А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 77

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 77 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 77 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 77 - страница

$8. «МЕТОЙ ОЙНОГО ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРОСТРАНСТВА» 487 Теорема 2. 1. Пусть (Е, У, р) и (Е', в", р') — сепарабельные метрические пространства, Х„-+Х. Пусть отображение Ь = Ь(х), х е Е, Р(ип Х(ы) нагл) =О. (6) ! 1»ь)~.и»-1»и|чн)/~. о Е е (8) 15 — 9727 Тогда Ь(Х„)- Ь(Х). 2. Пусть Р, Р„, и > 1, — вероятностные распределения на сепарабельном метрическом пространстве (Е, У, р) такие, что Р- Р и й =Ь(х) — измеримое отображение (Е, У, р) в сепарабельное метрическое пространство (Е', Ф', р'). Пусть Р(х 1 "х Е Ьь) =О.

Тогда Р, "— Р", где Р„"(А) = Р„(п(х) е А), Р" (А) = Р(й(х) е А), А е в '. Доказательство. Как и в теореме 1, достаточно доказать справедливость лишь, скажем, первого утверждения. Пусть Х* и Х„', и > 1, — случайные элементы, построенные «методом «У «У одного вероятностного пространства», такие, что Х' =Х, Х„' =Х„, и > 1, н Х„* — ''+ Х*. Пусть А'=(ы': р(Х„', Х') ~ О), В'=(ы': Х*(ы*)е25„). Тогда Р"(А*15В') =О и для ы* рА' С1В* Ь(Х„'(«7*)) — ~ й(Х'(ю")), а это означает, что й(Х„') — ' — '+Ь(Х').

Как уже отмечалось в п. 1, отсюда следует, что й(Х„') — й(Х*). Но й(Х„') =п(Х„), й(Х*) = й(Х). Поэтому й(Х„) -+ Ь(Х). С) 4. В $ 7 при доказательстве импликации (с) теоремы ! было использовано утверждение (13). Приведем сейчас его доказательство, снова обращаясь к «методу одного вероятностного пространства». Пусть (Е, Ю, р) — сепарабельное метрическое пространство и У вЂ” класс равностепенно непрерывных функций у= д(х) таких, что (у(х)(<С для всех х е Е, д ~ У и некоторой константы С. Теорема 3. Пусть Р, Р„, и > 1, — вероятностные меры на (Е, Ю, р) такие, что Р„- Р.

Тогда *.р !1«)~'.ич — 1«>~<а)/-о. - . п1 ЕЕУ ~е е Доказательство. Пусть (7) не имеет места. Тогда существуют а > О "функции д1, дз„... из У такие, что 458 ГЛ. Ш, СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР длл бесконечно многих а. Переходя «методом одного вероятностного пространства» к случайным элементам Х" и Х„(см. теорему 1), перепишем (8) в виде )Е*д„(Х„*) — Е*д„(Х') ! > а > 0 (9) для бесконечно многих и. Но в силу свойств класса У для всякого е > 0 найдется такое б > О, что )д(у) — д(х)! < е для всех д Е У, если р(х, у) <б, Кроме того, !у(х)! <С для всех хЕЕ и дЕУ.

Поэтому (Е*у»(Х;) — Е*у»(Х*)((~ Е'((фп(Х,*) — у»(Х')!; р(Х;, Х') > б)+ + Е" ((у» (Х„*) — д»(Х') (; р(Х„', Х') < б) < 2СР*(р(Х„', Х*) > б) + е. Поскольку Х;, --' — ' Х*, то Р'(р(Х,"„Х*) >б)- О, н — оо. Следовательно, в силу произвольности е> 0 )нп (Е'д„(Х„') — Е*д„(Х")(=О, что противоречит (9). П 5. В этом пункте идеи «метода одного вероятностною пространства», использованные в теореме 1, будут применены к оцениванию сверху значения метрики Леви †Прохоро ЦР, Р) между двумя распределениями вероятностей на сепарабельном метрическом пространстве (Е, Ю, р). Теорема 4. Для каждой пары мер Р, Р можно найти вероятностное пространство (й', зг', Р*) и случайные элементы Х и Х на нем со значениями в Е такие, что распределения Х и Х совпадают с Р и Р соответственно и ЦР, Р) <др.(Х, Х)=!п((е>0: Р'(р(Х, Х) >е) <е). (10) Доказательство.

Согласно теореме 1, действительно можно найти вероятностное пространство (й',,У*, Р') и случайные элементы Х и Х такие, что Р*(ХЕА)=Р(А), Р'(ХеА)=Р(А), А еег. Пусть е>0 таково, что Р'(р(Х, Х) > е) < е. Тогда для всякого А е Ю Р(А) =Р'(Х ЕА)=Р*(Х ЕА, ХЕА«)+Р'(ХЕА, ХфА')( < Р*(Х Е А «) + Р '(р(Х, Х) > е) < Р(А') + е, 48. «МЕТОД ОДНОГО ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРОСТРАНСТВА» 459 где А' = (х Е Е: р(х, А) < е). Поэтому по определению метрики Леви — Прохорова (п. 2 $7) 3 (Р, Р)<е. (12) Нз (! 1) и (12), переходя к !п( по е>0, получаем требуемое Утверждение (10).

П Следствие. Пусть Х и Х вЂ” случайные элементы, заданные на вероятностном пространстве (й, »«, Р) и принимающие значения в Е, Пусть Рх и Р» — их распределения вероятностей. Тогда Е(Рх, Р») < !»Р(Х, Х). Замечание 1. Проведенное доказательство показывает, что на самом деле (10) справедливо всякий раз, когда на каком-либо вероятностном пространстве (й', Я'", Р*) можно указать случайные элементы Х и Х со значениями в Е, распределения которых совпадают с Р и Р и для которых множество (ы*: р(Х(ы*), Х(ш*)) > г) Е Я*, е > О. Тем самым качество оценки (10) существенным образом зависит от тою, насколько удачно по мерам Р и Р построены объекты (й, Я', Р') и Х, Х.

(Процедуру построения й*, Р', Р' и Х, Х по Р и Р называют каплингом — от англ. соир(!пд — соединение, сцепление.) Можно, например, взять «каплингмеру» Р' равной прямому произведению мер Р и Р, но такой выбор не приводит, как правило, к хорошей оценке (!0). Замечание 2. Естественно поставить вопрос о том, когда в (10) имеет место знак равенства. На этот счет приведем без доказательства следующий результат: пусть Р и Р— две вероятностные меры на сеаарабельном метрическом пространстве (Е, ь', р); тогда существуют такие (й*, я ', Р*) и Х, л, что ЦР, г ) = ар (Х, Х) = 1п((г > 0: Р» (р(Х, Х) > е) < г), 6.

Задачи. !. Показать, что в случае сепарабельных метрических пространств действительная функция р(Х(ы), У(ь!)) является случайной величиной для любых случайных элементов Х(ы) и У(ы), определенных на некотором вероятностном пространстве (й, Я, Р). 2. Доказать, что функция др(Х, У), определенная в (2), является метрикой в пространстве случайных элементов со значениями в Е.

3. Доказать справедливость (5). 4. Показать, что множество Ьь = (х Е Е: Ь(х) не р-непрерывна в точке х) Е в. !5 ГЛ. Ш. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР ф 9. Расстояние по вариации между вероятностными мерами. Расстояние Какутани — Хеллингера и интегралы Хеллингера. Применение к абсолютной непрерывности и сингулярности мер 1. Пусть (й, У') — измеримое пространство и Я =(Р) — семейство вероятностных мер на нем. Определение 1. Расстоянием ло вариации между мерами Р и Р из о" (обозначение: ))Р— Р11) называется полная вариация меры (со знаком) Р— Р, т.

е. величина мг-~) р!!Ф )юР-~>/, (О где зир берется по классу всех лг-измеримых функций рйи), удовлетворяющих условию ((е(и )( < 1. Лемма 1. Расстояние ло вариации !(Р— Р)) =2 зир (Р(А) — Р(А)!. (2) АЕУ Доказательство. Поскольку для всякого А е Я Р(А) — Р(А) = Р(А) — Р(А), то 2)Р(А) — Р(А)) = 1Р(А) — Р(А)!+ )Р(А) — Р(А)! < ()Р— Р1!, где последнее неравенство следует из (1). Для доказательства обратного неравентсва обратимся к разложению Хана (см., например, [33, $5 гл.

ЧЦ или (70, с. 121]) мерм со знаком раз Р— Р. Согласно этому разложению, мера р представима в виде р= =р+ — р, где неотрицательные меры р+ и р (верхняя и нижняя вариации меры р) имеют вид р+(А) = ) с(р,,и (А) = — ) г(р, А еЯ, Аом АЛМ где М вЂ” некоторое множество из Я.

При этом Чагр=Чагр++Уагр =и+(П)+,и (0). Поскольку р,(П) =Р(М)-Р(М), р (П) =Р(М)-Р(М), то !!Р— Р!! =(Р(М) — Р(М))+(Р(М) — Р(М)) <2 знр )Р(А) — )э(А)1 С) А Е.Р $9. РАССТОЯНИЕ ПО ВАРИАЦИИ 46! Определение 2. Последовательность вероятностных мер (Р„)„>~ называется сходящейся по вариации к мере Р (обозначенне: Р„- — ' Р), если [!,Є— Р]] - О, л — оо. Из этого определения н теоремы 1 $ ! нетрудно видеть, что сходнмость по вариации вероятностных мер, заданных на метрическом пространстве (й,.йг, р), влечет нх слабую сходнмость.

Близость распределений ло вариации является, пожалуй, наиболее сильной формой близости вероятностных распределений, поскольку если два распределения близки по вариации, то практически в конкретных ситуациях нх можно считать неразличимыми. В этой связи может создаться впечатление, что исследование расстояния по вариации не представляет большого вероятностного интереса.

Однако, например, втеореме Пуассона (ф 6 гл. 1) сходнмость бнномнального распределения к пуассоновскому имеет место в смысле сходнмостн к нулю расстояния по вариации. (Ниже, в $12, будет дана оценка сверху для этого расстояния.) Приведем также пример нз области математической статистики, где необходимость нахождения расстояния по вариации между мерами Р н Р возникает естественным образом в связи с задачей различения по результатам наблюдений двух статистических гипотез Н (нстннное распределение есть Р) н Й (нстннное распределение есть Р) относительно того, какая из вероятностных моделей (П, се, Р) нлн (й,,йг, Р) более соответствует «статнстнке» результатов наблюдений. Если ш е Й трактовать как результат наблюдения, то под тестом (для различения гипотез Н и Й) понимают любую м -измеримую функцию у = р(ш) со значениями в [О, 1], статистический смысл которой состоит в том, что !с(ш) есть «вероятность, с которой принимается гипотеза Й, когда результат наблюдения есть ш».

Будем качество различения гипотез Н н Й характеризовать вероятностями ошибок первого и второго рода: а(у) = Еу(ш) (»» «вероятность принять Й, если верна Н»), )у(Р)=с(1 — р(ш)) (= «вероятность принять Н, если верна Й»), где Е н Š— усреднения по мерам Р н Р.

В том случае, когда гипотезы Н н Й Равноправны, оптимальным естественно считать тест !ь* =~р*(ш) (еслн таковой сушествует), который минимизирует сумму ошибок а(Р)+)у(!ь). Положим й'г(Р, Й) = !п1 [а(!с) +)3(<р)]. (4) ГЛ. !и. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Пусть !',)=-(Р+Р) и г= —, г= —. Тогда 1 дР йр 2 сй;>' д0' яг(Р, Р) = !п! [Е!с+ Е(1 - у) ! = !и! ЕО [г!ь+ г(1 — !с) [ = 1 + !я! Ео [р(г — 2) ! (здесь и далее Ео — математическое ожидание по мере !'!). Нетрудно видеть, что !п1 достигается на функции ф (ш) =/(г <г), и поскольку Ео(г-г) =О, то Вг(Р, Р)=1 — -ЕО[г-2[=1 — -[[Р— Р[! ! 1 2 2 (5) где последнее равенство следует из приводимой ниже леммы 2.

Таким образом, из (6) ясно, что качество различения гипотез, характеризуемое функцией Лгг(Р, Р), зависит от степени близости мер Р и Р именно в смысле расстояния по вариации. Лемма 2. Пусть !е — некоторая о-конечная мера такая, что дР дР Р«Ге, Р«() из= —,2= — — производные Радона — Никодима мер Щ' д!> Р и Р относительно !е. Тогда (6) [[Р— Р[[ = Ео[г — г! 1 и если !Е = -(Р+ Р), то 2 [[Р— Р[! = ЕО [г — 2! = 2ЕО[1 — г[ = 2ЕО [1 — г!. (7) доказательство. Для всех я-измеримых функций гр=яш) таких, что [ф(ш)! < 1, по определению г и г находим [Е4 — Ет)! =[ЕОф(г — 2)! < ЕО~чД [г — 2! < ЕО[г — г!.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее