А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 60

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 60 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 60 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 60 - страница

Как н в конечномерном случае, С будем называть проекцией С на .(З=.У(г11, П2, ... ), С вЂ” С вЂ” перпендикуляром, а представление (=(+ ((-0 — ортогональным разложением. Величину с обозначают (ср. с Е(С1ц,, ..., г)л) нз п. 3) Е((11)1, п2, . „) н называют условным математическим ожиданием в широком смысле (Р относительно г)1, г)2, ...). С точки зрения оценнвання С по цн г)2, ... величина С является оптимальной линейной оценкой, ошибка которой Чг!2 ц Чг!!2 !!Чл!!2 ~ )(~ )~2 что следует нз (3) н (23).

7. Задачи. 1. Показать, что если С=11.т. („, то 1(г„11- (Щ, 2. Показать, что если С = 1. Е т. Е„н Ц =!,1. гп. !1л, то (Х„, 11„) - (С, г)). 3. Показать, что норма 11 11 удовлетворяет свойству «параллелограмма» ~~Ч+, !!2+ ~~Ч, ~ 2 2(ьь!!2+ Ы2) 4.

Пусть (Сг, ..., С„) — семейство ортогональных случайных величин. Показать, что для ннх справедлива «теорема Пифагора»: л 2 л 3. Пусть С1, 42, ... — последовательность ортогональных случайных величин, 5„=с!+...+с„. Показать, что если 2. Есз<оо, то найдется таи=! кая случайная величина 5 с Е52 < оо, что 1.1.т. 5« лл 5, т. е.

!!5л — 5!!2 = =Е)5„— 5(2 — О, п- оо. 6. Показать, что функции Радемахера )г„могут быть определены следуюшнм образом: )г„(х) = а(йп(а(п 2" ях), 0 < х < 1, и = 1, 2, 7. Доказать, что 1!С1! > 11Е(С1У)!) для СЕ(.2(Я), причем равенство имеет место тогда н только тогда, когда С = Е(С1йт) п.

н. 8. Доказать, что если С, г! Е 12(Я), Е(С11)) = ц, Е(г)1~) = С, то ~ = П п. и. 352 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9. Даны три последовательности (У„), (У„) и (У„) под-в-алгебр У, 1П ай 1з! 4 — ограниченная случайная величина. Известно, что для каждого л Ул' ' с У1 ' с У! ' Е(С /Улп1) ~ и Е(С / У! ') ~ и Доказать, что Е(с (У!21) ч. В 12. Характеристические функции 1.

Метод характеристических функций является одним из основных средств аналитического аппарата теории вероятностей. Наиболее ярко это будет продемонстрировано в гл. П! при доказательстве предельных теорем и, в частности, при доказательстве центральной предельной теоремы, обобщающей теорему Муавра — Лапласа. Здесь же мы ограничимся определениями и изложением основных свойств характеристических функций. Прежде всего сделаем одно замечание общего характера. Наряду со случайными величинами (принимающими действительные значения) теория характеристических функций требует привлечения комплекснозначных случайных величин (см.

п. ! $5). Многие из определений и свойств, относящихся к случайным величинам, легко переносятся и на комплексный случай. Так, математическое ожидание Е~ комплекснозначной случайной величины ~ =С+ (гг считается определенным, если определены математические ожидания Ес и Ег). В этом случае по определению полагаем Е~=Е(+!ЕП.

Из определения 6 (9 5) независимости случайных элементов нетрудно вывести, что комплекснозначные величины ~~ =6+(гп, ~2=(2+!Пз независимы тогда и только тогда, когда независимы пары случайных величин (4н г)~) и (сз, пз) или, что то же самое, независимы а-алгебры Уб „, и УС,,,„. Наряду с пространством (.2 действительных случайных величин с конечным вторым моментом можно ввести в рассмотрение гильбертово пространство комплекснозначных случайных величин С=(+!г! с ЕЦ2 < со, где !ф=С2+г)2, и скалярным произведением (~н Ы=Е~~4, где ьз— комплексно-сопряженная случайная величина. В дальнейшем как действительнозначные, так и комплекснозначные случайные величины будем называть просто случайными величинами, отмечая, если это необходимо, о каком конкретно случае идет речь.

Условимся также о следующих обозначениях. При алгебраических операциях векторы а е)г" будут рассматриваться как вектор-столбцы, =И 353 й !2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ а а* — как вектор-строки, а' = (а !, ..., а„). Если а, Ь е)т", то под их скал лярным произведением (а, Ь) будет пониматься величина 2; а;Ьь Ясно, что (а, Ь) = а*Ь, Если а е Й" и )(с = 11 г!! 11 — матрица порядка н х и, то ()ка, а) =а*)на= ~у а;г;;а;. с/=! 2. Определение 1. Пусть Р =г(х) — л-мерная функция распределения в ()7", М(!2")), х = (х!, ..., х„). Ее характеристической функцией называется функция !р(1) = ) ец"! аг(х), (2) Определение 2. Если с =(й!, ..., й„) — случайный вектор, определенный на вероятностном пространстве (й,,уг, Р) и принимающей значения в !г", то его характеристической функцией называется функция !ре(1)= ~ ец!х!а!рс(х), (Е)(", (3) я" где ре=рс(х) — функция распределения вектора С=(С!, ..., й„), х= = (х!, ..., х„).

Если функция Р(х) имеет плотность 7 = 7(х), то тогда р(1) = ') ец!"'! 7(х) ах. Иначе говоря, в этом случае характеристическая функция р(1) есть не что иное, как преобразование Фурье функции г(х). Из (3) и теоремы 7 5 6 (о замене переменных под знаком интеграла Лебега) вытекает, что характеристическую функцию ч!е(!) случайного вектора можно определить также равенством Ч!1(1) = Еед!Л1, (4) Приведем теперь основные свойства характеристических функций, формулируя и доказывая их лишь в случае л=(.

Некоторые наиболее важные результаты, относящиеся к общему случаю, даются в виде задач. Пусть б=((ь!) — случайная величина, Рс- — Рс(х) — ее функция распределения и рс(Г) = Ееис -характеристическая функция. 12 — 9727 354 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Сразу отметим, что если г)=аб+Ь, то «Г) Еенч Еещае+Ы еньЕе!ас Поэтому нь (о!) (5) Далее, если С!, Сз, ..., б„— независимые случайные величины и 5„= =б!+...+б„, то а з.(1)= й ,(1) (6) !=! В самом деле, ч!з„(1) = Еен!б+'"+б! = Ее!!б ... епс" = Еенб...

Еепс" = П !Рс. (1), ! г=! где мы воспользовались тем, что математическое ожидание произведения независимых (ограниченных) случайных величин (как действительных, так и комплексных, см. теорему 6 в ф 6 и задачу !) равно произведению их математических ожиданий. Свойство (6) является ключевым при доказательстве предельных теорем для сумм независимых случайных величин методом характеристических функций (см.

$ 3 гл. ШД. В этой связи отметим, что функция распределения Рз„выражается через функции распределения отдельных слагаемых уже значительно более сложным образом, а именно, Рз„= Рб а... * Рс„, где знак * означает свертку распределений (см. п. 4 $8). Приведем примеры характеристических функций. Пример 1. Пусть б — бернуллиевская случайная величина с Р(С = 1) = =Р о(4=6)=!), Р+д=1, 1> р>0, тогда ч!4(1) = рен + д, Если б!, ..., б„— независимые одинаково распределенные (как ~) слу«а — яр чайные величины, то для Т„= находим, что а рт„(1) аарз„- р),тер— я=Ееи~" "Атаия'=е и'7"~7'~ре"т'тедв+д1" = ~ренъ7ч7ю ~~-п,/Ф'ч]" (7) Заметим, что при и- оо отсюда следует, что Рт„(г)- е (8) О!2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЗЗО Пример 2. Пусть с а'(из, а2), (и»! < со, аэ > О. Покажем, что 1ас(1) = еп 2 (9) Š— ги Положим и = —.

Тогда 2) .Ф'(О, 1) и так как в силу (5) а 1ре(1)= ен ~рп(а1), то достаточно лишь показать, что рч(1) = е ' ~2. Следующая цепочка соотношений доказывает эту формулу (10): (10) пп ,р (1)=Еелп = — (' еипе-и'/2~(хш — — (2п — 1) 9 = ~ (Н)2п ~ (д)2п рай (2и)1 " (2и)1 2пи1 и О п=о Хпа-и Р2 (Х п=о где мы воспользовались тем (см.

задачу 7 в $8), что — кэпе "~э с(х м Ензп =(2п — 1)!! ~/2~г Пример 3. Пусть с — пуассоновская случайная величина, Тогда Ееис=~ еи» вЂ”,=е "~ —,=ехр(Л(ен — 1)). (!!) «=о «=о !2' 3. Как отмечалось в п. 1 $ 9, с каждой функцией распределения в 1'т', Я()т)) можно связать случайную величину, имеющую эту функцию в качестве своей функции распределения.

Поэтому при изложении свойств характеристических функций (в смысле как определения 1, так и определения 2) можно ограничиться рассмотрением характеристических функций 'р(1) =~рп(1) случайных величин 4=С(ы). Збб ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теорема 1. Пусть 5 — случайная величина с функцией распределения г = г(х) и !р(!) = Ееис — ее характеристическая функция. Имеют место следующие свойства; !) Ь'((И < 'р(О) = !' 2) ч!(!) равномерно непрерывна по 1 е й; 3) р(!) = (-!); 4) !р(!) является действительнозначной функцией тогда и только тогда, когда распределение Р симметрично (~ г(г(х) = ) аЕ(х), в -в В ЕЯ()(), -В =( — х: х б В)); 5) если для некоторого и > 1 ЕЦ" <со, то при всех г < и существуют производные !с!'!(!) и !р!'!(1) = ) (!х)'еи" ар(х), (12) я Е~г ~" (О) !'Г л (14) .=о где !е„(1)1<ЗЕф" и е„(1)-+О, 1- О; 6) если существует и является конечной ч!!з"!(О), то Ест" < оо; 7) если Е!С!" < оо для всех и > 1 и (Е(4!л)!/ч ч и Т (13) то при всех !() < Т ,р(!) ~ " Цл (15) л=ь ! р((+и) — р(1)! = !ееие(е!ьс — 1)! < е1е!Ас — 1! и теоремы о мажорируемой сходимости, согласно которой Е1е!ье — 1~- О при й- О.

Свойство 4). Пусть Р симметрична. Тогда, если д(х) — ограниченная борелевская нечетная функция, то ~ д(х) аР(х) =О (заметим, что для я Доказательство. Свойства 1) и 3) очевидны. Свойство 2) следует из оценки 357 Е !2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ простых нечетных функций это следует сразу из определения симметричности В). Поэтому ) ып 1х Нг(х) = О и, значит, я р(() = Е соз (с. Обратно, пусть ре(() является действительной функцией. Тогда в силу 3) у-е(7)=ус( — 1)= реЯ=тЕЯ, 1 ей. Отсюда (как это будет доказано ниже в теореме 2) следует, что функции распределения В г и Ее случайных величин -С и С совпадают, а значит (по теореме 1 $3), РКЕВ) = Р(-6Е В) = Р(~Š— В) для любого В Е Вй(Й). Свойство 5).

Если Е1С!" < оо, то в силу неравенств Ляпунова (28) 3 6 Е ф' < оо, г < и. Рассмотрим отношение Лл(!+А) — Ф(1) пе/емс — ! ) Поскольку ~ < (х! и Е1С1< оо, то по теореме о мажорнруемой сходимости существует 1нп Еене( „), равный е'лс — 1 Еенс (пп( ) =!Е(сенс)=1 3 хе'"Ыг(х).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее