но тогда очевидно, что вложение и А,- СА„/СА„ПМ, полностью аннулирует группу Н»,(Л,), так как цикл 1А,) гомологичен объединению циклов, лежащих в границе М,. Рассмотрим общий случай. Пусть х» ~ (~(г) — особые точки, 1пбх»=),. По условию теоремы Оч=», =й — 2. Пусть г,=шах1(х»); тогда 0(г»(г; в интервале (г„г) нет особых точек поля о, а потому А, гомеоморфно А,, при з-» г„з»г». В частности, А, и А, гомологичны в М.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее