А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1115318), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Вычислить производящие фупкцци Мхс, М»с', с 1, ..., и, и заметить, что если выполпяются условия аадачв, то Мсй = Мв» ... Мх и, 1 4.78. а) Испольэовать соотвошепие к с тяя/ — с ~й, если я делится ка /с< с=е ' Х ' = О р протпввом случае. б) Заметить, что Я при д<лепии па й Пает остаток (4 — и = О(шоб 4)), я воспользоваться утверждением п. 4,79, При каждом с = 1, 2, ...
заменить зз< случайной чикой ь< — остатком от делепия ээс па 3. Найти распределеи характеристическую функцию Ь< и воспольаоваться задачей 4.80. Испольаовать независимость 5<....', 3». 4.81. Представить Ме*Ы в видо интеграла и оценить его эу, пользуясь положительиостью и монотонностью покаэат функции. 4.82. Испольаовать аадачи 4.80 и 4.81. 4.83. Использовать вадачи 4.80 и 4.81. 4.84. Пркмепить формулу полного математического о '220 »5 В, гпольаоваться неравенством (Т] с — с,]Р И$)(Т)+2Р (]4)>Т).
4 86 Представить 1(с) в виде суммы действительной и мнимой с гй, Воспользоваться условиями задачи и четкостью фувкцкв соя х 4,87. б) Показать, что ря(х) — ато плотность распределения ммы двух пезависимых случайных величин, одна из которых имеет равномерное распределение на отрезке (О, 1/а], а другая — раввомерное распределение на отрезке ( — 1/и, О]. в) Использовать формулу обращения для преобразования Фурье (см. введение к гл, 4) и результат п. б). 4,88, Для доказательства ток<дества сравнить подыятегральпое выражение с плотностью соответствующего нормального распределения Так как распределеяие з) симметрично, то Мц О, если только М]П) < с .
Для вычисления Оз) = Мтс' продифференцироаать обе части интегрального тоя<дества по Сь '4.89, Покааать, что описанная в условии задачи функции 1(с) может быть представлена в виде 1(с) = р + ~ рс шах(1 — а,] с], О), <=1 где й — число звеньев ломаной (графика функции 1(с) ла полуоси (О, а )), числа аь ..., ак, р<, ..., р» положительны, р, »О и р»+ -)- р< +...
+ рк 1. Далее воспользоваться результатами задач 4.84 и 4.87. 4.90. Рассмотреть последовательность 1<(с), П(с), . „характе- ристических фуккций, удовлетворяющих условиям задачи 4.89 и такиц чзо Пш 1„(с) =1(с) дли спобого с, ]с] ( о».
Затем вос- лользеватьсл теоремой непрерывности для характеристических функций (см. введение к гл. 4). 4.91. а) Разложить 1,(с) в ряд Фурье и убедитьсл в том, что коз4я)я<цв<кты етого разложения определя<от распределение ве- роятпестей. 1+ 1» (2с) 6) Оаметять, что 1 (с) 2, и получпть раэлоскепие 1»(С) я ряд Фурье с помощью результата п. а), 4.92, Использовать результат задачи 4.91. 4.дЗ, Заметить, что фуикции 1 (С) = Ма с п Х(С) <<$ . М и(1~+ ° +1») сзязапы соотношением /»(с) 6(С) и что со- гзаспо задаче 4.85 функции г(С) и 1(С) пепрерыввы. 4.<91. Показать, что Ме" с 1 тогда и только тогда, когда Р(С»кв (О и2я С-4я )) 1 4,95. Показать, что если 3 имеет плотность р(х), указанную в уело< еп зя Ы ш то 1 — /П) = 2~(1 — соя Сх) р(х) <Сх е() С]) прп 1-»О, е 221 и козтому 1'(О) О.
Для опенки интеграла разбить его нз 0 о Т д Т и от Т до оо; использовать неравенства 1 — соз р ~ у асимптотическую формулу для р(х), х-» со. 4.96. Испольвовать равенство 1 1» (х) = Иш з (1 (х — 1) — 21 (х) + 1 (х + 1)) зг п следу1ощее иа него соотношение 1» (0) =ИшМ$ з соз г[ — 1 з- е (!4)~12 (М[$ [)3 ( Мйз. 4.97. Воспользоваться результатом задачи 4.96 и о 4.98. Испольаовать результаты задач 4.86, 4.94, 4.97. 4.99. Найти начальные члены разложений указанных ф в ряды Тейлора. 4.!00. а) При вычислении фуякции распределения Хз тп в интеграле к полярным координатам.
б) Воспользоваться реаультатом п, а) и задачей 4.93 н числення Мр !91' 4.101. Найти сначала характеристическую функцию гам, прсдслсння с параметром а = 1, затем (пользуясь задачей с а = 1/д, д = 1, 2, ..., аатем с а р[д (р, д = 1, 2, ...) и, пец, с помощью теоремы непрерывности — для произв го а > О.
4Л02. Найти характеристическуго функцию 1И 1(!»,4,+., -рыа(а) 4ЛОЗ. Найти характеристическую функцию распределения, тора (ь„..., Ь )„ 4Л04. Воспользоваться теоремой ив курса линейной алгеб приведении симметричной квадратичной формы к диагональ ниду с помощью ортогональной замены координат. 4.105. Используя формулу Тейлора для !п(! — х), найти п ЛОГарнфиа ПРОИЗВОдящвй фуНКцИИ З!"~+ ... + а!о) Прв П4Л06. Рассмотреть случайную величину»ы имеющую рави нос распределение на отрезке [О, Ц, и построить такие фу 1»(х), др(х), х »п [О, Ц, что случайная велачина 1р(ь) распреде так нзе, как 4, др(Ь) — так же, кая Ч, и прн 4 = О, 1, ... Р(1р(ь») др(»ь) = й) = ш!п (РД 4), Р(Ч 4)), 4Л07. Тем же способом, что в задаче 4.106, построить по не ' скмым случайным величинам ьь ..., Ь„, имеющим разном распределение иа [О, Ц, случайные велнчияы 3ь ..., 3 и м ззально совпадающие с ними независимые случайные вел Че ..
» Ч„имеющие распределения Пуассона с параметрамн р9 ..., р, соответственно. Далее воспользоваться соотношением [ьт + ' ' ' + ьр чь Чг + ' ' ' + Чк) Я () (з! М Чз)~ 1 ! у и свойствами распределения Пуассона (см. также книгу [2))»' 222 г 108. Рассматривая непересекающиеся события вида А; 3 Ч . А, А, °" Агч ' гве (!1 °" 19) () (1о."1к-9) = [1," М) событие, дополнительное к А, показать, что и "' Ю 8„=-,.9; с,"Р[в,), 4=0, 1, ...
о=а выражения в правую часть равенства, указанного Пояс' з уса~ елозин задачи, н привести подобные члены, изменяя порядок уршкрозапвя. 4 109. Разложить производящую функцию ю(з) = Мзз по фор- „ле Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа) в точке — 1 и заметать, что Ю(0) = Р(в = 0), ~р<"~(1) = т» и ~р~ы(з) р 0 для л1обых р ш [О, Ц н 4 = О, 1, 2, 4.!!О. заметить, что если 49(г) мзз, то фы)(з) мй!»1зз-р, т. е. др"[(О) = к1рй = к). Далее рассу9кдать так же, каи в за- даче 4ЛО9.
4Л!1. Если <р(з) = Мзг, то Р (а=за) з" к Г Далее рассунсдении аналогичны проведенным в задачах 4.!09 и 4.!!О. Равенство Р 1 — р(з) [ дщ+г)(Ц Аза 1 — з [г=! й+ 1 установит»о используя формулы Лейбница и Тейлора. гь!!2. Воспользоваться неравенством из задачи 4Л(0. 4Л13, Применить утверждение задачи 4Л12, выбрав в качестве $ случайную величину, имеющую распределение Пуассона с па» раметром Х, 4Л14. Представить случайную воличину (ы(и, Ф, з) в виде суммы индикаторов )91(к, Ф, в) Х(~~)+Х1И+."+Х( в воспользоватьси формулой задачи 3Л34 для факториальных мо- ментов. Исследовать функцию 19(п) Мр,(и, К, в), рассматривая отношение 1»(к+ Цф(я). 4.1!5.
Использовать вадачу 4Л08. 4Л16. Вывести нз результатов решения задачи 4.!14, что при укаааниом предельном переходе выполняется соотношение ш!п[к, )д — к) = о()д). Далее использовать явные формулы для факториальпых моментои Р,(9ь !у, з) и задачу 4Л!3. 4Л(7. Представить Р»(и, )д) в виде )г„(л, )д) = Х»+ ° . ° + Хк~ где Х~ = 1, если 1-я ячейка содержит ровно г частиц, и Х9 0 и противном случае. Вычислить факториальные моменты д,(в, Ж), используя результат задачи 3Л34, и применить утверждение вада чв 4,113, 4Л18. Так как (П (к, 57) .1- р,,(к, )у) .(- „. О) = [ч,(!7) ) л) ди [д,(п, )д) 0), 223 то при условиях что (<»,«=<) с, ( 2 <,»и — о) <' са ге< р "" 1 >б ц.,Р— „-1 >б <-— , выполняется соотиошевие Р(ч,(й)) > и) -» С. Значение С мескду зпачекияии и и дс, при которой вьшоляшотся усло найти с помощью задачи 4Л13.
4.119. Если р (и, д)) — число строк, в которые ве ' (ю пи одной частнпь<, а д(Ю (и, д) — чясчо таких же стсл случайвые величины С<(с) (и, й)) и р(з) (я, Л') веааввсим' а предельные распределения можно найти с помощью ре' задача 4,117, а н (и, )У) = р(с) (и, й)) С<(з) (и, )У). о ' о 4.121. Применить центральную предельную теорему. 4Л22. При любом й = 1, 2, ... ,у )у" и МУ)и = 2 И спольвозать соотвошеяие !пп ~1+ — ~ = е'. с в~ б) Случайная величина )п ц„является иормировавиой независимых слагаемых.
4Л23. а) Воспользоваться задачей 4Л22. б) Заметить, что <<В Р (У) <1) ии Г, — С = — — СМЮ ",' чь 1 а 1 1 1 созе «~~ 21000 сеео 2 2 2<еоо смса<<< а о 4.124. См. указания к аадаче 4Л23. 4 !оч <Лоч. Применить заков больших чисел и централь дельную теорему. 4Л26. Так как сфера 8» ' переходит в себя при лю пумсрации воордипат и при отражениях откосительпо к ных гпперплоскостей, то велпчииы $ь ..., $„ одппаяово .левы и ври любых с чв С вектор (3 „ $)) имеет такое же левие, кав (2<, †)), Для вычисления МЦ' нужно исп еще аддитизкость математического ожидапия и уравяе 4.<2 <Л27. Из сферической симметричности распределепвя<, $ следует, что условное распределение вектора с = з))й(' ловли р г являетси равпомерпым ва единичной сфере<а зависит ог г.
4Л28. Ввести случайную величину рги которая ве ва вектора е и такова, что рз, имеет Хираспределекие с и свободы,Мрз = и, Орз = 2и. В силу задачи 4Л27 случ тор р„е имеет и-мерное вормалькое распределение с иуи тором математических ожидавий и едипичпой матрицей ций. Предельные распределения случайных векторов ( ", е<Р ) и (ед'я... и е<ув) при С< = сопз(, и -» со совп 224 б > О (см, задачу 4Д3, ). Я"Я !29 Использовать результаты п. а) задачи 4Л2о и п, б) за139 Ввести случайные величины ес, < (1 < с < д<, С 1, 2, ...)! чп 43"» 4. ' 1, если в с-«пспытавии появился с-й исход, и ес,< О в з), < заоп случае. Тогда <)и ~~~ ~~~ а<е с .
Далее воспользопротззаоп у=с <=с ватьса пе, а пезазпспмостью внутренних сумм и центральной предельсюй теа)УЕУП<й) 4 !32 Пайти предел логарифма характеристической функции (2» Х)/!'Е 4 13. ПРЕДСтазитЬ ЯИиЮВВИДЕ СУММЫ и ВЕЗаВИСИМЫХ ОДИНаКОВО расправе< ' пр, дел< алых случайных величин и воспользоватьск цеитральвой <<яр< ( л< аой теоремой 4.!31. ИспользУЯ независимость О., „..„5„„, рав с О) с)з + 2 + з ! '1 и опспкт м(»»(<зв(1)»ь)<)< (из которой следует, что — шах ()~ а„слали „- О, и < ), показать, что для любого с, )с( < си, 4.!33<, Воспользоваться утверждепиеы задачи 4Л34. 4.)36.
Воспользоваться утверждением задачи 4Л34. 4Л37. Для пахождепия предельного при п-»ию распределе иия случайной величины у) испольаозать метод проиаводящии функций. 4Л38. б) Использовать задачу 4Л34. в) ПРедставить Ь« в виде Ьи = Ь",'о) — Ь<(<), где ((о) ~ 5(и) г»(с) чч с 1 ~(и)) се<ли си<ли гп (и) р< )1/3 (и) Предельные распределения 4(Е) и з'„С) найти с помощью вадачи 4.(ОЕ 4Л39, Характеристическая функция случайпой величины 5 )Аи врв и ии должпа сходиться к характеристической функции предельпого распределепия. 4 !4<О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
