А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 24

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 24 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 24 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 24 - страница

далее с теоремой !). 3. Следующая теорема описывает широкий класс марковских цепей, обладающих так называемым свойством эргодичности: пределы я! = (пп р,," не только существуют, не зависят от ), образуют распределение вероятностей (я! > О, 2 я! = 1), но и таковы, что ау > 0 при всех ! ! (такие распределения называются зргодическими; подробнее см. $3 в гл. Ч111). Теорема 1 (эргодическая теорема). Пусть Р= )!Р))!! — матрица "ереходных вероятностей марковской цепи с конечным множеством состояний Х = (1, 2, ..., )Ч). а) Если для некоторого лэ и)!и р!"') >О, )! (21) (в предположении, что !Реэ+ ри — 1( <! ). Отсюда видно, что если элементы матрицы )р таковы, что (рее + р)!— — 1( < 1 (в частности, если все вероятности перехода рн положительны), то прил- со ГЛ.

). ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и! Л~~ кл Рл ! Доказательство. а) Обозначим т( ) =поп р("), ); ()' (24) М(л) = гпах р(".). ! =,. (! . Поскольку (л+ () ~ (л) Рц лл~ Р' Р; а (25) то откуда т(л) < гп(л+(), и аналогично М(.") > М(."+ ). Поэтому дяя доказательства утверм(денйя (23) достаточно показать, что М(.") — т(л)- О, и- оо, у=1, ...

Ф. ! ! Пусть е = п)1п(! Р(,".') > О. Тогда (лЕ) ~р(о) () ~] (о) . ()] () ! ~Ч,'Р()р() а а л Ч~;~ ] ,(лл) ,(л)] (л) + . (~) л Но р("') — ер(л) > О, поэтому (лл+л) (л) ~ ~ ( (лл) (л)] (2л) (л)( 1 ) + (2л! Рц ' ! л л га )а г! ! Л а и, значит, т(л'+л) >ты)(1-е)+е то найдутся числа к), ..., кн со свойством к! > О, ~ !г! = 1 (22) ! такие, что для каждого 1' ЕХ и любого ! ЕХ (23) Ь) Обратно, если существуют числа л(, ..., кн, удовлетворяющие условиям (22) и (23), то найдется пе такое, что выполнено условие (2!). с) Числа (к(, ..., кл) из а) удовлетворяют системе уравнений ф )2.

МАРКОВСКИЕ ((ЕЛИ. ЭРГОЛИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА !47 Аналогичным образом М(ло+л) (Моиг! е1+г (эл) ! - ! ( '! 'Р(! Объединяя эти неравенства, получаем М(ла+л) (лл+л) (М(л) (л))(1 ! ! ' ! ! и, следовательно, М(ела+а) (ела+а) ( ( (л) ( ) ! ! (а) ( ( М(л) О!) ( (1 )(л/ла)-! — я! ° — - — е т.е, сходимость р, к предельным значениям я;, происходит с геометри(л) ческой скоростью. Ясно также, что т(л) >т(л') >е>0, п>по и, значит, я)>0.

! Ь) Условие (21) нейосредственно следует из (23), поскольку число состояний конечно и гО > О. с) Уравнения (24) вытекают из (23) и (25). П 4. Система уравнений (ср. с (24)) х;=~~! х р;, 7=1, ...,А! а (24*) играет большую роль в теории марковских цепей. Всякое ее неотрицательное Решение (((=(Ч(, ..., Чн), УдовлетвоРЯющее Условию 2 Ч =1, л принято называть стационарным или инвариантным распределением вероятностей для марковской цепи с матрицей переходных вероятностей 11Р()(1 Объяснение этого названия состоит в следующем. Возьмем РаспРеделение (',)=(Ч(, ..., Чн) в качестве начального, т.

е. пусть р)=Ч;, 7=1, ..., А(. Тогда Р! д ЧаРа! =Ч! (() % ~ а и вообще р,. ) =Ч;. Иначе говоря, если в качестве начального распреде(л) пения взять (г = (Ч), ..., Чн), то это распределение не будет изменяться Итак, по некоторой подпоследовательности (пв) М л — т л — 0 при ! ! и,)- оо. Но разность М вЂ” т монотонна по п, а значит, М( — т( -+0 (л) (л) (л) (л) ! ! при и- оо. Если обозначить )г! = (пп т("', то из полученных оценок вытекает, что л ! для п>по ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 148 со временем, т.

е. для любого й РК.=))=РК.=)), )=),...,А. (л) я) х караг = ° ° ° =~ яар л)' а а и поскольку р(7 -+я;, то к) —— ~~',(паву) = я). л Отметим, что стационарное распределение вероятностей (и к тому же единственное) может существовать и для неэргоди ческих цепей. Действительно, если 1 0 01 ' 10 то и, следовательно, пределы!йп рц не существуют. В то же самое время (л) л система д;=~~г, о р;, г'=1,2, л превращается в систему ()) =(гэ.

(ГЭ =(!1 единственное решение (()1, г)э) которой, удовлетворяющее условию ()1+ +г)э=1, есть (1/2, 1/2). Более того, марковская цепь С =(С, © )р) с таким начальным распределением (е=(д), ..., гглг) будет стационарной: совместное распределение вектора (бы Се+1, ..., Сь+() не зависит от е для любого ! (предполагается, что й+! (и). Условие (21) гарантирует как существование пределов гО = !пп р(,".), не зависящих от г, так и существование эргодического распределения, т.

е. распределения (гг), ..., клг) с к > О. При этом распределение (к(, ..., к)г) оказывается также и стационарным распределением. Покажем сейчас, что этот набоР (кн ..., к)т) ЯвлЯетсЯ единслгвенным стационаРным Распределением, В самом деле, пусть (й(,..., й)г) — еще одно стационарное распределение.

Тогда 4 Ш. МДРКОВСКИН ЦЕПИ. ЭРГОДИЧКСКЛЯ тКОПКМА !49 Отметим также, что для рассмотренного выше примера в п. 2 система (24ь) с х; = Ч; имеет вид Чо = Чо Рш + Ч ! Р1о Ч! =Чоро1 + Ч1 Рн откуда, учитывая условие Чо+Ч! = 1, находим, что единственное стационарное распределение (Чо, Ч!) совпадает с уже найденным: ! — Р! ! ! — Рго 2 — рсо — р|1' ! 2 — рш — р!~ ' Рассмотрим теперь некоторые следствия, вытекающие из зргодической теоремы. Пусть А — некоторая группа состояний, А С Х, и /А(х) = (О, хфА.

Введем величину и („) !А(со)+ "+!А(4 ) и+1 — долю времена, проводимого частицей в множестве А. Поскольку Е[!А(бь) [Ео =!] = Р(бь бА [Со =!) = ~~ р! ! (= Р[~!(А)), /ел то Е [ил(п) [Ео = !] = — ~~~ р~~~(А) о=о и, в частности, ь Е[и1;!(и) [Ео=!] = — ~', р1;!. о=о Из анализа известно (см. также лемму ! в $ 3 гл. !У), что если послеао+" +ал (ь! довательностьа„- а,то о "' — а,п- со. Позтомуесли р!.1- я, и+! Ч !' й — ~со, то Е имя(п) -+ 4г;, Еил(п) — ~ ял, где ял = ~~~ 4гр /ЕА йпя эргодических цепей на самом деле можно доказать большее, а именно, что для величин!А(бо), ..., /А(6,), ...

справедлив Закон больших чисел. Если Ео, Е!, „, — конечная эргодическая марковская цепь, то для всякого е) О, любого множества А сХ и ГЛ. Ь ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ произвольного начального распределения РЦил(п) — ял/ >е) О, и- оо. (26) Прежде чем переходить к доказательству, заметим, что непосредственное применение результатов $ 5 к бернуллиевским величинам !л(Со), ... ..., (л(С„), ... невозможно, поскольку они, вообще говоря, являются зависимыми.

Однако доказательство можно провести по тому же пути, что и в случае независимых величин, если снова воспользоваться неравенством Чебышева и тем обстоятельством, что для эргодических цепей с конечным числом состояний найдется такое О < р <!, что [р; г — яю)<Ср". (27) Рассмотрим состояния ю и у (которые могуг и совпадать) и покажем, что для е>О Р(~ юй(п) — яю~> ~~ =ю) (28) В силу неравенства Чебышева Р(!ю Гй(п) — яю! >с~(о=ю) < ЕЦиЮюТ(п) — кю!э !бо=ю) е Поэтому надо лишь показать, что Е[[РЮюз(п) — яю1з)(о=ю)- О, и оо. Простой подсчет показывает, что ЕЦРЮюТ(п) — кю[~ / 4о = ю) = Е~ ~~ (!Юют((ь) — яю)~ !4о=ю') = — ~~, ~ и,'~", э=о э=о ю=о где пю(ю' = Е([)юй(6)Уюют(сю)1 Ыо = ю) — яю Е [Уюл(сь)!~о = ю]- з=пйюп(й, у) и Ю=/й — ([. В силу (27) р,," =яюю Рею,".', [ею,".ю!<Ср".

Поэтому ~пю,'.,'гюг[ < С, [р'+ р'+ р'+ р'), $!2. МАРКОВСКИЕ !!ЕПИ. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 151 где С~ — некоторая постоянная. Следовательно, л и л л , Х ~~ Л),ге< С', ~, ~ !р'+р'+р»+р') < »=о !=о ( ) »=о !=о 4С! 2(л+1) 8С! (л+ !)з 1- р (л+!)(1- р) откуда и следует справедливость соотношения (28), из которого очевидным образом вытекает требуемое соотношение (26). Б. В $9 длЯ слУчайного блУжданиЯ 5о, 5п ..., поРожденного схемой Бернулли, были выведены рекуррентные уравнения для вероятностей и математических ожиданий времени выхода на ту или иную границу.

Аналогичные уравнения сейчас будут выведены и для марковских цепей. Пусть с = (со, сп ... ) — марковская цепь с матрицсй переходных вероятностей !1р!!!) и фазовым пространством Х=(О, Ы, ..., ~А!). Пусть А и  — два целых числа, -М < А < О < В < М, и х е Х. Обозначим через Я»4 ! множество тех траекторий (хо, хп ..., х»), х; е Х, которые впервые выходят из интервала (А, В) через верхнюю границу, т. е.

покидают множество (А, В), попадая в множество (В, В+ 1, ..., Л1). Положим для А<х<В В»(х) =Р(((о, ". 6) ЕЯ»+! ~4> =х). С целью отыскания этих вероятностей (первого выхода марковской цепи из множества (А, В) через верхнюю границу) воспользуемся методом, примененным при выводе обратных уравнений. Имеем В»(х) = Р(((о, , ~») Е Я»» !)4о = х) = Ртр((4о, "., (») ЕЯ»+!!(о=х, 6 =У), У где, как нетрудно убедиться, опираясь на марковское свойство и однород- ность цепи, Р((Со, ", С») Е Я»+! ~ Со = х, ~6 = у) = = Р((х, у, Ст, ..., С») Е Я»„.1 ) Со = х, С! =У) = = Р((у, сз, ..., с») Е Я»)с! = У) = =Р((у, сь ..., с» !)еЯ»!со=у) =В»-)(у). Поэтому для А < х < В и 1 < й < л Д(х) =~ р,„Д 1(у). 152 ГЛ.

1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Прн этом ясно, что Д(х) = 1, х = В, В + 1, ..., М, рв(х)=0, х= — АГ, ..., А. тв(х) =! + ~~~ тв ~ (у) руу у (здесь 1<А<а, А <х<В). При этом тв(х)=0, хк(А, В). Понятно, что если матрица переходных вероятностей задается формулой (!!), то уравнения для ов(х), Д(х) и тв(х) превращаются в соответствующие уравнения из $9, где они получены, по существу, тем же самым методом, что и здесь. Наиболее интересны применения выведенных уравнений в предельном случае, когда блуждание осуществляется неограниченно во времени.

Так же, как и в $9, соответствующие уравнения можно получить формальным предельным переходом из выведенных выше уравнений, полагая й- со. Для примера рассмотрим марковскую цепь с состояниями (О, 1, ..., В) и переходными вероятностями Рга = 1, Рва = 1 и для ! <!< — ! =( р~>0, )=1+1, г;, 1=1, д;>О, г=( — 1, где р;+О+в;=1. Этой цепи соответствует граф lв-1 ! О Аналогичным образом выводятся и уравнения для ов(х) — вероятностей первого выхода из интервала (А, В) через нижнюю границу Пусть ге=пни(0<1<А: 4~ й(А, В)), причем ту =й, если множество ()=а. Тогда тот же самый метод, примененный к тв(х)=Е(гв!со=х), приводит к следующим рекуррентным уравнениям: ф!2.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее