А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 78

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 78 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 78 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 78 - страница

(8) Поэтому ![Р— ~[! < Ео[г — г!. (9) Но для функции 1, г))г, "т" = з19п (2 — г) = — 1, 2<я, имеем [Еф — Еч' ! = Ео !а — 2!. (10) Из (9) и (1О) получаем требуемое равенство (6). Соотношения (7) следуют из (6), поскольку я+2=2 Я-п. н.). П $9. РАССТОЯНИЕ ПО ВАРИАЦИИ Следствие 1.

Пусть Р и Р— два распределения вероятносгпей на ()с, М()г)) с плотностями вероятностей (относительно меры Лебега дх) р(х) и р(х), хай. Тогда ]]Р— Р]! = ') ]р(х) — р(х)]дх. (В качестве меры 9 надо взять меру Лебега на ()1, ВУ()1)).) Следствие 2. Пусть Р и Р— две дискретные меры, Р=(р!, рз, ...), Р =(р!, рз, ...), сосредоточенные в счетном числе точек х!, хз, ... Тогда (12) ЫР др дО д9 Определение 3.

Расстоянием Какутани-Хеллингера между мерами Р и Р называется неотрицательная величина р(Р, Р) такая, что ~(Р, Р)=-ЕО! 5- ъ6]т. (13) Поскольку (14) то становится понятной символическая запись величины рз(Р, Р) в виде рз (Р, Р) = — ~ ! ЙР - Л Р ]'. 2„ (15) (В качестве меры !е надо взять считающую меру, т. е. такую, что 1'„)((х!)) = 1, ! = 1, 2, ... ) 2. Обратимся теперь к еше одной мере близости вероятностными мерами, во многом (как это будет следовать из дальнейшего) родственной близости мер по вариации.

Пусть Р и Р— вероятностные меры на (й,,рг) и Π— третья вероятностная мера, доминирующая меры Р и Р, т. е. такая, что Р а !',), Р~а ГЕ. Снова обозначим ГЛ. и!. СХОДНМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Если положить Н(Р, Р) = ЕОъlгг, (16) то по аналогии с (!5) можно символически записать Н(Р,Р)=~ ЯЕИ. Из (13), (16), а также из (! 5), (! 7) понятно, что рз(Р, Р)=! — Н(Р, Р). (18) Величина Н(Р, Р) называется интегралом Хеллингера порядка 1/2. Для многих целей удобным оказывается рассмотрение интегралов Хеллингера Н(а; Р, Р) порядка а Е (О, 1), определяемых формулой Н(а; Р, Р) = Еог«г ~ -« (17) или, символически, Н(а; Р, Р) = ~ (йР) (дР)1 (20) Ео(г г~ )=Ей (г') (г')~ йр, йр где г' = —, 2' = — .

Обозначим о = —. Тогда г'=го, 2'=го и й9 Д3' ЕО(г г~ )=ЕО(ог г~ )=ЕО(г') (2') что и доказывает первое утверждение. 2. если р(Р, Р) = О, то г = 2 (!',1-п. н.), откуда Р = Р. симметричность р(Р, Р) =р(Р, Р) очевидна. Наконен„пусть Р, Р', Р" — три меры, Р« 1Е, Ясно, что Н ! -; Р, Р) = Н(Р, Р). ~2' Чтобы определение 3 было корректным, надо показать, что величина р~(Р, Р) не зависит от выбора доминирующей меры и что действительно р(Р, Р) удовлетворяет требованиям, предъявляемым к «расстоянию». Лемма 3. !. Интеграл Хеллингера порядка аЕ(0, 1) (а следовательно, и р(Р, Р)) не зависит от выбора доминирующей меры 9. 2.

Функция р, определенная в (13), является метрикой на множестве вероятностныг мер. Доказательство. 1. Если мера 9' доминирует Р и Р, то !',!' домини- Р+Р руст и меру 9= . Поэтому достаточно доказать, что если 9«9', 2 то $9. РАССТОЯНИЕ ПО ВАРИА11ИИ дР, дР' и др" Р'«гг и Р" «1Е се= —, х'= —, хп= —. Используя справедливость дО' гиг' дО ' неравенства треугольника для нормы в 1.9(Й, л, 1Е), получаем [Ед(т/г — 1/апп) ]'~ ( [ЕЛЯХ вЂ” 1/2') ]чз+ [Ед(т/2' — 1/ап) ]'~, т. е.

р(Р, Р")< р(Р, Р)+р(Р', Рп). Из определения (19) и теоремы Фубини 5 6 гл. П) непосредственно вытекает, что в том случае, когда меры Р и Р являются прямыми произведениями мер, Р=Р~ х ... х Р„, Р=Р~ х ... х Р„(см. п. 10 $6 гл. П), интеграл Хеллингера между мерами Р и Р равен произведению соответствующих интегралов Хеллингера: и И(о; Р, Р) =Д И(о; Рп Р,), 1=1 Следующая теорема раскрывает связь между расстоянием по вариации и расстоянием Какугани — Хеллингера (или, эквивалентно, интегралом Хеллингера). В частности, она показывает, что эти расстояния определяют одну и ту же топологию в пространстве вероятностных мер на (й, .и ). Теорема 1. Имеют место следующие неравенства: яв — нр,Рц(н-Рц((чз-и!Р,Ря, вч ЦР— Р$$ (2~~ — Н~Р. Р~.

(22) В частности, 2рз(Р, Р) < []Р— Р[] < (Яр(Р, Р). (23) Доказательство. Поскольку И(Р, Р) < 1 и 1 — хз < 2(1 — х) для 0< <х < 1, то правое неравенство в (21) вытекает из (22), доказательство 1 которого дается следующей цепочкой неравенств (с !',) = — (Р+ Р)): 2 1 —,Р-П~=ц~-*~(ЛЕТ:*Г=,/Г-кМ~= =(т — те ( ее =ц~~ — е(/(т() ((й-(е( та) = '7 — РГР,А. Наконец, первое неравенство в (21) следует из того, что в силу неравенства -[ьlг — т/2 — х] ~(]х — 1], еЕ[0,2], 466 ГЛ. Ш.

СХОДНМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР имеем (Я = -(Р + Р)) ! 2 Н(р р)=рз(р, р)=-Ео(Й вЂ” ~2 — г] <Ео]г — 1]= ]]р р]]. 2 2 Замечание. Сходным образом показывается, что для всякого о Е (О, 1) 2г — Н~ ',Р.РЦ())Р— и((( (г — О(~;Р,Р)), е() где с — некоторая константа. Следствие 3. Пусть Р и Р", и>1, — вероятностные меры на ((),.эг). Тогда (л-+ос) ]]Р— Р]] — +0 гь Н(Р, Р) — + 1 4Ф р(Р~, Р) -+0 ]]Р" — Р]]-+2 гь Н(Р", Р)-( О гь р(Р", Р)-(1. Следствие 4.

Поскольку в силу (5) Вг(Р, Р) =! — -]]Р -Р]], 2 то из (21) и (22) имеем В частности, пусть Р"=Рх...хр, Р"=Рх...хР П л — прямые произведения мер. Тогда, поскольку Н(Р", Р") =(Н(Р, Р)]" =е "", Л= — !п Н(Р, Р) > р~(Р, Р), то из (25) получаем 1 ,-2хп ( д.(рл рк) С -А( ~ -ьр'1РР1 (26) Применительно к рассмотренной выше задаче различения двух ста тистических гипотез из этих неравенств вытекает следующий резуль тат. Пусть Еь сз, ...

— независимые одинаково распределенные случайны элементы, имеющие распределение вероятностей или Р (гипотеза Н), или Р (гипотеза Й), причем Р 4 Р и, значит, рт (Р, Р) > О. Тогда при л — оо фун каня в"г(Р", Р"), характеризующая качество оптимального различения ги потев Н и Й по наблюдениям Еь ..., С„, убывает к нулю экспоненциально быстро.

$9. РАССТОЯНИЕ ПО ВАРИАЦИИ 467 3. С помощью введенных выше интегралов Хеллиигера порядка сг удобно выражать условия абсолютной непрерывности и сингулярно- спти вероятностных мер. Пусть Р и Р†д вероятностные меры, заданные на измеримом про- странстве ((),лг). Напомним, что мера Р абсолютно непрерывна от- носительно меры Р (обозначение: Р « Р), если Р(А) =0 всякий раз, ко- гда Р(А) =0 для Аале. Если ЫРи Р«Р, то говорят, что меры Р и Р эквивалентны (Р Р). Меры Р и Р называются сингулярными или ортогональными (Р.! Р), если существует А Елг такое, что Р(А) =1 и Р(А) = 1 (т. е. меры Р и Р «сидят» на разных множествах).

йр йР Пусть 0 — вероятностная мера, Р «Я, Р « О, е = —, 2 = —. %' йО' Теорема 2. Следующие условия являются эквивалентными: (а) Р«Р, (Ь) Р(г >0)=1, (с) Н(о; Р, Р)- 1, а40. Теорема 3. Следующие условия являются экеивалентныии: (а) Р) Р, (Ь) Р(е>0)=0, (с) Н(о; Р, Р)- О, о10, (й) Н(а; Р, Р) = 0 для всех о е (О, 1)„ (е) Н(а; Р, Р)=0 для некоторого ое(0, 1). Доказательство обеих теорем будем проводить одновременно. Со- гласно определению е и г, (27) Р(г=О) =Ео[г/(в=О)[ =О, Р(А П (е > 0)) = Ео [И(А П (г > 0)) [ = = Е, [2 — У(А О (е > 0))] = Е [- У(А Г! (г > О))] = Е [-!(А)] .

(28) Следовательно, имеет место «разложение Лебега»: Р(А) = Е [- У(А)] + Р(А й(г =0)), А Е.Р', (29) в котором величина с = — называется производной Лебега («абсолюте г но непрерывной компоненты») меры Р по (отношению к) мере Р йр и обозначается †„ (ср. с замечанием к теореме Радона †Никоди, $6 гл. П), Отсюда сразу получаем эквивалентность (а) и (Ь) в обеих теоремах.

ГЛ. 1Н. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Далее, поскольку г г' — гг'(г > 0), а» О, и для а Е (О, 1) 0<г г' <аг+(1 — а)г<г+2 с ЕО(г+ 2) = 2, то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости !пп Н(а; Р, Р)=ЕОИ(г>0)=Р(г>0) я10 ~~-аг р»(х) = — е 2 ~(2~г 1лг»»1~ р»(х)= — е =2 зг'2я Поскольку, как показывает простой подсчет, (,, ) П (, м») »=! где Н(а; Р„10»)= ) р»(х)р' (х)г(х=е то --(-~ — 1 $1~,-»*1 гг(1-а) г Н(а; Р, Р)=е Из теорем 2 и 3 получаем, что ЫРс=> Р«Р е» Р-Р е» 'С (໠— а»)'<оо, »=! Р ! Р,м ~; (и» й»)2 оо и, значит, (Ь) е» (с) в обеих теоремах.

Наконец„покажем, что во второй теореме (с) е» (г)) е» (е). Для этого надо лишь заметить, что Н(а; Р, Р) = Е ! =1 l(г > О) и Р(2 > О) = 1. Зна~г1 чит, для каждого а Е (О, 1) Р(г > 0)= 0 е» Н(а; Р, Р) = О, откуда и следуют импликации (с) е» (д) е» (е). П Пример 1. Пусть Р = Р, х Р2 х ..., Р =Рг х Р2 х ..., где Р» и л— гауссовские меры на (!т, Яф)) с плотностями 49. РАсстОяние пО ЕАрилции 469 Пример 2. Снова пусть Р =Р~ х Рз х ..., Р =Р~ х Рз х ..., где Р» и Р» — распределения Пуассона с параметрами Л» > 0 и Л» > 0 соответственно.

Тогда нетрудно показать, что ЫРеь Р«Р е» Р Р е» ~ ~(~/л» вЂ” х/л~)з<оо, »ьп Р~.Р»о ~ ~(хД~ — Л~)з=оо. »»н (30) 4. Задачи. 1. В обозначениях леммы 2 положим Р А Р = ЕО(х Л 2), где хлг =пип(х, г). Показать, что )!Р— Р!! =2(1 — РА Р) (и, следовательно, е г(Р, Р) = Р А Р). 2. Пусть Р, Р„, и > 1, — вероятностные меры на ()7, М(к)) с плотностями (относительно лебеговской меры) р(х), р„(х), и > 1. Пусть р„(х) — р(х) для почти всех х по мере Лебега. Показать, что тогда !!Р-Р,!)= $ )р(х) — р„(х)!Ых- О, и-+со Е!п =, если Р«Р, ар ар' со в противном случае.

Показать, что К(р, Р) > — 2 !п(1 — рз(Р, Р)) > 2рз(Р, Р). 4. Доказать формулы (11), (12). 5. Доказать неравенства (24). 6. Пусть Р, Р, !',! — вероятностные меры на ()7„Я()г)), Р * !) и Р* !,!— их свертка (см. п. 4 $8 гл.

11). Тогда !!Р* 4Р— Р * О!! < !)Р— Р!! 7. Доказать (30). (ср. с задачей 17 в 9 б гл. П). 3. Пусть Р и Р— две вероятностные меры. Определим информацию Кульбака К(Р, Р) — информацию в пользу Р против Р— равенством ГЛ. ПЬ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 470 8. Пусть С и 47 — случайные элементы на (й, лг, Р) со значениями в измеримом пространстве (Е, и-). Показать, что (Р(( Е А) — Р(г7 Е АИ < Р(~ Ф г7), А Е 8. 2 1О.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее